重难点专训04 四大分布的期望与均值（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训04 四大分布的期望与均值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 两点分布期望与均值 4 题型2 二项分布期望与均值 4 题型3 超几何分布期望与均值 5 题型4 正态分布 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型通法及变式提升 题型1 两点分布期望与均值 【典例1-1】（2025·天津·二模）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知事件A，B，若，且，，则 B．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量，，则， 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.1.判断事件是否相互独立的方法 【变式1-1】（2026·天津津南·二模）下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 【变式1-2】（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的个数为（   ） ①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则； ②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种； ③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则； ④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则. A． B． C． D． 题型2 二项分布期望与均值 【典例2-1】（2026·天津宝坻·三模）2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式2-1】（2025·天津滨海新区·三模）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______． 【变式2-2】（2025·天津宝坻·模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． (1)）求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 题型3 超几何分布期望与均值 【典例3-1】（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 【变式3-1】（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 【变式3-2】（2023·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 题型4 正态分布 【典例4-1】（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式4-1】（2026·天津和平·一模）已知下列三个命题：其中真命题的序号是（   ） ①数据的第60百分位数为3； ②若随机变量服从二项分布，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式4-2】（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 4．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·天津·模拟预测）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津静海·二模）某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 8．（2026·天津静海·三模）某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： （1）直到第三次首次击中目标的概率是0.8；    （2）恰好击中目标三次的概率是； （3）目标被击中的概率是；    （4）恰好击中目标三次的概率是； 其中正确的结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） 9．（2025·天津·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 10．（2025·天津河东·一模）已知随机变量服从正态分布，且，则_____________． 创新提升 1．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 3．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·天津津南·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训04 四大分布的期望与均值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 两点分布期望与均值 4 题型2 二项分布期望与均值 4 题型3 超几何分布期望与均值 5 题型4 正态分布 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1.两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 2.二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 3.超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 4.正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 题型通法及变式提升 题型1 两点分布期望与均值 【典例1-1】（2025·天津·二模）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知事件A，B，若，且，，则 B．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量，，则， 【答案】ABC 【详解】选项A.由，，且， 则，正确. 选项B.服从超几何分布，总球数，白球数，抽取数， 超几何分布期望公式为，正确. 选项C.两点分布的方差，正确. 选项D.若，则，. 由期望、方差性质，，，错误. 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.1.判断事件是否相互独立的方法 【变式1-1】（2026·天津津南·二模）下列说法错误的是（    ） A．若离散型随机变量服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．随机变量满足，若，则 D．随机变量，若，则 【答案】D 【详解】A，由服从两点分布，则， 而，则，对； B，由，则，对； C，由，则， 又，则，对； D，由，，则， 故，错. 【变式1-2】（2026·天津·模拟预测）下列说法错误的个数为（   ） ①若随机变量服从两点分布（或-分布），且，则； ②要将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，不同分法的种数是种； ③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则； ④某人射击次，未击中目标的概率为，连续射击次，设击中目标的次数为，且每次射击相互没有影响，则. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①根据两点分布的均值，方差， 若，则，因此①错误； ②将个不同的礼物分给位同学，每人至少个，则说明必有人拿到个礼物， 所以可以先取个礼物，共有种；再将分好的组礼物分配，共有种， 因此，不同分法的种数为种，②正确； ③由事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，则第一枚点数可能为，，，共种， 而第二枚点数无要求，因此种； 又第一枚骰子投出的点数为奇数，两枚骰子点数之和为的情况，有和， 则，因此，③正确； ④由未击中目标的概率为，则击中目标的概率为，连续射击次，每次都相互独立，且概率均相同， 因此击中次数服从二项分布，即，因此④正确. 题型2 二项分布期望与均值 【典例2-1】（2026·天津宝坻·三模）2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 【答案】 / 【详解】发送0，则依次收到0，0，1的概率为， 发送1，则译码为1的概率为 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【变式2-1】（2025·天津滨海新区·三模）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______． 【答案】 1 【详解】由题可得服从二项分布，即， 因为，所以， 所以 . 故答案为:1; . 【变式2-2】（2025·天津宝坻·模拟预测）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． (1)）求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ；期望为． 【详解】（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，， 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”， 依题意有 所求的概率为 （2）的可能值为，且 ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 题型3 超几何分布期望与均值 【典例3-1】（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________． 【答案】 ； 58 【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为； 至少抽到1张“获奖卡”的概率为， 设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则， 所以． 故答案为：； 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 【变式3-1】（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 【答案】 /0.8 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 【变式3-2】（2023·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 【答案】 【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 故答案为：， 题型4 正态分布 【典例4-1】（2026·天津南开·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 【答案】B 【详解】对于A，因为，且，故， 则，A错误； 对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确； 对于C，举例，抛两次硬币，设“第一次正面向上”，“第二次正面向上”，“两次向上结果相同”， 则，, 满足, 即，，三个事件两两独立，而，即C错误； 对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18， 因为，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即，D错误. 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式4-1】（2026·天津和平·一模）已知下列三个命题：其中真命题的序号是（   ） ①数据的第60百分位数为3； ②若随机变量服从二项分布，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】命题①：因为，所以这6个数据的第60百分位数是第4个，为3，故①正确； 命题②：若随机变量服从二项分布，则，故②正确； 命题③：因为，且，则，所以，所以，故③错误. 所以A选项正确. 【变式4-2】（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（    ） A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5 B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等 C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 【答案】C 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确； 对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率， 所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误； 对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确； 故选：C. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（    ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点： ②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错； 对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系， 即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对； 对于④，某项测量结果服从正态分布，若， 则，④对. 故选：C. 2．（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 3．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【详解】对于A，该组数据共个，下四分位数即第25百分位数，位置为整数， 所以下四分位数为第2项与第3项的平均值，即，A正确． 对于B，残差公式为，代入观测值，预测值， 得残差为，B正确； 对于C，，由二项分布概率公式， 代入得，C错误。 对于D：由独立性检验原理，对应， 即推断两个分类变量有关联的犯错概率不大于，D正确． 4．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 5．一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设蚂蚁沿正方向前进了次，则沿负方向后退了次， 最终位置. 根据题意得，单次前进的概率，则前进次数， . . 令，即，所以， 所以，当时，； 当时，； 当时，. 因此， 当时，； 当时，. 因此蚂蚁最终可能停留在数轴的或位置. 6．（2025·天津·模拟预测）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 7．（2025·天津静海·二模）某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 【答案】 【详解】由题意可知，每次投篮结果相互独立，且单次投中概率恒为，故3次投篮的命中次数服从二项分布， 即. 所以； . 8．（2026·天津静海·三模）某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，有各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： （1）直到第三次首次击中目标的概率是0.8；    （2）恰好击中目标三次的概率是； （3）目标被击中的概率是；    （4）恰好击中目标三次的概率是； 其中正确的结论的序号是______（写出所有正确结论的序号） 【答案】（3） 【详解】∵射击一次击中目标的概率是0.8， ∴由独立事件的性质可知，直到第三次首次击中目标的概率是，故（1）不正确； ∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，故射击次数服从二项分布， 故恰好击中目标3次的概率是，故（2）（4）错误； ∵一次都未击中目标的概率为， 所以目标被击中的概率是，故（3）正确； 9．（2025·天津·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率______． 【答案】0.3或 【详解】随机变量服从正态分布，由对称性得，故. 10．（2025·天津河东·一模）已知随机变量服从正态分布，且，则_____________． 【答案】 0.24/ 【详解】随机变量服从正态分布，且， 则. 创新提升 1．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】对于①，全称命题，的否定是特称命题：，；故①正确； 对于②，直线l上有无数个点不在平面内，直线l与平面可能相交，也可能平行，故②错误； 对于③，根据正态分布的性质可得,故③错误； 对于④，由随机变量，且，，可得：，解得，故④正确. 2．（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 【答案】D 【详解】对A：样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确. 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则，则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，因为，所以第百分位数为，D错误； 故选：D. 3．（2024·天津北辰·模拟预测）下列命题中，不正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．若，，则的最小值为 D．两个随机变量的相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【详解】对于A，随机变量，由二项分布方差公式得，故A正确； 对于B，随机变量，由正态分布的对称性得，故B正确； 对于C，由，则， 所以 当且仅当，则或取等号，故C正确； 对于D，线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故D错误. 故选：D. 4．（2026·天津·模拟预测）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. 5．（2026·天津津南·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 则，又， 所以， 所以， 故选：A. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $