安徽省宁国中学　2025年自主招生素质检测数学试题

2025年自主招生素质检测 数学参考答案 选择题：共6小题，每小题4分，满分24分。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D A B C 填空题：共4小题，每小题5分，满分20分。 8.2√2 105 7.(x+y)2(x-4y) 9.-5 10.16 (2分)，n n2 (3分) 11.【答案】(1)17.6(4分) (2)3(6分) 【解析】(1)把原数据均减去85得：一2,0,1,1,2,4,5,8,10,11， 2=-2+0+1+1+2+4+5+8+10+1 10 4， ……2分 2=0(-2-402+(0-40+1-02+1-402+(2-402+4-402+(5-40+(8-40+(10-402+ 1-40]=0×176-8 5 =17.6 …4分 (2)原式= y (r+)+ x2 tt-y 3y2 x2 x3 y(x十y)Tx(x十y)'x-yy(x十y)Tx(x+y)xy(x+y)Txy(x+y) x3+y3 (x十y)(x2-xy十y2)=x2-xy十y …6分 xy(x+y) xy(x+y) x=√4-23+2=√(W3-1)2+2=5-1+2=3+1, 8分 y=3m0-(sn0y+Eam45=8×复-2+恒×号-月-1. 9分 代入x,原式=W5+1)2-+1)3-1)+(3-1)_6 …10分 (√/3+1)(3-1) 2 12.【答案】(1)见图1(4分) (2)见图2(4分) (3)Sx=50(4分) 【解析】(1)，(2)分别如图1、2所示， B D DDD DD 图1 图2 第1页共9页 图3 (3)由图3易知ACED,且AC与ED两平行线间距离为10，…10分 ∴.点Q为AC与⊙P的切点， 由图3易知ED=10, 即△QED的面积的最大值为S0D三X10X10=50,…12分 分析：(1)如图，找到格点D1,D2,D3,D1,D5,和格点E1,E2,E3,E4,E5, 连接D1E,D2E1,D3E2,D4Ea,D5E4,DE5分别交DE于H1,H2,H3,H4. 则H1,H2,H3,H4是线段DE的五等分点； (2)如图2，连接B点和格点F,则BF是∠ABC的平分线， 在CB延长线上找到格点S,则CS=CA=10, 在点A下方找到格点T,连接AS,AT,利用矩形对角线性质得交点R是AS中点， 连接CR,则CR是∠ACB的平分线， CR与BF相交于点P,则P为△ABC的内切圆圆心 13.【答案】(1)∠EAO=90°(4分) (2)6(5分) (3)见解析(7分) 【解析】(1).EO的延长线平分BC,∴.BH=CH, ∴.OH⊥BC,即∠CHO=90°， .AB=AB,∴.∠ADB=∠ACB, 2分 ,∠AEO=∠ADB,∴.∠AEO=∠ACB, 又在△AEO和△HCO中，∠AOE=∠HOC, ∴.∠EAO=∠CHO=90°.…4分 (2)四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=∠ADC=90°， ,∴.在Rt△ABC和Rt△ADC中，根据勾股定理得：AB2+BC2=AD+CD=AC2, AD故设AD=3k,CD=2k(k≠0)，BC=zx(c>0), 第2页共9页 .(2√3)2十x2=(√3k)2十(2k)2,化简整理得：12十x2=7k2,①…6分 ,S四边形AxCD 90y-5a+5m=号×25c十号XFkX2, 7 3k2+5x=90,3即7k2=90-7c,② …8分 ∴.把②代入①得x2十7x-78=0,解得：x1=6,x2=一13（舍），即BC的长为6.…9分 (③)证明：由（2)得=6.又AB=25a心ACB-号.∠ACB=30,…1分 六AC= AB2√3 A0AC=23, sin30° 1 2 又由(1)得EF是⊙O的切线， .FA⊥AC,即∠FAC=90°， 所以FA=ACtan∠ACB=4√3·tan30°=4， 湖2受 4 29 15分 在Rt△FAO和R△CDA中，A=,∠FAO=∠ADC=90, ∴.Rt△FAO∽Rt△CDA,∴.∠AOF=∠DAC,∴.AD∥FO.…16分 14.【答案】1)125 (5分) (2)1+37 10 (6分) (3)√/89-1(7分) 【解析】(1)解法一： 由题意可知AD=AB=6,AE=AF-7AB=3,如图1所示 .四边形ABCD为正方形， 又，E为AD中点，F为AB中点， ∴.∠ABE=∠BCP, 又∠ABE+∠AEB=90°且∠ABE+∠CBP=90°， ,∴∠AEB=∠CBP,…2分B ∴.∠BCP+∠CBP=90°， 图1 故∠CPB=90°.CF⊥BE,… …4分 可得△AEB∽△PFB, 架E成F肥-= BE 5 ∴CP=CF-PF=125 …5分 第3页共9页 解法二：如图1所示，AD=AB,.矩形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠ABC=90°， ,'点E、F分别为AD、AB的中点， ∴AE=BF=号AD=2AB=3. ∴.△ABE≌△BCF,… …2分 ∴·∠ABE=∠BCF, 又.∠ABE+∠PBC=90°， ∴.∠BCF+∠PBC=90°， ∴.∠BPC=90°，… …4分 .AB=6,BF=3,∴.FC=3√5， .∴CP=BCcosa∠BCP=BCcos∠BCF=BC· BC125 FC 5 …5分 (2)如图2所示，过点M作MH⊥AE, ,∠MHI=∠BAI=90°，∠MIH=∠AIB, ∴.△MIH∽△BIA,…6分 帮名 设HI=x(x>0)则MH=3.x 8分 ∴.在Rt△MHE中有(HE)2+(MH)2=(ME)2,即(2-x)2+(3.x)2=4, ∴解得-1中，-1一0会. 图2 10分 5 5 0- …11分 10 (3)如图3所示，过P作PQ⊥BT,作NG⊥NC …12分 BP·AB_BT,PQ=6, 2 2 ∴.BT·PQ=12,① ·∠TBP=∠TPN=∠PCN, 0 ∴.∠BPT+∠NPC=180°-∠TPN, 又∠CNP+∠NPC=180°-∠PCN, 图3 ∴∠BPT=∠CNP,所以△BPTn△CNP,… …13分 故熙-0即p.PC=TN=1.g 由①、②可得PQ=CN,…14分 第4页共9页 易知△BQP≌△GNC(ASA), ∴CG=BP=2,…15分 取点O为CG中点，连接NO,可知NO=1, 由题意可知，当N在AO连线上时AN的取值最小，…17分 .(AN)mm=AO-NO=√82+5-1=√89-1.…18分 15.【答案】1)P(分马6分 (2)见解析(6分)》 (3)3v0 2 (9分)》 【解析】由题意可得y=-x2+2x十3=一(x十1)(x-3),∴.A(一1,0)，B(3,0),C(0,3). (1)如图1所示，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H,过H作HH'⊥y轴，…1分 由题意知BC=3V2,又1m∠CBP-号， .HC= 5 ,易得HH'=CH'=3 , H的坐标为（号号） 3 ,y阳)x计号…3 319 yBH=- ① 联立 2x十2 .1 解得x1=3,x2=2, 图1 y=-x2+2x+3,② P(分卓或80（舍. 综上所述，P点坐标为(2，)， ,115 …5分 (2)由题意可知k6=2,如图2所示 设y心=2x十t,yx=k1x十b,(k1≠0)，yw=k2x+b2(k2≠0)， F(ZF,yE),G(xG:yG),B(ZByB) 本y yRG=2x+l xr十xG=0 联立 解得x2十t-3=0∴. …6分 y=-x2+2x+3 xr·xG=t-3 yG=k1x十b 联立 解得x2+(k1-2)x十b1-3=0 y=-x2+2.x+3 xB十xG=2-k1 0…7 xB·xG=b1-3 yBF=k2x+62 联立 解得x2+(k2-2)x十b2-3=0 y=-x2+2x+3 图2 第5页共9页 xB十xF=2一k2 …8分 xB·xF=b2-3 令x=0,解得yG=b1yE=b2,∴.E(0,b1),D(0,b2) 又C(0,3),∴.EC=b1-3=xB·xG,DC=3-b2=一xB·xr,… …10分 又，'xBxG十xBxF=xB(xF十xG)=O,.xB·xG=一xB·xF, ∴线段EC=DC,故C为DE的中点. …11分 (3)因为B(3,0),C(0,3)且QE∥y轴， B00=∠DEQ=458,易得DE=2QE, 12分 由题意可知yx=一x十3. .∴.设Q(m,-m2+2m+3),E(m,-m+3), .QE=-m2+2n+3-(-n+3)=-m2+3m=-(m- + 图3 ∴DE= √2， ,9√2 8 …14分 “当m-时，D的取值最大，此时E点坐标为（号，多》 , …15分 如图3，作E关于x轴对称点E,连接EE,NE.CE,易得E(号，一多.NE=NE,…17分 四边形CENM为平行四边形，∴CM+CN=CN+NE=CN+NE',…l9分 ·(CM+CN)m=CE'=3/@ 2 20分 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 第6页共9页 详解 1.【解析】，(x2+3.x)2+4(x2+3.x)-45=0,∴.(x2+3.x-5)(x2十3.x十9)=0. ∴.x2+3x-5=0或x2+3.x+9=0, .方程x2十3x十9=0中4=9-4×9=一27<0无实数根， ∴.该方程所有实数根的和为x1十x2=一3，故选A. x-m<3,① 2.【解析】 2(x-n)+3>1,② 解不等式①得x<m+3,解不等式②得x>n-1, .∴，不等式组解集为n一1<x<m十3. 画树状图如下所示： 选m 选n 解集。整数解个数 2 1<x<4 2 3 2<x<4 4 3<x<4 0 1 0<x<5 -2 —3 2<x<5 2 开始 4 3<x<5 0<x<6 J —2 1<x<6 4 3<x<6 2 0<x<7 6 1<x<7 2<x<7 一共有12种可能，有且只有两个整数解有三种情况，故概率力三2=，故选© 3.【解析】3m=6,.(3m)”=6”=(2X3)”=2”×3”, ,∵3"=a,2=b,且ab=27,.3m=ab=27=33,∴.mn=3.故选D. 4.【解析】由折叠知∠3=∠BDC,∠EDF=∠EDA,而∠BDC+∠3十∠EDF+∠EDA=180°， ∴.∠3+∠EDF=90°，即∠EDC=90° 又由折叠知∠B=∠2，∠A=∠1，，∠ACB=90°，∠A十∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°，即∠CFE=90°，∴.四边形CDEF为圆内接四边形. 六∠EDF=∠4，∴tan∠EDF=tan∠4=EE CE' 由折叠知BC=CF,AE=EF, 故设CE=x,在Rt△CEF和Rt△ABC中， 根据勾股定理得CE2-EF2=CF2,CF2=CB2=AB2-AC2, .AB=40,AE=7,..CE2-EF2=CF2=CB2=AB2-AC2, ∴.x2-72=402-(x十7)2，解得x1=25,x2=-32(舍)」 CE=25,CF=24,∴tan∠EDF=EF=7 CF24故选A 第7页共9页 5【架折】当x-2时y=23+2X4什8-5华0， 当=-1时y=2+2+1-5-多>0： 当x=0时，y=2°-5=-4<0： 当x=1时，y=2+2-4-5=-5<0; 当x=2时，y=22十2×4-8-5=-1<0.根据题意，选B. 6.【解析】，∠ABC=90°，∠FEC=90°，∴.∠ABC=∠FEC, .四边形BCEF为圆内接四边形， ∴.∠ECF=∠ABD, ,D是Rt△ABC斜边AC中点， ∴.AD=BD,∴.∠A=∠ABD,即∠A=∠ECF,故②正确： D ,△ABD和△EDC只有一对对顶角相等，故①错误； 当EF=EB时，如图，由四边形BCEF为圆内接四边形， ∴.∠1=∠2， EF=EB,过E作EH⊥FB, 由∠ABC=90°，∴.HEBC,∴.∠2=∠3， 又，D点是Rt△ABC斜边AC中点， BD=CD,∠2=∠4， ∴.∠1=∠2=∠3=∠4， ,EF=EB,∴.∠EFB=∠EBF,∴·∠EFC+∠CFB=∠EBF, 而∠EFC=∠2，∠EBF+∠2=90°， ∴.∠EFC+∠CFB+∠2=90°，2∠EFC+∠CFB=90°，故③错误； ,AB=6,AC=10,在Rt△ABC中， 根据勾股定理得BC=8,∴.易得△ECFC∽△BAC, ,AB:BC:AC=6:8:10=3:4:5,∴.CE:EF:FC=3:4:5, 故设CE=3k,EF=4k,FC=5k,则EB=4k, :∠3=∠4sn3=sn4=是HB=B服sn2=4×g-号， FB=2HB=号. 24, 在R△BC中，根据勾股定理得8十（号）产=(5P,解得及-9 Sam=2BC·FB=2×8×2×9-79,故④正确故进C 7.【解析】原式=(x3+y3)-(2x2y+7xy2+5y3) =(x+y)(x2-xy+y2)-y(2x2+7xy+5y2) =(x+y)(x2-xy+y2)-y(x+y)(2x+5y) 第8页共9页 =(x十y)(x2-3.xy-4y2) =(x+y)(x+y)(x-4y) =(x+y)2(x-4y). 8.【解析】∠A=25°，∠ABD=10°，∠CDB=35, 连接OD,OC,过O作OH⊥CD,.∠ODB=∠ABD=10°， H ∴.∠CD0=∠CDB+∠ODB=35°+10°=45°， D ∴.△ODC为等腰Rt△， B ∴CO=D0=4,∴.CD=42,∴.OH=22. 9.【解析】设A(x1,y1),B(x2y2), k=x1y1=x2y2y1=x1十6，y2=x2十6. :S四边形ABD= (BC+AD·CD=12∴2+(，-，)=12 1 ∴y2x1-x2y2十x1y1-y1x2=24,y2x1-y1x2=24,.(x2十6)x1-(x1十6)x2=24, ∴x2x1十6x1一x1x2一6.x2=24,化简整理得x1一x2=4, y=x+6, 又联立得x十6=华x2十6c一=01和，是方程x2十6x一=0的两根 根据韦达定理得x1十x2=一6，x1x2=-k,∴.(x1一x2)2=16, 即(x1十x2)2-4x1x2=16,.36十4k=16,解得k=-5. 10【解折】“a,-号-1十号-1+： ，1 ,11 221 8349 a-a24 3432 23 。=生十164人 Q4=43十又=3十2人了了 21 25 。-u25t易 a6=6+9%=6+36_105小 64=16.a二n十2w、 第9页共9页2025年自主招生素质检测 数学试题 本试卷满分120分，考试时间100分钟 注意事项： ● 1.全卷包括“试题卷”(4页)和“答题卡”(2页)两部分。 2.答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不 使用计算器。 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。 n 一、选择题：共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 图 1.已知方程(x2+3x)2十4(x2十3.x)一45=0，则该方程所有的实数根之和为 A.-3 B.-4 C.-6 D.0 x-m<3, 2.从1,2,3,4四个数中任选两个不同的数分别记为，n,则不等式组 2(x-n)十3>1 有且只有两个整 数解的概率为 圜 A号 D. 如 3.已知3"=6,3”=a,2”=b,且ab=27,则mn的值为 的 A.30 B.27 c号 D.3 ☒ 品 第4题图 第6题图 4.在如图所示的平面内，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿CD和DE 折叠，点B和点A重合于点F.若AB=40,AE=7,则tan∠EDF的值为 O A孟 R品 c是 n是 5.对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点.如果函数在a≤x≤b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x=a和x=b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x ≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y=2十2x2一4x一5在下列范围内一定有零点的是 A.-2≤x≤-1 B.-1≤x≤0 C.0≤x≤1 D.1≤x≤2 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边AC的中点，点E在射线BD上运动，EF与边AB 所在直线交于点F,且∠FEC=90°，连接FC.当AB=6,AC=10时， ①△ABD∽△EDC; ②∠A=∠ECF; 768 ③当EF=EB时，则∠EFC+2∠CFB=90°；④当EF=EB时，则△BCF的面积为7， 则以上说法正确的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第1页共4页 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。 7.因式分解：x3-2x2y-7xy2-4y3= 8.如图，已知⊙O的半径为4，一条直线AB经过圆心O,另一条直线AC与⊙O分别交于点C和点D, ∠A=25°，∠ABD=10°，则弦CD的弦心距等于 B 第8题图 第9题图 9.如图，已知一次函数y=工十6的图象与反比例函数y=的图象在第二象限分别交于点A和点B,过点 A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C.当四边形ABCD的面积为12时，则k= 3 10.已知一列数a1a,a3,a4,as,an(其中n为正整数)，其中a1=受a2=a1十2a,=ae十8， 3 7 25 a4=a3十8a5=a+32,则a6= ,a (用含n的表达式表示). 三、解答题：共5题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 11.(10分) (1)现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83,85,86,86,87,89,90,93,95,96，请计算 这组数据的方差； 2先化简代数式：十十y产)÷号之，再求值，其中=42店+2 y=3tan30°-(sin30)-1+√2cos45° 第2页共4页 12.(12分) 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E的坐标分别为（一7,1），(1,1)，(1,7)，(7，一1)，（一1，一7） (1)请在图1中用无刻度的直尺将线段DE分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法）》 (2)请在图2中用无刻度的直尺画出△ABC的内切圆的圆心P;(保留作图痕迹，不写作法) (3)点Q为⊙P上一动点，求△QED面积的最大值 y y个 图2 13.(16分) 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=∠ADC=90°，过点A的直线与CD、CB的延长 线分别交于点E和点F,EO的延长线平分BC并交BC于点H,∠AEO=∠ADB,AB=2√3， AD 3 四边形ABCD的面积为0， E (1)求∠EAO的值； (2)求线段BC的长； D (3)如图2，连接FO,求证：ADFO. H H 图1 图2 第3页共4页 14.(18分) 已知矩形ABCD中，AB=6. (1)如图1，若AD=AB且点E、F分别为AD、AB的中点，BE与CF交于点P,求CP的长： (2)如图2，若AD=AB十2，点E为AD的中点，以点E为圆心，AE为半径作圆，点I为AE的中 点，延长BI交OE丁点M,求的值： (3)如图3，若AD=AB+2,点P在BC上且BP=2,T为AD上任意一点，点N在四边形ABCD 内，且∠TBP=∠TPN=∠PCN,连接AN,求AN的最小值. 图1 图2 图3 15.（20分) 如图1，已知二次函数y=一x2+2x十3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点. (1)如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且1an∠CBP-号，求点P的坐标： (2)若抛物线上有两动点F,G,且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG分别与y 轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点； (3)如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC,QE∥y轴，点N在x轴上，四边形CENM为平 行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值 y M 图1 图2 图3 第4页共4页