平面向量的基本定理与坐标表示专项训练-2026届高三数学一轮复习

平面向量的基本定理与坐标表示

A组　夯基精练

一、单项选择题

1．已知四边形ABCD是平行四边形，＝3，若＝a＋b(a，b∈R)，则a＋b＝(　　)

A． B．

C． D．

 

2．(2025·苏州期初)已知向量a＝(1，－1)，b＝(x－2，x2)，则“x＝－2”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．(2024·湖南模拟)已知λ∈R，平面向量a＝(λ，－1)，b＝(2，λ)，则|a＋b|的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

4．(2024·漳州三检)在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝2DC，E是AC的中点，记＝m，＝n，则＝(　　)

A．n－3m B．n－3m

C．m－3n D．m－3n

二、多项选择题

5． 在等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　　)

A．＝(＋) B．＝＋

C．＝ D．＝＋

 

6．设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中∠xOy＝θ，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若平面向量a满足a＝xe1＋ye2，则有序数对(x，y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y)θ，下列命题中是真命题的是(　　)

A．已知a＝(2,3)，则|a|＝

B．已知a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)θ

C．已知a＝(－1,2)θ，b＝(2,1)θ，则a·b＝0

D．已知a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，若a∥b，则x2·y1＝x1·y2

7．(2024·厦门四检)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足＝2，＝，AE与CD交于点O，则(　　)

A．＝＋ B．·＝8

C．＝2 D．|＋＋|＝

三、填空题

8．(2024·淮北二模)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，t)，若2a＋b与a＋2b共线，则实数t＝____．

9．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若＝m＋n，则m－n＝___．

 

10．设点A(2,0)，B(4,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为____．

四、解答题

11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1) 若＋＋＝0，求||；

(2) 设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n．

12．如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b．

(1) 试用向量a，b表示；

(2) 过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F，记＝λa，＝μb，求证：＋为定值．

B组　创新题体验

13．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1,2,3，…，n－1，则称A(n)与B(n)互为正交点列．

(1) 求A(3)：A1(0,2)，A2(3,0)，A3(5,2)的正交点列B(3)；

(2) 判断A(4)：A1(0,0)，A2(3,1)，A3(6,0)，A4(9，1)是否存在正交点列B(4)，并说明理由．