北京市广渠门中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

北京市广渠门中学2025-2026学年度第一学期试卷 高三年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一。选择题 （1)已知集合A={xx-8x+12≤0}，B={xeN:3≤≤7}，则A∩B= A.[2,7] B.[3,可 C.{3,4,5,6} D.{2,3,4,5,6 (2)在复平面内，复数五，对应的点分别是(2，-1)，(1，-3)，则互= A.1+i B.1-i c 2+21 D.1-i 22 (3)下列函数中，既是奇函数又在(0，+∞)上单调递增的是 A.y=x-1 B.y=x3-x C.y=x2 D.y=tanx (4)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5， 则|MF= A.7 B.6 C.5 D.4 (5)已知直线y=ax+b经过圆x2+y+2x牛0的圆心，则a2+b的最小值为 A.-1 B C.0 D.1 (6)已知x∈(0，π)，则f(x)=cos2x土2sinx的值域为 A1,2 B,(0,22) D.1, (7)已知实数x,y满足lnx<ny、则下列结论正确的是 A.tanx<tany B.分< C.+<+x x2 v2 D.x+y> (8)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：g/L) 与时间t(单位：h)间的关系为P=Pe,其中B,k是正的常数，如果前1Oh消除 了50%的污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历 A.10h B.4h C.40h D.8h 第1页（共4页) (9)已无穷数列{a,},T={M∈R|n∈N,a,≤M,则“T中元素存在最小值'是“G,有 最大值”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (10)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b 满足b-2e)2=1则|a-b1的最小值是 A.5+1 B.5-1 C.2 D.2-5 二。填空题 （1)双曲线C:兰-二=1的离心率为2，且过点点，，则双曲线的方稻为 02-621 (12)已知(1-3x°=a-3a.x+9a2x2-27a,x2+81a4x4-243a.x3,则a+a+a,=_ (13)已知函数f(x)= -x+m,x≤1，当a=-1时，f()的值域 ax-1,x>1 是；若f(x)投有最大值，则a的取值范围是 (14)在如图五面体ABC-DEF中，AD∥BE∥CF;且两两之间距 离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为 (15)设有限集合U={a,a2,a,…,am},其中m>4,meN,非空集合MsU,M=CM, 若存在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等则称集合U是“可拆等和集”，则 下列说法正确的有， ①集合U={1,2,4,…,222}不是“可拆等和集” ②若集合U={-1,2,5,}是“可拆等和集”，则k的取值共有6个： ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{a,},使得集合U是“可拆等和集”； ④若m=4k+3,k∈N,数列{a,}是等差数列且公差d=a,则集合U是“可拆等和集”. 第2页（共4页) 三.解答题 (16)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PB=AB=2,PB⊥平面ABCD, 平面PDC⊥平面PBC,E是PC的中点，平面ABE交PD于F. (I)求证：F是PD的点； (Ⅱ)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值. E (17)设△1BC的内鱼A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B=√3 bcosA. (I)求角A大小： (Ⅱ)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 △ABC的面积， 条件①：a=√19，c=5; 条件②：cosC=c三42园 条件③：AB边上的高h=√3，a=3. (18)为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了2015-2023年工业机器 人的产量和销量数据，如下表所示 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 产量（万台） 3.3 7.2 13.1 1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量（万台） 6.9 8.7 13.8 15.4 14.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记2015-2023年工业机器人产量的中位数为a 销量的中位数为b.定义产销率为 “产销率= 销量 产量 ×100%” (I)从2015-2023年中随机取1年.求乙业机器人的产销率大于100%的概率 (Ⅱ)从2018-2023年这6年中随机取2年，这2年中有X年工业机器人的府量不小于a 有Y年工业机器人的销量不小于b.记Z=X+Y,求Z的分布列和数学期望E(Z): (Ⅲ)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小.（结 论不要求证明) 第3页（共4页） (19)已知椭圆C:父+上=1，设直线1：y=x+m交椭圆C于不同的两点A,B,与y轴 62 交于点P. (I)当m=0时，求|AB|的值： (Ⅱ)若点Q满足|P2=3且|OAHOB|,求∠AQB的大小. (20)已知三次函数f0)=a-32+2+4a. (I)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(3，f3)处的切线方程： (Ⅱ)若函数f(x)在区间(a,a+3)上具有单调性，求a的取值范围； (Ⅲ)当a>0时，若x+x2>2，求f)+fx)的取值范围， (21)已知有穷整数数列A:a1,a2,,an(n≥4)，满足a=an=1.记集合2为{B:b, b2,,bn1b=bn=1,b=a41-a1,或b=a1-a41,i=2,3,,n-1}.若数列Ae2, 则称数列A是2的“恒元”. (I)已知数列A:1,3,4,1,请写出2中所有满足b2<b的数列； (Ⅱ)当=3m+2(meN)时，是否存在数列A满足a2=2,且A是2的“恒元”？若存 在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由； (Ⅲ)当数列A是2的“恒元”时，若42,4，，a1是n-2个连续正整数的一个排 列，求数列A的项数n的最大值. 第4页（共4页) 12月月考题高三数学 参考答案与试题解析 一.选择题（共11小题） 题号 1 2 3 5 6 10 答案 C A D B D D B B 一。选择题（共11小题） 1.己知集合A={x|x2-8x+12<0},B={x∈N|3≤x≤7}，则A∩B=() A.[2,7] B.[3,可 C.{3,4,5,6D.{2,3,4,5,6} 【解答】解：集合A={x|x2-8x+12≤0}={x2≤x6),B={x∈N3≤x≤7}={3,4,5,6,7}， 则A∩B=3,4,5,6}. 故选：C (2)在复平面内，复数，52对应的点分别是(2，-1)，(1，-3)，则2= A.1+i B.1-i c D.11 22 故选：B 3.下列函数中，既是奇函数又在(0，+)上单调递增的是( A.y=x-I B.y=x-x C.y=x2 D.y=tanx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A,设f)=x-,其定义域为x≠0y, 有f(-x)=-fx),f(x)为奇函数， 又由0=1+是，在区同Q+）上，f)>0恒成立， 则f(x)在(O,+o)上单调递增，符合题意： 对于B，设g(x)=x3-x,其导数g(x)=3x2-1, 在区间o5上，g倒-3-1<0， 则的在0气上单调递减，不符合题意， 3 第1页（共13页） 对于C,y=x2=√F,是幂函数，不是偶函数，不符合题意； 对于D,y=tanx,，是正切函数，在(O,+o)上不具有单调性，不符合题意. 故选：A, 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5，则|M=() A.7 B.6 C.5 D.4 【解答】解：如图所示，因为点M到直线x=-3的距离|MR=5, .点M到直线x=-2的距离|MN=4. 由方程y2=8x可知，x=-2是抛物线的准线， 又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等， 故|MF曰N=4. 故选：D R M F 2 =-3 5.已知直线y=+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心，则d2+b的最小值为() A.-1 B. C.0 D.1 【解答】解：圆x2+y2+2x=0化成标准方程，得(x+1)2+y2=1,.圆心为C(-1,0),半径r=1, :直线y=m+b经过圆心C, ∴.0=-+b,即b=a, 且仅当a三，时，：+b的最小值为 故选：B. 6.已知xe(0,),则f(x)=cos2x+2simx的值域为() 第2页（共13页） A.1, B.(0,22) C. D., 【解答】解：由f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx 设sinx=t, .x∈(0，π)， t∈(0,1] 80=20+ 80e0,: 即f0W=cos2+2snx的值城为，多： 故选：D 7.已知实数x,y满足x<y,则下列结论正确的是( A.tanx<tany B.分<孕 c.1+y<1+x x2 v2 D.x+y>y 【解答】解：实数x,y满足x<,0<x<y, m×a不一定收立，例如取-背石m肾，m点，因此A不正确 3 63 孕>（分，因此B不正确： 电c&++2+x+)<0,可得：P-y+y<0,化为：<十因此C不正确； 2 由基本不等式可得x+y>2>,即可得x+y>√，因此D正确. 故选：D 8.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：g/)与时间t(单位：) 间的关系为P=Pe:，其中P。,k是正的常数，如果前10h消除了50%的污染物，那么从消除60%的污 染物到消除80%的污染物大约需要经历() A.10h B.4h C.402 D.8h 【解答】解：由题意知，0.5D=Be1o,即0.5=e1o, 所以h0.5=-10k,解得k=2 10 设消除60%的污染物对应事件为t,，即0.4P。=Pe, 第3页（共13页） 设消除80%的污染物对应事件为t,,即0.2P,=P,e, 两式相除可得2=e-), 即12=-k(t-t2), 所以t2-t=10, 即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h, 故选：A. 9.已知无穷数列{an},T={M∈Rn∈N,an≤M,则“T中元素存在最小值”是“an有最大值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解容】解：若7中元素存在最小值，构造数列Q4则内任意nGN,a<④ 故当M≥4时，a≤M恒成立，此时T中元素的最小值为4，但a,是单调递增数列（无最大值）， 故“T中元素存在最小值”不能推出“α有最大值”. 若“a,有最大值”，设其最大值为m,则对任意n∈N,a,≤，故eT; 又对于T中任意元素M,都有≤M(因为m是数列的最大项)，因此T中元素的最小值为m, 即“α有最大值”能推出“T中元素存在最小值”。 综上，“T中元素存在最小值”是“4，有最大值”的必要不充分条件。 故选：B, (10)己知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量m与e的夹角为”，向量b 满足（亿-2）2=1，则a-b的最小值是 A.√3+1 B.V3-1 C.2 D.2-5 【解答】解：由b2-4e.b+3=0,得(b-e)(b-3)=0, .b-e）⊥b-3e), 如图，不妨设e=1,0), 第4页（共13页) 则b的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上， 又非零向量ā与e的夹角为弩，则á的终点在不含端点0的两条射线)=士Bx(x>0)上. 不妨以y=√3x为例，则|a-b的最小值是(2,0)到直线V3x-y=0的距离减1. 即l25-1=5-1. V3+1 故选：B y=V3x A B y=-v3x 二.填空题（共5小题） 山.双陆线C若票=1的离心率为2.且过点W5,,则双面线的方程为 ) A.2x2-y2=1 月r号1 C.5x2-3y2=1D.=1 26 【爷】解因为吸自健号若1过点5，。 则有23-1@ ab 又离心率为2， 由①②可得，2=1，b2=3, 所以双曲线的标准方程为x 31. 故选：B. 第5页（共13页） (12)已知(1-3x)=4-3ax+9a,x2-274x3+81ax4-243ax,则a。=-,41+a3+a=_ 故答案为：1；16. (13)己知函数f(x)={ 十瓜，X当a1时，(C9)的值域是：若∫9没有最大值，则。 的取值范围是 （-0, 答案： 4 (-0,0) 14.在如图五面体ABC-DEF中，棱AD,BE,CF互相平行，且两两之间距离均为1.若AD=1,BE=2, C=3.则该五面体的体积为_5 2· B 【解答】解：如图，延长AD,BE,CF到H,I,J,使DH=3,EI=2,FJ=1, B 则HLJ-ABC为三棱柱，且AH=4. ,棱AD,BE,CF互相平行，且两两之间距离均为1，.三棱柱J-ABC的直截面是边长为1的正三 角形 VDER-ABC= -15 12x4=3 2 故答案为： √3 2 l5.设有限集合U={a1,a2,a,,am},其中4，m∈N,非空集合McU,M=CM,若存 在集合M,使得M,M中的所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”，则下列说法正确的有① ②④· ①集合U=1,2,4,…,22025}不是“可拆等和集” ②若集合U={←-1,2,5，}是“可拆等和集”，则k的取值共有6个 第6页（共13页）