平面向量数量积的应用 专项训练——2026届高三数学一轮复习

平面向量数量积的应用

A组　夯基精练

一、单项选择题

1．(2025·南京零模)已知|a|＝，|b|＝1．若(a＋2b)⊥a，则cos〈a，b〉＝(　　)

A．－ B．－

C． D．

2．(2024·晋城二模)已知向量a和b满足|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝，则向量b在向量a上的投影向量为(　　)

A．－a B．－a

C．a D．a

 

3．(2024·泰州调研)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1－e2与e2的夹角为(　　)

A．30° B．60°

C．90° D．120°

4．(2024·鹰潭二模)在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，C＝，c＝2，P是△ABC外接圆上一点，则·(＋)的最大值是(　　)

A．4 B．2＋

C．3 D．1＋

二、多项选择题

5．(2024·聊城二模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　)

A．λ＝3 B．a∥b

C．a⊥(b－a) D．a与b的夹角为45°

6．(2024·广州一模)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，

则下列结论一定正确的是(　　)

A．a·b＝0

B．(a＋b)⊥(a－b)

C．向量a，b在a＋b上的投影向量相等

D．|a＋b|＝|a－b|

 

7．(2024·杭州期中)在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是(　　)

A．－＝ B．＋＝3

C．·＝||2 D．在上的投影向量为

 

三、填空题

8．在平行四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,4)，则·＝____．

9．(2024·常德3月模拟改)已知平面向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，若向量c与a，b共面，且满足a·c＝b·c＝1，则|c|＝____．

10．(2024·阜阳一测)如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，||＝2||＝2，则(＋)·＝___．

 

四、解答题

11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．

(1) 若AD＝BC＝3，求·的值；

(2) 若·＝27，·＝－5，求·的值．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M是AB上靠近A的三等分点，N是BC的中点，Q是DN与MC的交点．

(1) 用向量，表示，；

(2) 求∠CQN的余弦值．

B组　滚动小练

13．(2025·德州期初)已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，α∈，β∈，则tanα＋tanβ的值为(　　)

A． B．

C． D．

14．(2024·临汾期中)(多选)已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝1，则(　　)

A．a＋b＞ B．a＋b＜1

C．＋的最小值为8 D．ab的最大值为

15．(2024·烟台期中节选)已知函数 f(x)＝xex－x2－ax(a∈R)，讨论f(x)的单调性．