第三章 圆 培优练习 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

沈阳市九年级（下）数学圆的培优训练题 一．选择题（共3小题） 1．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E为AC的中点，EP交BD于F，⊙O的直径为d．下列结论： ①EF⊥BD；②AC2+BD2的值为定值；③OEBD；④AB•CD＝2S四边形ADBC 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．题目：如图，将三角尺MNB绕零刻度落在点A，直径为AB的量角器（半圆O）的点B旋转，BM，BN分别交AB于点P，Q．已知AB＝2，BN＝1，∠MBN＝60°，∠N＝90°，点P在量角器上的读数为α（0°＜α≤60°）．下列说法正确的有（　　） ①若α＝60°，则BN与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在MN上，且NK＝1，当点K在半圆O内时，α的取值范围为0°＜α＜45° A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为（　　） A．2 B．2 C．5 D．10 二．填空题（共26小题） 4．已知半圆O的直径BC长为4，点A为中点，P为上任意一点，AD⊥AP与BP相交于点D． （1）∠APC＝ 　 　 （度）； （2）CD的最小值为 　 　 ． 5．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C是半圆弧上的任意点，点F是的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝　 　 度；当DB＝DF时，BC的长为 　 　 ． 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，⊙O的切线EF交BC于点F，连接BD．若DC＝DE，AB＝BD，则　 　 ，　 　 ． 7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是平面内一点，∠AED＝45°，连接DE．过点A作AE的垂线交直线DE于点P．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③当∠ADE＝30°时，；④CP的最小值为．其中正确的结论是 　 　 ． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论： ①AC平分∠DAB； ②PF2＝PB•PA； ③若BCOP，则阴影部分的面积为； ④若PC＝24，则tan∠PCB； 其中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 9．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．如图，已知点A（0，1），B（1，0），在点C1（2，0），C2（1，2），中，点　 　 是弦AB的“α可及点”，其中α＝　 　 °；已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，则t的取值范围为　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EHBF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 11．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，∠ADC＝2∠ACB． （1）AC与DE的数量关系为 　 　 ； （2）连接BO交DE于点F，延长ED交⊙O于点G，连接AG．若，BF＝OD，则AG＝　 　 ． 12．三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面三种不同摆放类型如图： （1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 　 　 cm； （2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 　 　 cm； （3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 　 　 cm． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径作⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　 ． 14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E． （1）∠BOC的度数为 　 　 ； （2）若，，则AD的长是 　 　 ． 15．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状：　 　 ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）记△ABC、△ACQ、△BCQ的面积分别为S、S1、S2，若，求AQ的长． 16．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝　 　 ；当EF＝GH时，CD＝　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　 　 ． 18．如图，在矩形ABCD中，，AD＝9，P为矩形内一动点，且∠APB＝60°． （1）当△ABP为等边三角形时，DP＝　 　 ． （2）DP的最小值为 　 　 ． 19．已知：如图，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2＝CE•CB；②4EF2＝ED•EA；③∠OCB＝∠EAB；④DFCD．其中正确的结论有　 　 ． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，动点P在矩形ABCD内且∠APB＝120°，连接DP，则DP长度的最小值为 　 　 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（11，0），点C为线段AB上一动点，以AC为直径的⊙D的半径DE⊥AC，△CBF是以CB为斜边的等腰直角三角形，且点E、F都在第四象限，当点F到过点A、C、E三点的抛物线的顶点的距离最小时，该抛物线的解析式为　 　 ． 22．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　 　 度；的值等于 　 　 ． 23．如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为 　 　 ． 24．如图，已知A，B是抛物线y＝（x﹣2）2﹣10上的点，线段AB＝6，且AB∥x轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方），点P是圆上任意一点，连接AP，取AP的中点Q，将该抛物线AB下方的部分沿直线AB向上翻折，交y轴于点C，连接CQ，则CQ的最大值是 　 　 ． 25．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论： ①当a＝1时，直线l与⊙Q相离； ②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则； ③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则； ④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 26．△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接ED交⊙O于F，连接FM，MN，则FM+MN的最小值为 　 　 ． 27．如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 　 　 （写所有正确结论的序号）． ①AM平分∠CAB；②；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3BD，则有tan∠MAP． 28．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结DE，设k（k＞1）．当k＝2时，　 　 ；当k时，　 　 .（用含k的代数式表示） 29．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，∠A＝∠B＝90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（E不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED＝90°且．现给出以下结论： （1）△ADE与△BEC一定相似；（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；（3）OM的最大值是；（4）当OM最大时，CD． 其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） 三．解答题（共11小题） 30．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA延长线于点E，连接AD，BD． （1）求图中阴影部分的面积； （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）求线段DE的长． 31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD交于点E，AC平分∠BAD，CF2＝AF•BF． （1）若∠ABC＝110°，求∠ADC的度数； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）已知∠BAD＝60°，是否存在常数a，b，使等式aAB+bADAC成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式aAB+bADAC成立；若不存在，请说明理由． 32．某小组正在学习圆的切线的有关知识． （1）如图1，C，A，B和圆心O在同一直线上，CD为圆O的切线，求证：CD2＝CA×CB．（提示：连接BD．）（2）如图2，在（1）的条件下，E是圆上一点，连接CE交圆于F点，证明：CE×CF＝CA×CB．（提示：从（1）问的角度出发） 【综合运用】 （3）如图3，请仅用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法：平面上有A，B两点，延长AB交直线l于E点．请作出圆O，使得圆O经过点A，B且相切与直线1． 33．淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以MN＝20cm为直径的半圆O和边长为4cm的正方形ABCD，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，AP＝12cm，延长CD与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦EF的长； （2）在图2中，求的长； （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线AB交于点H，求tan∠ADH的值． 34．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线． （2）当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，线段EM＝ 　 　 ；BG＝ 　 　 ． 35．[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角．∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　 　 °． [初步运用] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，则∠BAC＝　 　 ； [方法迁移] （3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）： [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝m，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　 　 ． ②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝3，CD＝1，求AD的长． 36．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，连结AC，BD交于点E，过点C作CF∥BD交AD的延长线于点F． 【认识图形】 （1）求证：∠BCA＝∠F． （2）求证：△ABC∽△CDF． 【探索关系】 （3）当点B，F关于AC对称时． ①若BC＝3，AF＝5，求DE的长． ②记，，直接写出y关于x的函数表达式． 37．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 38．如图，已知AB是⊙O的直径，E是⊙O上异于A，B的点，F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求∠GHF的度数． 39．如图1，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着A→C→B的路线以3cm/s匀速运动，点Q沿着A→B的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒． （1）求cosA的值． （2）如图2，当0＜x＜2时，连接CQ，若点P恰好在以CQ为直径的圆上，求点Q的运动速度． （3）设点Q的速度为4cm/s，记△APQ的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？ 40．探索新的数学模型是我们学习数学的重要能力． 【初步感知“反演变换”】 核心定义 1．给定一个反衡图：以点O为圆心，半径为R． 2．变换规则：对于平面上异于O的任意一点P，它的反演点P′位于射线OP上，且满足：OP•OP′＝R2，即，点P和P′到圆心O的距离之积等于半径的平方． 关键特点 圆内﹣圆外：若P在圆内（OP＜R），则P′在圆外（OP′＞R），反之亦然． 圆上不变：若P在反演圆上（OP＝R），则P′与P重合． 圆心O：没有对应的反演点，通常称为“反演中心”． 简单例子 若反演圆半径为2（图R2＝4），点P在圆内，OP＝1，则其反演点P′满足： 1×OP′＝4，固OP′＝4，P′在圆外． 作用 常用于几何证明，能将圆和直线相互转化，简化问题． 【“反演变换”例题运用】 （1）如图①，在四边形ABCD中，∠D＝90°，点E在AC上，且∠ABE＝∠ACB．过点E作EF⊥AC，垂足为E，EF交AD于点F． （Ⅰ）求证：△ABC∽△AEB； （Ⅱ）求证：AB2＝AD•AF； （2）如图②，已知线段MN和直线l，P是直线l上一个动点，点Q在线段PN上，且MN2＝NP•NQ．设线段MN的长为a，点N到l的距离为h． （Ⅰ）当点P在直线l上运动时，点Q的运动路线是　 　 ； A．直线 B．弧 C．线段 （Ⅱ）若a＝10，h＝12.5，点M到l的距离为4.5，则的最大值为　 　 ； 【迁移运用】 （3）如图，在正方形ABCD中，∠AED＝90°．请直接写出的取值范围为　 　 ； 【思维扩展】 （4）如图1，正方形ABCD中以CD为直径作圆，E在射线BC上，连接DE，AE，DE交圆于G点，连接AG．求的最小值； （5）如图2，在圆中内嵌正六边形ABCDEF，半径为1，其中G为弧ACD上任意一点，连接AG，FG，P在FG上且FP×FG＝1．连接BP，作BP⊥PQ交线段DF于Q点．当Q点存在时，试问AQ是否有最大值？如果有，请求出AQ最大时FQ的长．如果没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市九年级（下）数学圆的培优训练题答案 一．选择题（共3小题） 题号 1 2 3 答案 D B C 1．【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠APC＝90°， ∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线， ∴PE＝CE， ∴∠ECP＝∠EPC， 而∠EPC＝∠DPF，∠CAP＝∠CDB， ∴∠DPF+∠PDF＝∠ACP+∠CAP＝90°， ∴EF⊥BD，所以①正确； 作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图， ∵E为AC的中点， ∴OE⊥AC， ∴∠AOE∠AOC，∠DOH∠BOD， ∵∠ABC∠AOC，∠BCD∠BOD， ∴∠AOE＝∠ABC，∠DOH＝∠BCD， 而∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠AOE+∠DOH＝90°， 而∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠EAO＝∠DOH， 在△AOE和△ODH中， ， ∴△AOE≌△ODH（AAS）， ∴OE＝DH， ∵OH⊥BD， ∴BH＝DH， ∴OEBD，所以③正确； 在Rt△OAE中，∵AE2+OE2＝OA2， 而AEAC，OEBD， ∴AC2+BD2＝4OA2， 而OA为圆的半径，为定值， ∴AC2+BD2的值为定值，所以②正确； ∵S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD AB•CPAB•DP AB（PC+DP）， AB•CD， ∴AB•CD＝2S四边形ADBC，所以④正确． 故选：D． 2．【解答】解：①如图1，点P在量角器上的读数为α，α＝60°，连接OP， ∴∠AOP＝60°， ∴， ∵∠MBN＝60°， ∴∠ABN＝∠ABP+∠MBN＝90°， ∴AB⊥BN， ∴BN与半圆O相切， 故①正确； 如图2，AB为圆的直径，连接OQ，OP，AQ，其中AQ与BM交于点D， ∴∠AQB＝90°＝∠N， ∴AQ∥NM， ∴∠BDQ＝∠BMN＝90°﹣∠MBN＝30°， ∵∠BDQ＝∠BAQ+∠ABP， ∴∠BAQ+∠ABP＝30°， ∵∠BOQ＝2∠BAQ，∠AOP＝2∠ABP， ∴∠AOP+∠BOQ＝2（∠ABP+∠BAQ）＝60°， ∴为定值， 即在旋转过程中，的长为定值， 故②正确； ③如图3，当BN与圆O相切时，此时MN与圆O交于点K， 此时∠ABN+∠N＝90°+90°＝180°， ∴MN∥AB， 此时点O到MN的距离等于BN＝1， ∵圆O的半径为， ∴MN与圆O相切， 此时满足KN＝BN＝1，满足题意， 由①得：∠ABP＝30°， ∴当点K在半圆O内时，α的取值范围为0°＜α＜30°， 故③错误， 综上所述，说法正确的是①②，共2个， 故选：B． 3．【解答】解：如图， 连接OC，OF， ∵点F是CE的中点， ∴OF⊥CE， ∴∠OFC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠OFC＝180°， ∴点O，D，C，F在以OC为直径的圆上， ∴DF最大值＝OC， 在Rt△ODC中，OD＝OC﹣AD＝OC﹣2，CD＝4， 根据勾股定理得，OD2+CD2＝OC2， ∴（OC﹣2）2+42＝OC2， ∴OC＝5， ∴DF的最大值为5， 故选C． 二．填空题（共26小题） 4．【解答】解：（1）∵点A为中点， ∴AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB， ∵半圆O的直径为BC， ∴∠BAC＝90°，即△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵四边形ABCP是圆的内接四边形， ∴∠APC+∠ABC＝180°，则∠APC＝180°﹣45°＝135°； （2）由（1）知∠APC＝135°，△ABC是等腰直角三角形， ∵半圆O的直径为BC， ∴∠BPC＝90°，则∠APD＝45°， ∵AD⊥AP， ∴△ADP是等腰直角三角形，即AD＝AP， ∵AD⊥AP，AD＝AP， ∴P在上运动过程中始终保持∠PAD＝90°、， 连接OA，将OA绕着点A顺时针旋转90°到O′A，连接OP、O′D，如图所示： ∴O′A＝OA＝OP， ∵∠O′AD+∠DAO＝90°＝∠OAP+∠DAO， ∴∠O′AD＝∠OAP， 在△O′AD和△OAP中， ∴△O′AD≌△OAP（SAS）， ∴O′D＝OP， ∵半圆O的直径BC长为4，点A为中点， ∴OD＝OP2，∠AOC＝∠AOB＝90°， 根据题意，D是动点，P在弧上运动，则OP旋转的角度是∠AOC＝90°， ∴点D在以O′为圆心、O′B为半径的圆上运动，O′D旋转的角度是90°，即∠BDA＝∠APC，连接O′B，如图所示： ∴四边形O′BOA是正方形，且边长为2， ∴O′B⊥BC，O′B＝2， 由点到圆周上动点距离关系可知，当O′、D、C三点共线时，CD可取到最小值， ∵在Rt△O′BC中，CO′2， ∴CD的最小值为CO′﹣O′D＝22， 故答案为：（1）135；（2）22． 5．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，AB＝2， ∴∠ACB＝90°，OA＝OBAB， ∴∠ABC+∠CBA＝90°， ∵点F是的中点， ∴， ∴∠ABF＝∠CBFABC， ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD∠CAB， ∴∠ABF+∠BAD（∠ABC+∠CAB）＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣（∠ABF+∠BAD）＝135°， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°， 连接AF、OF，OF交AC于点M，如图， 则OF＝OA，∠AFB＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝45°＝∠ADF， ∴AF＝DF， 当DB＝DF时，BF＝2DF＝2AF， 在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2， 即AF2+（2AF）2， ∴AF2＝4， ∵AF＞0， ∴AF＝2， ∵点F是的中点， ∴OF⊥AC， ∴∠AMO＝∠AMF＝90°， 设OM＝x，则FM＝OF﹣OMx， 在Rt△AOM中，AM2＝OA2﹣OM2x2， 在Rt△AFM中，AM2＝AF2﹣FM2＝22， ∴x2＝22， ∴x， ∴OM， ∵sin∠BAC， ∴BC， 故答案为：135；． 6．【解答】解：过点C作CM⊥AB， 设AE＝x，DC＝DE＝y， ∵AD为直径， ∴∠DEA＝90°， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝BM， ∴AB＝DC+AE+BM＝DC+2AE＝y+2x，EB＝DC+MB＝y+x， ∵AB＝BD， ∴AB2＝BD2，即（y+2x）2＝DE2+EB2＝y2+（y+x）2， 整理得：3（）2+2（）﹣1＝0，即可得：[3（）﹣1][（）+1]＝0， ∴，（负值舍去）， ∴y＝3x； 故可得：； ∵AD2＝AE2+DE2＝x2+（3x）2＝10x2， ∴ADx， ∵AD＝BC，∠DAE＝∠CBE，∠DAE＝∠DEF，（同弧上的圆周角），∠DAE+∠ADE＝90°＝∠DEF+∠BEF， ∴∠ADE＝∠BEF， 又∵∠EFB＝180°﹣∠BEF﹣∠CBE＝180°﹣（∠ADE+∠DAE）＝180°﹣90°＝90°， ∴RT△AED∽RT△BEF（AAA）， ∴，即， 解得：BF， 又∵CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝x， ∴． 故答案为：、． 7．【解答】解：∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∵∠AED＝45°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴AE＝AP，∠APE＝∠AEP＝45°， ∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP＝90°﹣∠BAP， ∴△BAE≌△DAP（SAS），故①正确； ∴∠BEA＝∠DPA＝135°， ∴∠BED＝∠BEA﹣∠AED＝90°，即EB⊥ED，故②正确； 如图所示，过点A作AH⊥DE， 当∠ADE＝30°时，则AHAD＝1， ∴AEAH，故③错误； 如图所示，作△APD的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧AD上取一点G，连接OA，OD，AG，DG， ∴∠AGD＝180°﹣∠APD＝45°， ∴∠AOD＝2∠AGD＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝45°， ∴OD＝ AD•sin∠OAD， 如图所示，过点O作OT⊥CD交CD延长线于T，连接OP，CP， ∴∠ODT＝∠ADT﹣∠ODA＝45°， ∴OT＝OD•sin∠ODT＝1，DT＝OD•cos∠ODT＝1， ∴CT＝CD+DT＝3， ∴OC， ∵CP≥OC﹣OP， ∴当点P在直线OC上时，CP有最小值，最小值为OC﹣OP的值，即最小值为，故④正确， 故答案为：①②④． 8．【解答】解：①连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴OC∥AD． ∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC． 即AC平分∠DAB．故①正确； ②∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠PCB+∠ACD＝90°， 又∵∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB， 又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE， ∴∠PFC＝∠PCF， ∴PC＝PF， ∵∠P＝∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴PC：PA＝PB：PC， ∴PC2＝PB•PA， 即PF2＝PB•PA；故②正确； ③连接AE， ∵∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴AE＝BE． 又∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°． ∴ABBE714， ∴OB＝OC＝7， ∵PD是切线， ∴∠OCP＝90°， ∵BCOP， ∴BC是Rt△OCP的中线， ∴BC＝OB＝OC， 即△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴S△BOC，S扇形BOCπ×72π， ∴阴影部分的面积为π；故③错误； ④∵△PCB∽△PAC， ∴， ∴tan∠PCB＝tan∠PAC， 设PB＝x，则PA＝x+14， ∵PC2＝PB•PA， ∴242＝x（x+14）， 解得：x1＝18，x2＝﹣32， ∴PB＝18， ∴tan∠PCB；故正确． 故答案为：①②④． 9．【解答】解：由相对运动，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′， ∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”， ∴点C应在⊙O′的圆内或圆上， ∵点A（0，1），B（1，0）， ∴OA＝OB＝1， 而∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB＝45°， 由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°， ∴△OBA为等腰直角三角形， ∵O′（1，1）， 设⊙O半径为R， 则， 故C1在⊙O′外，不符合题意； C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O′上，符合题意； ，故C3在⊙O′外，不符合题意， ∴点C2是弦AB的“a可及点”； 可知B，O′，C2三点共线， ∵， ∴α＝∠AC2B∠AO′B＝45°； 由相对运动，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′， ∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”， ∴点C应在⊙O′的圆内或圆上， 故点P需要在⊙O′的圆内或圆上， 作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O''M，O″N，如图， ∴点P在以O''为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°， ∴∠O″MN＝30°， 由对称得点O，O′在MN的垂直平分线上， ∵△MPN的外接圆为⊙O''， ∴点O''也在MN的垂直平分线上， 记OO′与NM交于点Q， ∴MQ＝MQ″•cos30°MO″， ∴， 随着MN的增大，⊙O′会越来越靠近⊙O， 当点O'与点O''重合时，点P在⊙O′上，如图， 即为临界状态，此时MN最大，MNMO″， 连接O″P，OP，OM， ∵OP≤OO''+O''P， ∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形， 由上述过程知， ∴， ∴当r＝1，OP的最大值为2， 设， 则， 解得， 记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴， 当x＝0，， 当y＝0时，， 解得x＝1， ∴与x轴交于点T（1，0）， ∴， 而OT＝OS， ∴△OTS为等边三角形， ∴∠TOS＝60°， ∴，LS， ∴S， ∴t的取值范围是或， 故答案为：C2；45；或． 10．【解答】解：∵BC为⊙O直径， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC， 又∵AC＝BC， ∴AE＝BE， ∵EM⊥AC， ∴EM＜AE， ∴BE＞EM， 故①错误； 连接OE． ∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE， ∴， ∴OE⊥BD， ∵BC是直径， ∴BD⊥AC 又∵EM⊥AC， ∴EM∥BD， ∴EM⊥OE， ∴EM是切线． 故④正确； ∵直角△EBC中，EG⊥BC， ∴∠ECG＝∠BEG， 又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA ∴∠ECA＝∠BEG． 故②正确； ∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证）， ∴∠EBH＝∠BEH， ∴BH＝EH， ∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴EH＝FH， ∴EH＝FH＝BHBF，即EHBF． 故③正确． 故答案为：②③④． 11．【解答】解：（1）过点O作OH⊥AC于H，连接BO、OC，如图1， ∵， ∴∠AOB＝2∠ACB， ∵∠ADC＝2∠ACB， ∴∠AOB＝∠ADC， ∴∠BOD＝∠BDO， ∴BD＝BO＝OA， ∵， ∴， ∵， ∴∠ABD＝∠AOH， ∵DE⊥AB，OH⊥AC 在△BDE和△OAH中， ， ∴△BDE≌△OAH（AAS）， ∴DE＝AH， ∵OH⊥AC， ∴， ∴AC＝2DE； 故答案为：AC＝2DE； （2）过点O作ON⊥EG于N，OT⊥AB于T连接OG，如图2， ∵， ∴， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵∠ABO+∠BFE＝90°，∠BAO+∠ADE＝90°， ∴∠BFE＝∠OFD＝∠ODF， ∴OF＝OD， ∵BF＝OD， ∴OF＝OD＝BF， 又∵∠BEF＝∠ONF＝90°， ∴△BFE≌△OFN（AAS）， ∴BE＝ON，EF＝FN， ∵OF＝OD，ON⊥FD， ∴ ∵BE＝ON，OG＝BO＝BD，∠BED＝∠ONG＝90°， ∴△BED≌△ONG（SAS）， ∴， ∴， ∵ON⊥EG，OT⊥AB，DE⊥AB， ∴四边形ONET为矩形， ∴BE＝ET＝ON， ∵OT⊥AB，AO＝BO， ∴AT＝BT， ∴AE＝3BE， 设AO＝OB＝BD＝r，则：， ∴， 在Rt△AED中，AE2＝AD2﹣DE2， 在Rt△BED中，BE2＝BD2﹣DE2， ∵AE＝3BE， ∴AE2＝9BE2， 即 解得或（舍去）， ∴， ∴， 在Rt△AEG中，． 故答案为：． 12．【解答】解：（1）如图， ∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°， ∴AC为圆的直径． ∵AC（cm）． 故答案为：8； （2）如图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径， ∴圆的半径为4cm． ∴圆的直径为8cm． 故答案为：8． （3）如图，设圆心为O，GH与AB交于点P． 连接OA，OB，ON． 由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON． ∴O在PG上，AP＝PBAB＝2cm． 设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm． 在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2． 在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2． ∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2． ∴22+（8﹣x）2＝42+x2． 解得：x． ∴ON（cm）． ∴直径为（cm）． 故答案为． 13．【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ， ∵AC＝9，CP＝3， ∴， ∵CP＝3，CQ＝1， ∴， ∴△ACP∽△PCQ， ∴PQAP， ∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ， ∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小， 在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1， ∴QB， ∴PA+PB的最小值， 故答案为：． 14．【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°； （2）如图，连接OA，过点O作OF⊥BC于点F，作OG⊥AE于点G， ∴∠BFO＝∠OGD＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形OFDG是矩形， ∴OG＝DF， ∴， ∴，， ∵∠BOC＝120°， ∴∠BOF＝60°， ∴∠OBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣60°＝30°， ∴OB＝2OF， ∴BFOF， ∴OF＝2，OA＝OB＝OC＝4， ∴GD＝OF＝2， ∴AG， ∴． 15．【解答】解：（1）△ABC 是等边三角形．理由如下： ∵∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． （2）CP＝AP+BP，证明如下： 如图：在 PC 上截取 PD＝AP，连接 AD， ∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120° 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB 和△ADC 中，∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝AP+BP． （3）如图：过点 C 作 CH⊥AB， 则， ∵， ∴ ∴，即 ， 设 AQ＝x，则BQ＝2﹣x， 由题意可得：，解得 ∵， ∴，则（舍去）， ∴， 检验： 是原分式方程的根， ∴． 16．【解答】解：过点G作GM⊥CB交BC于点M，连接CG， ∵∠ACB＝90°，GM⊥CB，且∠B为△ABC与△AGMB的公共角， △ACB∽△GMB， ∴BC＝2AC＝2， ∴MGMB． 设GM＝x，则BM＝2x，CM＝2﹣2x， 由题意得CA、CG、CH都为⊙C的半径， ∴CA＝CG＝CH＝1， 在Rt△CGM中可利用勾股定理列方程：x2+（2﹣2x）2＝12， 解得：x或1（舍去）． ∴GM，CM． ∴MH＝CH﹣CM， 在Rt△MHG中，由勾股定理可求得：GH， 过点G作GN⊥CB交BC于点N，连接DG、DF， 由题意得DF、DG、DE、DH为⊙D的半径， ∴DF＝DE＝DG＝DH， ∵EF＝GH， 在Rt△DEF与Rt△DGH中： ， ∴△FED≌△DGH（SSS）， ∴∠FDE＝∠GDH， ∵DE⊥BC，GN⊥CB， ∴∠CDF+∠FDE＝90°，∠DGN+∠GDH＝90°， ∴∠CDF＝∠DGN， 在Rt△CDF与Rt△DGN中： ， ∴Rt△FCD≌Rt△DGN（AAS）， ∴CD＝NG， 同理：△GNB∽△ACB， ∴GNNB． 设GN＝y，则CD＝y，NB＝2y，CN＝CB﹣NB＝2﹣2y，DN＝CN﹣CD＝2﹣3y，DB＝DN+NB＝2﹣y， 同理：△EDB∽△ACB， ∴DEDB＝1y． ∴DG＝DE＝1y． 在Rt△DGN中可利用勾股定理得：DN2+GN2＝DG2， 列方程得：（2﹣3y）2+y2＝（1y）2， 解得：y或（舍去）． ∴CD． 故答案为：；． 17．【解答】解：如图1，连接OD，DE， ∵半圆O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， 在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3． ∴OB2＝BD2+OD2， ∴（OD+3）2＝（3）2+OD2， 解得OD＝6， ∴AO＝EO＝OD＝6， ①当AP＝PD时，此时P与O重合， ∴AP＝AO＝6； ②如图2，当AP′＝AD时， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∴， ∴AC＝10，CD＝2， ∴AD2， ∴AP′＝AD＝2； ③如图3，当DP′′＝AD时， ∵AD＝2， ∴DP′′＝AD＝2， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC， 过点D作DH⊥AE于点H， ∴AH＝P″H，DH＝DC＝2， ∵AD＝AD， ∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL）， ∴AH＝AC＝10， ∴AH＝AC＝P″H＝10， ∴AP″＝2AH＝20（P为AB边上一点，不符合题意，舍去）， 综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2． 故答案为：6或2． 18．【解答】解：（1）如图，在AB的垂直平分线MN上取点O，使得∠AOB＝120°，以点O为圆心，OA为半径画圆，在圆O上任取一点P，均有， 当△ABP为等边三角形时，圆O与AB垂直平分线上在矩形ABCD内的交点即为点P， 过点P作PH⊥AD于H，则∠AMP＝∠AHP＝∠MAH＝90°， ∴四边形AMPH为矩形， ∴， ∵△ABP为等边三角形， ∴∠BAP＝60°， ∴∠PAH＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴DH＝AD﹣AH＝9﹣3＝6， ∴， 故答案为：； （2）连接OD，与圆O交于点P，此时，DP的值最小，过点O作OE⊥AD于E，则， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°，OM⊥AB， ∴， ∴，， ∴DE＝AD﹣AE＝9﹣1＝8， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【解答】解：①连接BD， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBE+∠3＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠1+∠DBE＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵DO＝BO， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴∠CDB＝∠CED， ∵∠DCB＝∠ECD， ∴△CDE∽△CBD， ∴CD2＝CE•CB，故①CD2＝CE•CB正确； ②∵过D作⊙O的切线交BC于点F， ∴FD是⊙O的切线， ∵∠ABC＝90°， ∴CB是⊙O的切线， ∴FB＝DF， ∴∠FDB＝∠FBD， ∴∠1＝∠FDE， ∴∠FDE＝∠3， ∴DF＝EF， ∴EF＝FB， ∴EB＝2EF， ∵在Rt△ABE中，BD⊥AE， ∴EB2＝ED•EA， ∴4EF2＝ED•EA，故②4EF2＝ED•EA正确； ③∵AO＝DO， ∴∠OAD＝∠ADO， 假设③∠OCB＝∠EAB成立， 则∠OCB∠COB， ∴∠OCB＝30°， 而，与tan30°矛盾， 故③∠OCB＝∠EAB不成立，故此选项错误； ④∵∠CDF＝∠CBO＝90°， ∠DCF＝∠OCB， ∴△CDF∽△CBO， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴， ∴DFCD；故④DFCD正确． 综上正确的有①、②、④． 故答案为：①②④． 20．【解答】解：作△ABP的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥DA交DA的延长线于F，连接OA、OB、OD，OD交⊙O于点P′， ∵∠AP′B＝∠APB＝120°， ∴当O、P、D共线时，DP的长度最小，为DP′的长，∠AOB＝120°， ∵OE⊥AB，AB＝2， ∴AEAB＝1，∠AOE＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴OE，OA， ∴⊙O的半径为， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝90°， ∵OE⊥AB，OF⊥DA， ∴四边形AEOF是矩形， ∴OF＝AE＝1，AF＝OE， ∴DF＝AD+AF， ∴OD， ∴DP′＝OD﹣OP′， 即DP长度的最小值为． 故答案为：． 21．【解答】解：设点C（m，0）， ∵以AC为直径的⊙D的半径DE⊥AC， ∴点E（，）， ∵△CBF是以CB为斜边的等腰直角三角形， ∴F（，）， ∴EF2＝（）2+（2＝（m﹣6）2+25， 当点F到过点A、C、E三点的抛物线的顶点的距离最小， ∴当m＝6时，EF最小＝5， ∴C（6，0），E（，）， 设抛物线的解析式为y＝a（x）2， ∵抛物线经过A（1，0）， ∴0＝a（1）2， ∴a， ∴y（x）2． 故答案为y（x）2． 22．【解答】解：∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵将该圆形纸片沿直线CO对折， ∴∠ECO＝∠BCO， 又∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， 设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x， ∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x， ∴∠CEB＝2x， ∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°； ∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB， ∴△CEO∽△BEC， ∴， ∴CE2＝EO•BE， 设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a， ∴a2＝x（x+a）， 解得，xa（负值舍去）， ∴OEa， ∴AE＝OA﹣OE＝aaa， ∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴△BCE∽△DAE， ∴， ∴． 故答案为：36，． 23．【解答】解：如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，连接AK、BK、KC、OP． ∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB， ∴KA＝KB，∠AKB＝90°， ∴△AKB是等腰直角三角形， ∵∠OBK＝∠PBC， ∴∠OBP＝∠KBC， ∵， ∴△OBP∽△KBC， ∴，∵OP＝1， ∴KC， ∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆， AKOA＝2， ∴AC的最大值为3，AC的最小值， ∴AC≤3． 故答案为AC． 24．