八年级数学上学期期末模拟卷02（新教材湘教版，测试范围：八上全部内容）

2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】∵因式分解需满足右边为整式的积， A：右边含分式 ，不是整式，不符合因式分解概念，不是因式分解； B：右边是差的形式，不是积，不符合因式分解概念，不是因式分解； C：该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的概念，不是因式分解； D：右边是整式的积，符合因式分解概念，是因式分解； ∴故选：D． 2．近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：∵， ∴ 选项B正确， 故选：B． 3．如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除，根据二次根式的性质和加减乘除运算法则求解即可． 【详解】解：选项A：，原计算错误，不符合题意； 选项B：，原计算正确，符合题意； 选项C：，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（   ）． A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解正方形面积与边长的平方之间的关系是解题关键． 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和，据此可以算出正方形A的面积，再求出其算术平方根即可． 【详解】解：设三个正方形的边长由小到大依次为a，b，c， 由题意可知，，， ∵正方形每个角都是直角， ∴中间的三角形为直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴正方形A的边长为， 故选：C． 6．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 7．如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 故选C． 8．如图，在第1个中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第2026个三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解： 在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 第2026个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：C． 9．关于x的二次三项式（m，n是常数），下列结论错误的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若是一个完全平方式，则 D．若，则二次三项式一定含有因式 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解题的关键． 利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A 、当且二次三项式为完全平方式时，m可能为6或，但选项仅给出，故此选项错误，符合题意； B、，展开得 ，，，故此选项正确，不符合题意； C、是完全平方式，，，故此选项正确，不符合题意； D、， ，，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 10．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 【答案】A 【分析】①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误．②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形．③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误．④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若分式有意义，则x应满足的条件是 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，由此求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，由已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ， ，即． ， ， 故答案为：6． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，再比较和的大小，取绝对值． 【详解】解： 故答案为． 14．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握知识点是解题的关键． 明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图所示，连接，，在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ，当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：． 故答案为：2． 15．若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程无解的情况，准确的计算是解决本题的关键． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，进而即可求解． 【详解】解： 解得， 由题意得，当方程无解时，解为增根， 即，代入得， 解得． 故答案为：． 16．已知，，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 17．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△△是解题的关键．由，得，而，，即可根据“”证明△△，得，，再推导出，则． 【详解】解：， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， 故答案为：． 18．如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股定理可得的长，过点作于，由垂线段最短可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ，点是的中点， ， 由垂线段最短可知，， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，并计算零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）把原式化为，将，代入计算即可； （2）把原式变形为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：∵， ∴． 21．（8分）如图，在中，点D为边的中点，，，E，F为垂足，， (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了中点的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及等腰三角形三线合一的性质． （1）根据中点的定义可知，由已知，，，根据“”证得，进而得出； （2）根据（1）的结论判断的形状，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵点D为边的中点， ∴， 又∵，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴是底边上的中线， ∴平分． 22．（8分）2025数字中国创新大赛中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； 【答案】(1)米/秒 (2)不能同时到达 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间的相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间路程速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得： ，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下：调整后“天元号”的行驶路程为（米），“天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， ∴两车不能同时到达． 23．（9分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； (2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解： 是的中线， ， 在和中，， ； （2）解：∵，是的中线， 同理（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 24．（9分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴ ． ∵ ∴原式 ． 25．（10分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 26．（10分）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：过作于， ． ，， ． ． （2）解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2．近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（   ）． A．64 B．16 C．8 D．4 6．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 8．如图，在第1个中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第2026个三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D． 9．关于x的二次三项式（m，n是常数），下列结论错误的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若是一个完全平方式，则 D．若，则二次三项式一定含有因式 10．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若分式有意义，则x应满足的条件是 12．若，则 ． 13．计算： ． 14．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 15．若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 16．已知，，，则代数式的值为 ． 17．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 18．如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 20．（6分）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 21．（8分）如图，在中，点D为边的中点，，，E，F为垂足，， (1)求证：； (2)求证：平分． 22．（8分）2025数字中国创新大赛中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； 23．（9分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； (2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 24．（9分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 25．（10分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 26．（10分）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2．近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（   ）． A．64 B．16 C．8 D．4 6．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 8．如图，在第1个中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…按此做法继续下去，则第2026个三角形的底角的度数是（   ） A． B． C． D． 9．关于x的二次三项式（m，n是常数），下列结论错误的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若是一个完全平方式，则 D．若，则二次三项式一定含有因式 10．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．若分式有意义，则x应满足的条件是 12．若，则 ． 13．计算： ． 14．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为 ． 15．若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 16．已知，，，则代数式的值为 ． 17．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 18．如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1) (2) 20．（6分）利用因式分解化简求值： (1)已知，， 求代数式的值 (2)已知：，求代数式的值 21．（8分）如图，在中，点D为边的中点，，，E，F为垂足，， (1)求证：； (2)求证：平分． 22．（8分）2025数字中国创新大赛中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； 23．（9分）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； (2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 24．（9分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 25．（10分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 26．（10分）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C B C D C C A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11． 12． 13．/ 14．2 15． 16．3 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解： ···（1分） ···（2分） ；···（3分） （2）解： ···（4分） ···（5分） ．···（6分） 20．（6分）【详解】（1）解：∵，， ∴ ····（3分） （2）解：∵， ∴．····（6分） 21．（8分）【详解】（1）证明：∵点D为边的中点， ∴，····（2分） 又∵，， 在和中， ， ∴，····（3分） ∴．····（4分） （2）证明：∵， ∴，····（5分） ∴是等腰三角形，····（6分） ∵D是的中点， ∴是底边上的中线，····（7分） ∴平分．····（8分） 22．（8分）【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， ····（2分） 解得： ，经检验是原方程的解．····（3分） 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒．····（4分） （2） 解：不能同时到达，····（5分） 理由如下：调整后“天元号”的行驶路程为（米），“天元号”到达终点所用的时间为（秒），····（6分） “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒），····（7分） ∴两车不能同时到达．····（8分） 23．（9分）【详解】（1）解： 是的中线， ，····（1分） 在和中，， ；····（3分） （2）解：∵，是的中线， 同理（1）得，····（5分） ∴，····（6分） ∴，即，····（7分） ∵， ∴．····（9分） 24．（9分）【详解】解：（1）；····（2分） （2） ····（3分） ····（4分） ．····（5分） （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得．····（6分） ∴ ．····（7分） ∵ ····（8分） ∴原式 ．····（9分） 25．（10分）【详解】解：（1）答案为：25；····（2分） （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，，····（3分） ，····（4分） 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，····（5分） ，，，，····（8分） 根据勾股定理有： ，····（10分） 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 26．（10分）【详解】（1）证明：过作于， ．····（1分） ，， ． ．····（2分） （2）解：，····（3分） 理由：如图，过作交于， ，，．····（4分） ∵点恰为线段中点， ． ． ．····（5分） ，， ． ． ．····（6分） （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ．····（7分） ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ．····（8分） ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ．····（9分） ， ． ．····（10分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $