17.1 一元二次方程（题型专练，5基础题型+4提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

17.1 一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（不等于0） 2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 3．下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 5．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 题型二 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（   ） A． B． C． D． 4．若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 5．关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 题型三 一元二次方程的一般形式 1．将一元二次方程化成一般形式后，一次项的系数是（    ） A． B．2026 C． D．4 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定的值，对于方程，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，， 4．把方程化为一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 5．把一元二次方程化成一般形式是 ． 6．将一元二次方程化为一般形式为： ． 7．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是 ． 题型四 一元二次方程的解 1．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 2．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 3．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 4．写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程： ．（写一个方程即可） 5．小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为 ． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 题型五 估算一元二次方程的解 1．根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A． B． C． D． 2．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 3．根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 4．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是 ． 题型一 根据一元二次方程的根求参数的值 1．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于的方程的一个根是，的值是（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 题型二 利用一元二次方程的解求代数式的值 1．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值是（   ） A．6 B． C．3 D． 2．已知方程的一个根为，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 6．若t是方程的一个根，则的值为 ． 7．已知是方程的一个根，代数式的值是 ． 8．若是方程的一个根，则的值为 ． 题型三 根据方程中不含某次项求参数的值 1．若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 3．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 3．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为 ． 题型四 新定义中的一元二次方程 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 2．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，．那么的值为（   ） A．0 B．1 C． D．i 3．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 5．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 1．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 2．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 3．若方程的根也是方程的根，则 ． 4．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 5．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（不等于0） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2且是整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项是否符合． 【详解】解：选项A：方程未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合； 选项B：方程含两个未知数，不是一元方程，不符合； 选项C：方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项D：方程（不等于0）未知数最高次数为3，不是二次方程，不符合； 故选：C． 2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（  ） A． B．其中、、是常数 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐项判断即可． 【详解】解：A．，是整式方程，只含一个未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程； B．，a、b、c为常数，但a可能为0，当时不是二次方程，故不一定是一元二次方程； C．，含有项，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．，化简为，是一元一次方程，故不是一元二次方程， 故选：A． 3．下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），即可逐一判断每个方程是否符合． 【详解】解：∵方程①满足定义，是一元二次方程； 方程②中，a、b、c为系数，若则不是二次方程， ∴不一定是一元二次方程； 方程③化简后为，即，是一元一次方程，不是一元二次方程； 方程④满足定义，是一元二次方程； 方程⑤中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． ∴只有①和④是一元二次方程，个数为2． 故选B． 4．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 5．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 题型二 根据一元二次方程的定义求参数的取值范围 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题时需同时满足最高次数为2且二次项系数不为零，避免漏解． 根据一元二次方程的定义，方程的最高次项必须为二次且二次项系数不能为零，由此建立条件求解． 【详解】∵ 方程是一元二次方程， ∴ 最高次项指数为2，即 ， 解得  ． 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求． ∴ ． 故选：A． 4．若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 5．关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次数为且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解，得， 所以． 又由，得， 因此． 故答案为． 题型三 一元二次方程的一般形式 1．将一元二次方程化成一般形式后，一次项的系数是（    ） A． B．2026 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项将方程化为标准形式 ，然后识别一次项的系数． 【详解】∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， ∴ 一次项的系数为 ． 故选：C 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 3．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定的值，对于方程，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：化为一般式为， ∴，，． 故选：D． 4．把方程化为一元二次方程的一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式. 将方程化为一般形式 （），需将所有项移到等号左边. 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ， 合并同类项得 ， ∴ 一般形式为 ， 故选：D. 5．把一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 6．将一元二次方程化为一般形式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，通过去括号、移项、合并同类项，将方程化为（其中）的形式． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 7．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项系数是2，则常数项是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程化为一般形式后，根据常数项的定义求解． 【详解】解：将方程 移项，得一般形式 ，其中二次项系数为2，常数项为5． 故答案为：5． 题型四 一元二次方程的解 1．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 3．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 4．写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程： ．（写一个方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可得，取的一个值代入求出的值进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 当时，， 解得， ∴方程可以为， 故答案为：． 5．小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为 ． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，熟记方程的解是使等式成立的的值是解决问题的关键． 通过表格数据，当的取值使等号两边式子相等时，该即为一元二次方程的解． 【详解】解：由表可知，当时，等号左边的值等号右边的值， 是一元二次方程的解， 故答案为：． 题型五 估算一元二次方程的解 1．根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是数形结合．由表中数据得到时，；时，，则取到之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解： 时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 2．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可． 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 3．根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 4．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 题型一 根据一元二次方程的根求参数的值 1．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方程的解的问题，把方程的根代入方程即可求解． 【详解】解：把代入方程：， 解得 ， 故选：C． 2．已知关于的方程的一个根是，的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴， 解得， 故选：C． 3．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将根代入方程求得或，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除． 【详解】解：∵方程有一个根为0， ∴代入得：， ∴， 解得或. 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故选：A． 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程有一个根为， ∴将代入方程得： 解得， 故答案为：3． 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 题型二 利用一元二次方程的解求代数式的值 1．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将根代入方程，得到a与b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．已知方程的一个根为，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了由一元二次方程根的定义，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据方程根的意义，得出，再利用该等式对所求代数式进行化简求值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 6．若t是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 7．已知是方程的一个根，代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查一元二次方程的解，由 是方程 的一个根，根据一元二次方程根的定义，可得 ，然后代入代数式 计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ， 即 ， 因此 ， 故答案为：2025． 8．若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2029 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程根的定义得到，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴． 故答案为：2029． 题型三 根据方程中不含某次项求参数的值 1．若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 【答案】 【分析】将方程化为一般形式，根据方程为一元二次方程且没有一次项，得到且，解得的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 该方程为一元二次方程且没有一次项， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，根据没有一次项得到一次项系数为是解答本题的关键． 3．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 3．将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 题型四 新定义中的一元二次方程 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 2．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，．那么的值为（   ） A．0 B．1 C． D．i 【答案】D 【分析】此题考查了实数的运算，一元二次方程的解，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．根据，，，， ，进而求出结果即可． 【详解】解：，，，， ， 故选：D． 3．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了探索数字的运算规律，根据前几个运算找到规律，根据规律求出结果即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 可知每次运算一个循环， ， 是第个循环的最后一个数， . 故选：B． 4．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 5．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 1．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 2．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 3．若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 4．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 5．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $