河南省洛阳市东方第二初级中学2025-2026学年七年级上学期数学12月月考试卷

河南省洛阳市东方第二初级中学2025-26学年上学期12月份月考七年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页,三个大题,满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A． B．2 025 C． D． 2．电影《哪吒2》票房以154.45亿远，创造了新的国产片票房记录．其中数据154.45亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ） A． B． C． D． 6．下列变形正确的是（ ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 7．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①，②，③，④，一定成立的是（ ） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①③④ 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 9．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．8 D．4 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11． . 12．如图，，点D是的中点．若，则的长度是 ． 13．如图，，，平分，则的度数为 ． 14．某商店把一件衬衫按标价的6折出售，仍可获利，已知该衬衫的进价是每件40元，这件衬衫的标价是 元． 15．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 17．（10分）解方程： （1）； （2）． 18．（9分）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） （1）画直线； （2）画射线； （3）连接并延长到E，使得； （4）在线段上取点P，使的值最小． 19．（9分）如图，是线段上一点，是的中点，是的中点 （1）若，，求的长度； （2）若，，则AB= ． 20．（9分）云南某特产店铺推出普洱茶和鲜花饼．请根据以下信息解决问题： 信息1：普洱茶每盒160元，鲜花饼每袋40元． 信息2：某旅游团计划购买m盒(6<m<20)普洱茶和20袋鲜花饼．如图是店员介绍店里的优惠方案． （1）该旅游团选择方案一的总费用为 元，选择方案二的总费用为 元；(用含m的代数式表示) （2）已知旅游团选择了更划算的方案，实际支付了2 000元，则该旅游团买了几盒普洱茶?选择的是哪个方案? 21．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“幸运方程”，例如：方程和为“幸运方程”． （1）若关于的方程与方程是“幸运方程”，求的值； （2）若关于的一元一次方程与是“幸运方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 22．（10分）数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）的长为________； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 23．（11分）我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． （1）如图1，若，是的一条三分线，求的度数； （2）如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度（）得到，当恰好是的三分线时，则= ． （3）如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省洛阳市东方第二初级中学2025-26学年上学期12月份月考七年级数学试卷（解析版） 注意事项： 1.本试卷共6页,三个大题,满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的. 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A． B．2 025 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值与相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键． 根据绝对值意义与相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：D． 2．电影《哪吒2》票房以154.45亿远，创造了新的国产片票房记录．其中数据154.45亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：∵1亿=， ∴154.45亿， 又∵， ∴． 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项和去括号法则，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据去括号法则和合并同类项法则判定即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 4．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可. 【详解】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键. 5．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设两地距离为1，先求得甲乙的速度分别为、，再根据相遇时，两人所走路程和为1列方程求解即可． 【详解】解：设乙出发x日，甲乙相逢， 根据题意，得， 故选：D． 6．下列变形正确的是（ ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 根据各方程变形得到结果后，依次判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，不符合题意； B、由，去括号得，符合题意； C、由，去分母得，不符合题意； D、由，系数化为得，不符合题意． 故选：B． 7．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①，②，③，④，一定成立的是（ ） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，乘法法则，根据数轴可得，，，从而可作出判断． 【详解】解：由数轴可得，，，， 故可得：，，，； 即②③④正确． 故选：C． 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】A．根据等式性质进行判断即可； B．根据等式性质进行判断即可； C．根据等式性质进行判断即可； D．根据等式性质进行判断即可． 【详解】解：A．根据等式性质，等式两边都加上，得到，故本选项错误； B．根据等式性质，等式两边都乘以，得到，故本选项正确； C．成立的条件，故本选项错误； D．成立的条件，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是6时，根据程序，第一次计算输出的结果是3，第二次计算输出的结果是，…，这样下去第2 026次计算输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为3，第2次输出的结果为4， 第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1， 第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为8，… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵（2 0261）÷4=506……1， ∴第2 026次计算输出的结果是4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11． . 【答案】 【分析】本题考查了度分秒有关的计算． 【详解】解：． 故答案为：． 12．如图，，点D是的中点．若，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，先求出线段的长度，再根据中点求出线段的长度即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和角的和差．根据角平分线求出，即可求出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．某商店把一件衬衫按标价的6折出售，仍可获利，已知该衬衫的进价是每件40元，这件衬衫的标价是 元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键．设这件衬衫的标价为元，那么售价为，根据获利和进价40元，可得其利润为；再根据售价减去进价等于利润，建立方程求解即可． 【详解】解：设这件衬衫的标价为元， 解得， 故这件衬衫的标价是80元， 故答案为：80． 15．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算． 【详解】解：（1） ； （2） 1× ． 17．（10分）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一元一次方程的计算． 【详解】解：（1）去括号得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 18．（9分）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） （1）画直线； （2）画射线； （3）连接并延长到E，使得； （4）在线段上取点P，使的值最小． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 （4）画图见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）过A，B画直线即可； （2）以A为端点，画过C的射线即可； （3）再线段的延长线上画即可； （4）连接交于P即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所画的直线； （2）如图，射线即为所画的射线， （3）如图，线段即为所画的线段， （4）如图，点P即为所画的点．    19．（9分）如图，是线段上一点，是的中点，是的中点． （1）若，，求的长度； （2）若，，则AB= ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （）由中点可得和的长，再由可求得的长； （）由已知可得的长是的倍，已知，可求得的长． 【详解】解：（1）∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴． 故答案为：． 20．（9分）云南某特产店铺推出普洱茶和鲜花饼．请根据以下信息解决问题： 信息1：普洱茶每盒160元，鲜花饼每袋40元． 信息2：某旅游团计划购买m盒(6<m<20)普洱茶和20袋鲜花饼．如图是店员介绍店里的优惠方案． （1）该旅游团选择方案一的总费用为 元，选择方案二的总费用为 元；(用含m的代数式表示) （2）已知旅游团选择了更划算的方案，实际支付了2 000元，则该旅游团买了几盒普洱茶?选择的是哪个方案? 【答案】（1），； （2）． 【分析】本题主要运用根据优惠方案列出费用代数式，再通过列方程和比较费用大小来确定购买数量和方案．涉及的知识点有列代数式、解一元一次方程以及数的大小比较． 【详解】解：（1）根据题意，得选择方案一的总费用为；选择方案二的总费用为； 故答案为：，； （2）分情况讨论： 若选择的是方案一，则结合（1）可知，解得=10， 此时按方案二的总费用为(元)， 2 000<2 080，符合题意； 若选择的是方案二，则结合（1）可知 ，解得=9, 此时按方案一的总费用为(元), 2 000>1 880，不符合题意. 综上所述，． 21．（9分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“幸运方程”，例如：方程和为“幸运方程”． （1）若关于的方程与方程是“幸运方程”，求的值； （2）若关于的一元一次方程与是“幸运方程”，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）分别解一元一次方程，根据“幸运方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （2）分别解一元一次方程，根据“幸运方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）由方程：，可得：， 关于的方程与方程是“幸运方程”， ， 将代入得，， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 关于的一元一次方程与是“幸运方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 22．（10分）数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）的长为________； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【答案】（1）4； （2）1； （3）或5； （4）t的值为或4． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）计算即可； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：①当点P在点M的左侧时，②P在点M和点N之间时，③点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即．点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是．分类讨论①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P异侧时两种情况即可求解； 【详解】解：（1）的长为； 故答案为：4； （2）根据题意得：， 解得：； （3）①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以，解得，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 23．（11分）我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三分线． （1）如图1，若，是的一条三分线，求的度数； （2）如图2，若，是的两条三分线．现以O为中心，将顺时针旋转度（）得到，当恰好是的三分线时，则= ． （3）如图3，若，是的一条三分线，分别是与的平分线，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三分线，则此时绕点旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由） 【答案】（1）；（2）40或50；（3）25，26，28或29秒 【分析】（1）由OC是∠AOB的一条三分线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度（n＜360°）得到，当OA恰好是的三分线时，分两种情况：当OA是的三分线，且时；当OA是的三分线，且时，分别求解即可； （3）由OC是∠AOB的一条三分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出∠MON绕点O沿顺时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【详解】（1），是的一条三分线， ，， （2）现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度（n＜360°）得到，当OA恰好是的三分线时，分两种情况： 当OA是的三分线，且时，如图2②， 当OA是的三分线，且时，如图2③， ∴n=40或50； 故答案为：40或50； （3）∵OC是∠AOB的一条三分线，， ∴或， ∵OM，ON分别是∠AOC与∠BOC的平分线， ∴， 当时，如图3， ∵60°+180°+20°=260°或60°+180°+40°=280°， ∴∠MON绕点O沿顺时针方向旋转260°或280°时，ON是∠AOC的一条三分线， ∴（秒）或（秒）； 当时，如图3′， ∵30°+180°+40°=250°或30°+180°+80°=290°， ∴绕点沿顺时针方向旋转或时，是的一条三分线， ∴（秒）或（秒） 综上，绕点沿顺时针方向旋转的时间是25，26，28或29秒． 故答案为：25，26，28或29秒． 【点睛】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $