精品解析：山东省青岛实验初级中学2025-2026学年八年级上学期数学12月月考试题

绝密★启用前 青岛实验初中2025-2026学年第一学期单元质量检测 八年级数学 考试范围：五-七章 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各式的符合情况． 【详解】① ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ② ：化简为，仅含一个未知数，是一元一次方程，不符合， ③ ：分母含未知数，是分式方程，不符合， ④ ：变形为，含两个未知数且次数均为1，是二元一次方程，符合， ⑤ ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ⑥ ：是代数式而非方程，不符合， 综上，只有④符合条件，总个数为1， 故选A． 2. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，， 这组数据的中位数是． 故选：B． 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 4. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可； 【详解】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米， 根据题意可得：， 解得：， ∴每个小长方形的周长是 （厘米） 故选D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 5. 一题多解法 如图，，用含，，的式子表示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先过点作，过点作，利用平行线的性质求得和，最后根据，求得即可；也可以连接，根据四边形的内角和，结合平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图①，过点作，过点作． ， ， ， ． ， ， ． ， ． 一题多解法 如图②，连接． 在四边形中，， ． ， ， ， ， ． 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 7. 已知一组数：的平均数为M，方差为N，那么数组：的平均数及方差分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差和算术平均数，利用平均数、方差的定义和性质直接求解． 【详解】解：设的平均数为，则的平均数为， 解得； 设的方差为，则的方差为， 解得， 故选：C． 8. 如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的性质可得，，再结合，可得，可判断①；根据平行线的性质可得，可判断②；根据题中的条件无法确定的度数，可判断③；根据平行线的性质可得，从而得到，可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 根据题中的条件无法确定的度数，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法确定是否等于，故④错误； 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共8小题） 9. 把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为____________． 【答案】如果两个角相等，那么它们是直角． 【解析】 【分析】本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，原命题“直角相等”意为“如果两个角是直角，那么它们相等”，其逆命题是交换条件和结论，据此作答即可． 【详解】解：原命题“直角相等”可表述为“如果两个角是直角，那么它们相等”， 那么其逆命题为：“如果两个角相等，那么它们是直角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角． 10. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点坐标即可得． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 11. 已知，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由非负数的性质，得，， 解方程组，将两式相减，得，， 即， 解得， 代入第二式，得，， 解得， 故答案为：，． 12. 已知，，，，若，则____________． 【答案】88° 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案是： 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，选平均数最大的并且方差较小运动员的参赛即可． 【详解】解：由表中数据可知：乙的平均数最高，成绩最好；虽然丙的方差最小，但其平均数过低，而乙的方差也较小，发挥稳定；综合考虑，应推荐运动员乙去参赛 故答案为：乙． 14. 如图，已知，若，，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 15. 某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔______min从起点开出一辆． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相遇问题和追及问题，每分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车分走的路程行人分走的路程两辆电车相间隔的路程；每分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车分走的路程行人4分走的路程两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间电车的速度． 【详解】解：设电车的每分走米，行人每分走米，电车每隔a分钟从起点开出一辆， 根据题意可得：， 得：， 可得：， 解得：． 故答案为： ． 16. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质折叠次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：折叠2次可得：， 折叠3次可得：， 折叠4次可得：， … 由折叠的性质折叠次可得， 在四边形内有四边形的内角和为知： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键． 三、解答题（共9小题） 17. 尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线及其两侧两点，，如图，在直线上找一点，使得． 【答案】 如图，点P即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段垂直平分线．作的垂直平分线交直线l于P点即可． 【详解】略 18. 计算题 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式以及根式的化简和运算．解题时需注意公式的应用和根式的简化． （1）先利用完全平方公式和二次根式的除法进行计算，最后合并即可； （2）先利用平方差公式进行计算，将除法化成乘法，之后计算乘法，最后化简二次根式后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）先用加减消元法求出，将代入①求出，即可求解； （2）原方程组可化为，将方程组的第二个方程化为，用代入消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：①得， ③， ②③得， ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 由②得， ③， 将③代入①得， ， 解得：， 将代入③得， ， 原方程组的解为． 20. 今年是中国共产主义青年团成立102周年，某校为了了解八年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班10名学生测试成绩分别为：78，83，89，98，100，94，90，93，95，100 乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：91，94，90，93 【整理数据】 班级 甲 1 1 1 3 4 乙 1 2 1 4 2 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 93.5 46.8 乙 90 87 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出： 分， 分； （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人； （3）甲班的平均分是92分，小明的成绩是93分．小华说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于甲班一半学生的成绩．”你认为小华的说法正确吗？请说明理由． （4）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 【答案】（1）100，90.5 （2）成绩为优秀的有390人 （3）不对， 理由如下： 小明的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数93.5比较， ∵小明的成绩是93分低于中位数93.5， ∴小明的成绩低于一半学生的成绩； （4）甲班， 理由如下： ∵甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，且甲班方差46.8＜乙班方差50.2， ∴甲班本次测试的整体成绩较好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、中位数、众数和方差，用样本估计总体，利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、众数和平均数定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的求法解答，即可求解； （2）用600乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解； （3）根据中位数的意义求解即可； （4）从平均数和方差的角度分析，即可求解（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：在78，83，89，98，100，94，90，93，95，100这组数据中，100出现的次数最多，故； 乙班10名学生测试成绩中，中位数是， ∴． 故答案为：100，90.5； 【小问2详解】 解：根据题意得：（人）． 答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有390人； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． （1）上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； （2）选择（1）中的一个真命题加以说明． 【答案】（1）有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3： （2） 解：选择命题1：． 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴平分． 选择命题2：． 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． 选择命题3：． 证明：∵平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明． 【小问1详解】 解：上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：； 命题2：； 命题3：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键． 22. 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）出售．现要购买A型毛笔a支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 【答案】（1）这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元（2）用原来的方法购买花钱少 【解析】 【分析】（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题中的数量关系，全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元，若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，列出方程组求解即可． （2）在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少，这就要计算一下，按新的销售方法，需要出多少钱，然后比较．如果安原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则．如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则． 【详解】解:（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得： 解得： 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元； （2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元， 则， 如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元， 则 于是， ∵， ∴， ∴ 可见，当时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多． 答：用原来的方法购买花钱少． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： （1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； （2）在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； （3）图3是一个未完成的幻方，求的值． 【答案】（1）60，20 （2）19，24 （3） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由“幻和”的定义可得，幻和为，由图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数，继而； （2）根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等即可求解． （3）设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：由“幻和”的定义可得，幻和为， 图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数， ∴， 故答案为：60，20； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：19，24； 【小问3详解】 解：设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 化简得：， ∴． 25. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】（1）, 理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 或． 理由如下：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 青岛实验初中2025-2026学年第一学期单元质量检测 八年级数学 考试范围：五-七章 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题（共8小题） 1. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 5. 一题多解法 如图，，用含，，的式子表示，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数：的平均数为M，方差为N，那么数组：的平均数及方差分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共8小题） 9. 把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为____________． 10. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是_____． 11. 已知，则_________，_________． 12. 已知，，，，若，则____________． 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 14. 如图，已知，若，，则_____． 15. 某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔______min从起点开出一辆． 16. 图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕依此类推，第次折叠后，____（用含a和n的代数式表示） 三、解答题（共9小题） 17. 尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法） 已知直线及其两侧两点，，如图，在直线上找一点，使得． 18. 计算题 （1）； （2） 19. 解方程组 （1） （2） 20. 今年是中国共产主义青年团成立102周年，某校为了了解八年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班10名学生测试成绩分别为：78，83，89，98，100，94，90，93，95，100 乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：91，94，90，93 【整理数据】 班级 甲 1 1 1 3 4 乙 1 2 1 4 2 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 93.5 46.8 乙 90 87 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出： 分， 分； （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人； （3）甲班的平均分是92分，小明的成绩是93分．小华说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于甲班一半学生的成绩．”你认为小华的说法正确吗？请说明理由． （4）根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 21. 如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． （1）上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； （2）选择（1）中的一个真命题加以说明． 22. 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）出售．现要购买A型毛笔a支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 23. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 24. 【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： （1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； （2）在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； （3）图3是一个未完成的幻方，求的值． 25. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． （1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $