江西省奉新四中、高安四中联考2025-2026学年九年级上学期12月质量检测数学试题

九年级12月质量检测数学卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 2．某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（    ） A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校 C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校 3．一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，有最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 5．下列成语所描述的事件，是随机事件的是 （    ） A．水涨船高 B．一箭双雕 C．水中捞月 D．一步登天 6．如图，在 中， 是直径， 是弦，，垂足为，连接，，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 　　　　 　　第6题图　　　　第7题图　　　　　　　　第9题图　　　　　　　　第10题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是        　　　　  ． 8．用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：     　　   ． 9．已知：如图，是的内切圆，分别切、、于点、、，的周长为，，则　　　　　　　． 10．如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为       　　   ． 11．如图，点，，在上，，的延长线交直线于点，且∠OCB＝40°，直线与的位置关系为 　　　．　　　　　　　 12．如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，菱形的边长为　 　． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。 13．用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 14．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 15．请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）在图中，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD; （2）在图中，为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心． 16．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标． （2）求点绕着原点旋转到点的路径长结果保留． 17．如图，中，弦与相交于点，，连接、． 　　求证：（1）；（2）AE＝CE． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 18．某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用，，，表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； （2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ （3）如果全校征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 19．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 20．（1）若______，______． （2）当______时，代数式有最小值，最小值是______． （3）如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。 21．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作OE∥AB交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、解答题：本题12分。 23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 九年级12月质量检测数学答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（  C  ） A． B． C． D． 2．某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（  D  ） A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校 C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校 3．一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是（ C   ） A． B． C． D． 4．对于二次函数，下列结论正确的是（ D   ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，有最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 5．下列成语所描述的事件，是随机事件的是 （  B  ） A．水涨船高 B．一箭双雕 C．水中捞月 D．一步登天 6．如图，在 中， 是直径， 是弦，，垂足为，连接，，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（   A ） A． B． C． D． 　　　　 　　第6题图　　　　第7题图　　　　　　　　第9题图　　　　　　　　第10题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是        　　　　  ． 8．用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：垂直于同一条直线的两条直线相交． 9．已知：如图，是的内切圆，分别切、、于点、、，的周长为，，则　　　　2　　　． 10．如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为       2.8　　   ． 11．如图，点，，在上，，的延长线交直线于点，且∠OCB＝40°，直线与的位置关系为 相切 ．　　　　　　　 12．如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，菱形的边长为　． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。 13．用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． ，；  ，  14．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 【答案】(1)解：设扇形的圆心角的度数为，则，解得.答：扇形圆心角的度数为；  (2)侧面积为，母线长为30 cm，，.答：圆锥的底面半径为.  15．请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）在图中，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD; （2）在图中，为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心． 【答案】(1) (2) 16．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标． （2）求点绕着原点旋转到点的路径长结果保留． 【答案】解：如图； 各点坐标：． 由图可知：，   17．如图，中，弦与相交于点，，连接、． 　　求证：（1）；（2）AE＝CE． 【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 18．某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用，，，表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； （2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ （3）如果全校征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 【答案】抽样调查； 所调查的个班征集到的作品数为：件， 平均每个班件，班有件， 估计全校共征集作品件， 条形图如图所示， 画树状图得： 共有种等可能的结果，两名学生性别相同的有种情况， 恰好抽中两名学生性别相同的概率为：．  19．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】；     【解析】一元二次方程有实数根， ． ． 由题意，方程的两个实数根分别为，， ，． ． ， ，即． 或． 又结合得，， ． 20．（1）若______，______． （2）当______时，代数式有最小值，最小值是______． （3）如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】，；  ，；  当的值为时，的面积最大，最大值为  【解析】， ，； 故答案为：，； ， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：，； 由题意得：，，则， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 即：当的值为时，的面积最大，最大值为． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。 21．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作OE∥AB交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】是的切线，理由如下， 如图所示，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 又是圆的半径， 是的切线；   图中阴影部分的面积为：  22．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； 如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：． 设，则． ． ． 当时，． 此时，点的坐标是； 设，、， ，，． 当时，，即解得． 当时，，即解得． 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或，  六、解答题：本题12分。 23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点； 解：， ， 而， 为的中位线， ， ； 解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，如图， 则， 在中，， ， ， 的最小值为．  202512九年级随堂检测卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 故选：． 根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等是解题的关键． 2.某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是(    ) A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校 C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校 【答案】D  【解析】解：根据抽样调查样本的普遍性和代表性可知，选项D相比较而言具有普遍性和代表性．  故选：． 根据抽取样本的普遍性和代表性进行判断即可． 本题考查抽样调查样本的可靠性，理解抽样调查样本的普遍性和代表性是抽样的基本原则． 3.一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】 解：扇形的面积是：． 4.对于二次函数，下列结论正确的是(    ) A. 函数图象的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D  【解析】解：由题意，二次函数为， 顶点为，对称轴是直线，当时，取最大值为，当时，随的增大而减小． 、、均错误，D正确． 故选：． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5.下列成语所描述的事件，是随机事件的是 (    ) A. 水涨船高 B. 一箭双雕 C. 水中捞月 D. 一步登天 【答案】B 6.如图，在 中， 是直径， 是弦，，垂足为，连接，，，则下列说法中正确的是     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握这些定理是关键，逐项分析即可得到答案． 【解答】 解：，选项D错误 由垂径定理可知，点是的中点， 由圆周角定理及其推论可知，， ， ， 故选项B，C错误，选项A正确． 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先根据旋转的性质得，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出 【解答】 解：是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上， ，， ， ， ， 故答案为：． 8.用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：          ． 【答案】垂直于同一条直线的两条直线相交 【解析】略 9.已知：如图，是的内切圆，分别切、、于点、、，的周长为，，则________． 【答案】  【解析】解：是的内切圆，分别切、、于点、、， 设；；， 根据题意得：， 解得， ． 由切线长定理，可知：，，，设；；，利用已知数据建立方程组即可求出的长． 此题主要是考查了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解． 10.如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【解答】 解：正方形二维码的边长为， 正方形二维码的面积为， 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 黑色部分的面积占正方形二维码面积的， 黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 11.如图，点，，在上，，的延长线交直线于点，且，直线与的位置关系为______． 【答案】相切  【解析】【分析】 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，三角形的内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，知道直线与圆的三种位置关系是解题的关键首先由同弧所对的圆周角与圆心角的关系得到，再由三角形的内角和得到，即可得到答案． 【解答】 解：， ， ， ， 直线与的位置关系为相切， 故答案为：相切． 12.如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，菱形的边长为　 　. 【答案】 三、解答题：本题共20小题，共156分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 用适当的方法解下列方程． ； ． 【答案】，；  ，  【解析】， ， ，； ， ， 或， ，． 把原方程变形为，得到或，即可求出答案． 把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可． 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解决问题的关键． 14.本小题分 如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗． 求扇形的圆心角的度数； 求圆锥的底面半径． 【答案】(1)解：设扇形的圆心角的度数为，则，解得.答：扇形圆心角的度数为；  (2)侧面积为，母线长为30 cm，，.答：圆锥的底面半径为.  【解析】 略 略 15.本小题分请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． 在图中，，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，，作出该圆的直径； 在图中，为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心． 【答案】(1)  (2)  【解析】 略  见答案 16.本小题分 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． 画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标． 求点旋转到点的路径长结果保留． 【答案】解：如图； 各点坐标：． 由图可知：，   【解析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案； 根据弧长公式，可得答案． 本题考查了旋转变换，利用关于原点对称的点的坐标是解题关键，又利用了弧长公式． 17.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 18.本小题分 某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校个班中随机抽取了个班用，，，表示，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： 杨老师采用的调查方式是______填“普查”或“抽样调查”； 请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ 如果全校征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 【答案】抽样调查； 所调查的个班征集到的作品数为：件， 平均每个班件，班有件， 估计全校共征集作品件， 条形图如图所示， 画树状图得： 共有种等可能的结果，两名学生性别相同的有种情况， 恰好抽中两名学生性别相同的概率为：．  【解析】解：杨老师从全校个班中随机抽取了个班，属于抽样调查， 故答案为：抽样调查； 见答案； 见答案． 【分析】杨老师从全校个班中随机抽取了个班，属于抽样调查； 由题意得：所调查的个班征集到的作品数为：件，班作品的件数为：件；继而可补全条形统计图； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式． 19.本小题分已知关于的一元二次方程有实数根． 求实数的取值范围； 设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】；     【解析】一元二次方程有实数根， ． ． 由题意，方程的两个实数根分别为，， ，． ． ， ，即． 或． 又结合得，， ． 依据题意，由一元二次方程有实数根，则，从而计算可以得解； 依据题意，由方程的两个实数根分别为，，则，，从而，进而可得或，结合得，，故可以得解． 本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 20.本小题分 若______，______． 当______时，代数式有最小值，最小值是______． 如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】，；  ，；  当的值为时，的面积最大，最大值为  【解析】， ，； 故答案为：，； ， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：，； 由题意得：，，则， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 即：当的值为时，的面积最大，最大值为． 利用配方法求解； 利用配方法得出，即可求解； 用含的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法的应用． 21.如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】是的切线，理由如下， 如图所示，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 又是圆的半径， 是的切线；   图中阴影部分的面积为：  【解析】解：是的切线，理由如下， 如图所示，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 又是圆的半径， 是的切线； 解：，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 如图所示，连接，可证≌，得到，结合切线的判定即可求解； 根据题意得到，，，，由阴影部分的面积代入计算即可求解． 本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，扇形面积的计算方法是关键． 22.本小题分 如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． 求抛物线的解析式和点的坐标； 点是抛物线段上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线与轴交于点、， ． 解得． ，则； 如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：． 设，则． ． ． 当时，． 此时，点的坐标是； 设，、， ，，． 当时，，即解得． 当时，，即解得． 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或，  【解析】将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点的坐标； 利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点、的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点的横坐标，易得其纵坐标，则点的坐标迎刃而解了； 需要分类讨论：点、、分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 23.本小题分 如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． 求证：点为的中点； 若，，求的长； 若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点； 解：， ， 而， 为的中位线， ， ； 解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，如图， 则， 在中，， ， ， 的最小值为．  【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点； 证明为的中位线得到，然后计算即可； 作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级12月质量检测数学卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 2．某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（    ） A．随机抽取城区三分之一的学校 B．随机抽取乡村三分之一的学校 C．调查全体学校 D．随机抽取三分之一的学校 3．一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，有最小值为 C．当时，随的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 5．下列成语所描述的事件，是随机事件的是 （    ） A．水涨船高 B．一箭双雕 C．水中捞月 D．一步登天 6．如图，在 中， 是直径， 是弦，，垂足为，连接，，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 　　　　 　　第6题图　　　　第7题图　　　　　　　　第9题图　　　　　　　　第10题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是        　　　　  ． 8．用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：     　　   ． 9．已知：如图，是的内切圆，分别切、、于点、、，的周长为，，则　　　　　　　． 10．如图，正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为       　　   ． 11．如图，点，，在上，，的延长线交直线于点，且∠OCB＝40°，直线与的位置关系为 　　　．　　　　　　　 12．如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，菱形的边长为　 　． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。 13．用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 14．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径． 15．请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）在图中，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD; （2）在图中，为所在圆的直径，弦，作出该圆的圆心． 16．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标． （2）求点绕着原点旋转到点的路径长结果保留． 17．如图，中，弦与相交于点，，连接、． 　　求证：（1）；（2）AE＝CE． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 18．某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用，，，表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； （2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？ （3）如果全校征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率． 19．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 20．（1）若______，______． （2）当______时，代数式有最小值，最小值是______． （3）如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。 21．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作OE∥AB交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 六、解答题：本题12分。 23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $