精品解析：河南省驻马店市上蔡县2025-2026学年九年级上学期12月份全县联考数学试卷

2025～2026学年上学期阶段性学情分析（三） 九年级数学（HS） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴对称的点的坐标（ ） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点A（-2，3）关于y轴对称点的坐标是（2，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 3. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义列式计算即可． 【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为， ， ， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：由条件可知这两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， 故选：D． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．计算出判别式的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 7. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图得出所有可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：按图上顺序将张卡片分别记为，，，，则属于化学变化的有和，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有种， 故这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 8. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　） A. 4 B. 2．5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，先由三线合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，，是的高线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴点D为的中点， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知在平行四边形中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解．先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明∽，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴∽， ∴，， ∴，则， ∴， ，且，， ∴，即， 解得． 故选：C． 10. 如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， 由，可知每旋转4次为一个循环， ， 故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式化简及绝对值的性质．根据算术平方根的性质和绝对值的定义，结合条件 进行化简． 【详解】解：∵，且已知 ， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．构造直角三角形由勾股定理，由锐角的正切定义即可求解． 【详解】解：如图，利用格点作交的延长线于点， ∵是直角三角形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先根据勾股定理得出，然后根据折叠的性质分点在边上和在边上两种情况，利用相似三角形的判定得出即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外）， ∴点的对应点关于对称， 当点在边上时，如图， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 （1）首先计算特殊角的三角函数值、乘方，最后合并计算，求出算式的值即可． （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， ∴，． 17. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 【答案】（1）12 （2）4 【解析】 【分析】（1）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案； （2）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案 . 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： . 【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 18. 在一个不透明的袋子中分别装有红色、黄色、蓝色的3个小球，除颜色外无其它差别．随机摸出一个小球后，放回并摇均，再随机摸出一个． （1）“第一次摸出红色小球”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求“两次摸到相同颜色小球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：“第一次摸出红色小球”的概率是； 【小问2详解】 解：列表可得： 第一次 第二次 红 黄 蓝 红 红，红 黄，红 蓝，红 黄 红，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可得，共有9种等可能出现的结果，其中“两次摸到相同颜色小球”的情况有种， ∴“两次摸到相同颜色小球”的概率为． 19. 如图，在等腰三角形中，，于点，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）8 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）由，得到，然后得到． 【小问1详解】 ， ． ， ． ． ； 【小问2详解】 由（1），得，， ， ． ． 20. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 【答案】（1） （2）售价为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 21. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表： 课题 测量“天下第一灯”（AB）的高度 测量工具 测量角度的仅器，标杆，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量方案 示意图 说明 EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上 CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上 点C、D、B在同一条直线上 测量数据 甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米 从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45° 从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米 （1）根据测量方案和所得数据，第　 　小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB； （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）二 （2）33米 【解析】 【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度； （2）选择第一小组的数据测量，延长交的延长线于，根据相似三角形的性质即可得到结论； 选择第三小组的数据测量，先证是等腰直角三角形，得，设米，则米，米，在中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下： 第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度， 所以第二小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：二； 【小问2详解】 选择第一小组的数据测量，理由如下： 延长交的延长线于， ，，， ， ，， ，， ， 解得， 答：“天下第一灯”的高度为米； 选择第三小组的数据测量，理由如下： 由题意得：，，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米，米， 在中，， ， 解得：， 即教学大楼的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题仰角，相似三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义． 23. （1）问题发现： 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．填空：①的值为_____________；②的度数为_____________． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点О在平面内旋转，、所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】（1）①1；② （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）①，得即可得到答案；②由，得，再根据三角形内角和定理即可得到答案． （2）先证明，由相似三角形的性质即可得到答案． （3）正确画出图形，当点C与点M重合时有两种情况，同（2）得: ，则，，即可得到答案． 【详解】（1）① ， ； ② 在中 （2）， 理由是：中 ， 同理得： ， 在中 ． （3）①点C与点M重合时，如图，同（2）得: ， 设，则 在中，， ， 中，， 在中，由勾股定理得： 整理得： ， ； ②点C与点M重合时，如图，同理得： ， 设，则 在中，由勾股定理得： 整理得 ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了三角形全等和相似的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，掌握以上知识点并运用类比的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期阶段性学情分析（三） 九年级数学（HS） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴对称的点的坐标（ ） A. （2，3） B. （2，-3） C. （-2，-3） D. （3，2） 2. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 3. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　） A. 4 B. 2．5 C. 3 D. 9. 如图，已知在平行四边形中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 12. 若，则______． 13. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是______． 14. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 18. 在一个不透明的袋子中分别装有红色、黄色、蓝色的3个小球，除颜色外无其它差别．随机摸出一个小球后，放回并摇均，再随机摸出一个． （1）“第一次摸出红色小球”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求“两次摸到相同颜色小球”的概率． 19. 如图，在等腰三角形中，，于点，． （1）求的长； （2）求的值． 20. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 21. 如图，在菱形中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表： 课题 测量“天下第一灯”（AB）的高度 测量工具 测量角度的仅器，标杆，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量方案 示意图 说明 EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上 CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上 点C、D、B在同一条直线上 测量数据 甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米 从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45° 从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米 （1）根据测量方案和所得数据，第　 　小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB； （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23. （1）问题发现： 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．填空：①的值为_____________；②的度数为_____________． （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点M．请求出的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点О在平面内旋转，、所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $