精品解析：安徽省宣城市宁国中学2022年自主招生素质检测数学试题

2022年自主招生素质检测数学试题 本试卷满分100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页． 2．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 满足等式的所有整数解的个数为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知：是等边三角形，，点、分别是、边上三等分点，，．如图所示，矩形的边经过点、，将矩形沿着边、折叠，折痕分别为、，，，则的最小值为（ ） A. 17 B. 24 C. 25 D. 26 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 7. 为方程两个根，则代数式的值为_______． 8. 如图，是矩形的对角线，⊙是的内切圆，过点作于点于点．若矩形的面积为3，则矩形的面积为_______． 9. 甲、乙二人分别从两地出发相向而行，甲比乙早出发1小时，乙出发3小时后他们相遇，两人继续行走2小时后，甲到达地，则乙还需______小时到达地． 10. 在平面直角坐标系中，，则的最小值是_____． 11. 如图，点分别在的边上，直线交的延长线于点，若分别表示的面积，且，则______． 12. 对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为_____． 三、解答题：共4题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 13. 先化简，再求值：．其中，，． 14. 已知内有一定点，在角两边、上能否分别找到两点、，使为等腰直角三角形？ 小安同学操作步骤如下： ①过点作，反向延长交于点； ②过点作，反向延长交于点； ③以为圆心，长为半径画，交于点、（点在点的左侧）； ④以为圆心，长为半径画，交于点、（点在点的左侧）； ⑤连接、； 则、为等腰直角三角形． （1）根据小安同学的操作步骤完成画图； （2）证明或等腰直角三角形（任选一个证明）． 15. 在正方形中，为边上的一动点． （1）在上，当时，求证：； （2）作，垂足为． ①求证：平分； ②探究之间的关系； （3）点是线段延长线上一点，当，时，求的最大值． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求的值及顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； （3）将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位，当平移后的直线与图象有公共点时，请结合图象直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年自主招生素质检测数学试题 本试卷满分100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页． 2．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为：， 圆锥的母线为4， 则高为， 故选：D． 2. 满足等式的所有整数解的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方的运算，零指数幂，解题的关键是考虑周全所有情况． 根据1的任何次幂都为1，的偶次幂为1，除0外的任何数的0次幂为1，进行求解即可． 【详解】解：由得， ， 当时，，此时，； 当时，或； 当时，或， 当时，，此时，，不符合题意； 当时，，此时，，符合题意； 所以，符合题意的整数解的个数为4， 故选：B． 3. 表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和不等式组的关系，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． 表示出一次函数解析式，通过图形确定每个不等式，然后整理成不等式组即可． 【详解】解：由得，；由得，； 图中阴影部分由三条直线相交所构成， 位于和的下方，的上方， ∴， 整理得， ∴表示该区域的不等式组为， 故选：C． 4. 平面直角坐标系中，4个一次函数依次为：、、、．若、相交于点，那么、的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、两直线的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的交点和二元一次方程组的关系． 将点代入、得，联立、得出，然后代入求纵坐标即可． 【详解】解：将点代入、得， ， 整理得， 联立 整理得， 则， ∴、的交点坐标为， 故选：B． 5. 已知：是等边三角形，，点、分别是、边上的三等分点，，．如图所示，矩形的边经过点、，将矩形沿着边、折叠，折痕分别为、，，，则的最小值为（ ） A. 17 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和翻折，等边三角形的性质，轴对称的性质及勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造图形． 根据题意证明是等边三角形，得出，为定值，截去部分的矩形得出新矩形，作点关于点的对称点，连接，交于点，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，再利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，为定值，截去部分的矩形，可得如下图形， 此时，， 作点关于点的对称点，连接，交于点， 此时，值最小，为， ∴， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ∴ ∴的最小值为26． 故选：D． 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 取格点G，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 7. 为方程的两个根，则代数式的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 8. 如图，是矩形的对角线，⊙是的内切圆，过点作于点于点．若矩形的面积为3，则矩形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、内切圆的性质、内切圆半径的求法、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，圆的半径为，过点作三边的垂线，分别交于、、点，根据面积法表示出圆的半径，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设，，则， 设圆的半径为， 如图，过点作三边的垂线，分别交于、、点，则有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵矩形的面积为3，即， ∴． 故答案为： ． 9. 甲、乙二人分别从两地出发相向而行，甲比乙早出发1小时，乙出发3小时后他们相遇，两人继续行走2小时后，甲到达地，则乙还需______小时到达地． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了行程问题的数量关系的运用，此题要知道把路程看作单位“1”，关键是利用路程、速度、时间之间的关系式进行计算． 假设两地路程为1，然后利用路程、速度、时间之间的关系式进行求解即可． 【详解】解：假设两地路程为1， 根据题意得，甲走完全程所用时间为：（小时）， 两人相遇后，甲用2小时到达地，此段路程为全程的， 这段路程也是乙在相遇前3小时所走的路程，即乙用了3小时走了这段路程的， ∴乙走完全程所用时间为（小时）， ∴甲到达地，乙到达地还需时间为（小时）， 故答案为：4． 10. 在平面直角坐标系中，，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质并构造图形． 画出图形，由点的坐标知，点N在直线上，求出此直线与坐标轴的交点坐标，过点作轴，过点作轴，得出四边形是正方形，点关于直线对称，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由得点在直线上， 过点作轴，过点作轴，两线交于点， ∴， 又∵， 则四边形是矩形， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点关于直线对称， ∴， 连接， 此时，的值最小，为， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 11. 如图，点分别在的边上，直线交的延长线于点，若分别表示的面积，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积与线段比例关系的应用，熟练掌握三角形面积与线段比例之间的联系是解题的关键．连接，利用三角形面积与线段比例的关系，结合已知三角形面积，逐步推导得出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ，即， ， ，， ，即， 解得， 故答案为：． 12. 对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是利用函数图象求出交点坐标． 令，根据解析式求出交点坐标，通过分区间表示出最大值，最后进行比较即可． 【详解】解：如图所示，令， 联立， 解得或或； 联立， 解得或； 联立， 解得或； 结合图象交点进行分析如下： 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，无意义； 当时，； 当时，，； 当时，； 综上，当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题：共4题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 13. 先化简，再求值：．其中，，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键． 将除法变为乘法，利用提取公因式、平方差公式和完全平方公式进行化简约分，再结合特殊角的三角函数值求出的值，再代入化简后的结果，计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴，， ∴，，， ∴原式． 14. 已知内有一定点，在角的两边、上能否分别找到两点、，使为等腰直角三角形？ 小安同学操作步骤如下： ①过点作，反向延长交于点； ②过点作，反向延长交于点； ③以为圆心，长为半径画，交于点、（点在点的左侧）； ④以为圆心，长为半径画，交于点、（点在点左侧）； ⑤连接、； 则、为等腰直角三角形． （1）根据小安同学的操作步骤完成画图； （2）证明或为等腰直角三角形（任选一个证明）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照小安同学的操作步骤，依次作出相应的垂线、延长线、圆，从而完成图形绘制． （2）通过证明三角形全等，得出对应边相等和对应角相等，进而推导出等腰直角三角形的条件证明和为等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴． ∴， ∵以为圆心，长为半径画，交于点，以为圆心，长为半径画，交于点， ∴，． 在和中， ∴． ∴，, ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵，， ∴． ∴， ∵． ∴． ∵以为圆心，长为半径画，交于点，以为圆心，长为半径画，交于点， ∴，． 在和中， ∴． ∴，, ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 15. 在正方形中，为边上的一动点． （1）在上，当时，求证：； （2）作，垂足为． ①求证：平分； ②探究之间的关系； （3）点是线段延长线上一点，当，时，求的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）把顺时针旋转，使得边与重合，证明，即可得解； （2）作，，证明四边形为正方形，即可得证；把逆时针旋转，得到，根据直角三角形的性质判断计算即可． （3）将逆时针旋转得到，得是等腰直角三角形，，根据三角形三边关系可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，把顺时针旋转，使得边与重合，连接， ， 则，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①证明：如图，作，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． ②把逆时针旋转，得到，则， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 【小问3详解】 解：将逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， 中，， ∴， ∴， 当三点共线时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的综合应用，旋转的综合应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，准确理解图形、做出旋转图形是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求的值及顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； （3）将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位，当平移后的直线与图象有公共点时，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2）、 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把点的坐标代入抛物线的解析式即可求解； （2）计算，推出点只可能在第四象限或第二象限的抛物线上，分类讨论进行解题； （3）直线向上平移个单位后的直线为：，平移后的图象的解析式为，结合图象求出临界点，即可确定范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 对称轴为， ∴顶点的坐标为， ∴，顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式， 令，则有， 解得：或， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴点只可能在第四象限或第二象限的抛物线上， 如图，当点在第四象限的抛物线上时，设， 则有 ， 当， ， ， ， ∴， ∴（纵坐标大于零，舍去）或； 如图，当点在第二象限的抛物线上时， 则有 ， 当， ， ， ， ∴， ∴（横坐标大于零，舍去）或； 综上所述，、； 小问3详解】 解：直线向上平移个单位后的直线为：， 点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 平移后的图象的解析式为，其中； 当点落在直线上时，，解得， 当点落在直线上时，，解得， 当直线与平移后的抛物线相切时， 令， ①， ， ， ， 解得：，此时图象自变量的范围为， 代入①可得：， ， 解得：， ∴此时相切的点在图象上； 观察图象可知，满足条件的的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $