直线与平面垂直的判定与性质 专项训练——2026届高三数学一轮复习

直线与平面垂直的判定与性质

一、单项选择题

1．(2025·常州期中)已知α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能得到l⊥α的是(　　)

A．α⊥β，l∥β B．l⊥a，a∥α

C．l∥a，a⊥α D．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α

2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)

A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB D．PC⊥BC

3．(2024·湖北八市3月联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是(　　)

A．A1B B．A1D

C．AC1 D．A1C

4．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝(　　)

A．1∶1 B．1∶2

C．1∶5 D．1∶7

二、多项选择题

5．(2024·马鞍山三模)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，下列说法正确的是(　　)

A．若PC⊥BD，则AC⊥BD B．若AC⊥BD，则PB＝PD

C．若PB＝PD，则AB＝AD D．若AB＝AD，则PC⊥BD

6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　)

A．直线BC1与DA1所成的角为90°

B．直线BC1与CA1所成的角为90°

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

 

7．(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　)

　　　　　　

A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D

三、填空题

8．(2025·南通海安期中)在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC＝____．

9．(2025·锦州期中)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是____．

10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，则AB1与平面BCC1所成角的正切值为____．

四、解答题

11．(2025·金华十校联考)如图，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DB＝DC＝BC，E为AB中点，M为DE中点，N为DC中点．

(1) 求证：MN∥平面ABC；

(2) 求直线DE与平面ABC所成角的正弦值．

12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．

(1) 求证：B1D⊥平面ABD；

(2) 求平面EGF与平面ABD的距离．