【解答】解：∵线段AB＝6，且AB∥x轴， ∴设点A（m，n），则B（m+6，n）， 把点A（m，n），B（m+6，n）代入y＝（x﹣2）2﹣10， 得， 解得， ∴A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1）， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为⊙I，连接AI，过I作ID⊥AB于D，如图， ∴，AI＝5， 由勾股定理，得ID4， ∴I（2，﹣5）， ∵Q是AP的中点， ∴当P在⊙I上运动时，点Q在以AI中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当CQ经过⊙K圆心K时，此时CQ最大， ∵A（﹣1，﹣1），I（2，﹣5）， ∴AI的中点， ∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣10的顶点坐标为（2，﹣10）， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为（2，8）， ∴翻折后抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2）2+8， 令x＝0，则y'＝4， ∴C（0，4）， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【解答】解：①∵点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1， 当a＝1时，直线l：y＝x，如图，直线l1与⊙Q相离，故①正确； ②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心， 所以将Q（5，2）代入y＝ax，得a，故②正确； ③若直线l与⊙P只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，如图中的l2，l3， 则OQ， ∵直线l2，l3与圆Q相切， ∴QT⊥l2，QY⊥l3， ∵⊙Q的半径为1， ∴OY＝OT2，故③正确； ④如图，由题意可知，Y在以CZ为直径的圆上， 若C取（4，2）时， 则CZ的中点为（，）， 此时，⊙P的半径为， 设Y（x，ax）， 则YP2＝（x）2+（ax）2， 化简得，（a2+1）x2﹣（5a+9）x+26＝0， 相切时取最大值， ∴Δ＝（5a+9）2﹣4（a2+1）×26＝0， 解得a1（此时是下方的切线舍去）， a2（此时是上方的切线，故为最大值）， ∵， ∴不是最大值，故④错误． ∴正确的结论序号是：①②③． 故答案为：①②③． 26．【解答】解：如图，连接CF， ∵CD⊙O为直径， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CFE＝90°， 取CE的中点G，连接FG， ∴FGCE， ∵AC＝4，E是AC的中点， ∴CE＝AEAC＝2， ∴CG＝FG＝1， 以CE为直径作圆G， ∴点F在圆G上， 将△ABC沿AB对折得到△ABC′， 过点G作GN″⊥BC′于点N″，交AB于点M，交圆G于点F， 此时GN″最短， ∴FM+MN＝FM+MN″＝FN″最小， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4， ∴BCAC＝4，∠CBC′＝60°， 延长BC，N″G交于点P， ∵∠PN″B＝90°， ∴∠BPN″＝30°， ∵CG＝1， ∴PG＝2， ∴CP， ∴BP＝45， ∴BN″， ∴PN″BN″， ∴FN″2﹣1． ∴FM+MN的最小值为， 故答案为：． 27．【解答】解：连接OM，BM， ∵PE为⊙O的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∴∠OAM＝∠AMO， ∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB＝90°， ∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴，故②正确； ∵∠APE＝30°， ∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴的长为，故③错误； ∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴， ∴PBPA， ∴PBAB， ∴PB＝OB＝OA， ∵sin∠OPM， ∴∠OPM＝30°， ∴∠CAP＝60°， ∵AM平分∠CAP， ∴∠MAP＝30°， ∴tan∠MAP，故④正确． 故答案为：①②④． 28．【解答】解：连接AD，BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD，∠ABD＝∠C， ∵∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴△ABD∽△BCE， ∴， ∴， ∴AB＝kBD，BC＝kCE， ∵BC＝2BD， ∴BDBCkCE， ∴AB＝kkCEk2CE＝AC， ∴AE＝AC﹣CEk2CE﹣CECE， ∴， 当k＝2时，， 若k，则此时△ABC为钝角三角形，如图所示： 设AE＝x， ∴BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2， ∴22﹣（k+x）2＝k2﹣x2， ∴x， ∴， 故答案为：1，． 29．【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°，∠CED＝90°， ∴∠AED＝∠BCE， ∴△ADE∽△BEC， 故（1）正确； ∵， ∴DE＜CE， ①当点E在线段BO上时，如图， ∵OM⊥CD，且OM＜OA， ∴⊙O与CD相交； ②当点E与圆心O重合时，如图， ∵OM⊥CD，且OM＝OA， ∴⊙O与CD相切； ③当点E在线段OA上时，如图， ∵OM⊥CD，且OM＜OA， ∴⊙O与CD相交； 综上，⊙O与CD相交或相切； 故②错误； 由（2）可知，当点E与圆心O重合时，⊙O与CD相切，如图，此时OM的值最大，且OM＝OAAB， 故（3）正确； （4）当OM最大时，如图， ∵， ∴设CE＝4x，DE＝3x，且x＞0， ∵∠CED＝90°， ∴CD5x， ∵S△CDECE•DECD•OM， ∴4x×3x5x， 解得：x， ∴CD＝5x＝5， 即OM最大时，CD， 故（4）正确， ∴正确的是（1）（3）（4）， 故答案为：（1）（3）（4）． 三．解答题（共11小题） 30．【解答】（1）解：如图1，AB是直径，且AB＝10，连接OD， ∴∠ACB＝90°，AO＝BO＝DO＝5， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∵， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝90°， 则图中阴影部分的面积是； （2）证明：由（1）知∠AOD＝90°，即OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：在直角三角形ABC中，AB＝10，AC＝6， 由勾股定理得：， 如图2，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形， ∴AF＝OD＝FD＝5， ∴∠EAF＝90°﹣∠CAB＝∠ABC， ∴tan∠EAF＝tan∠CBA， ∴， ∴， 解得：， ∴． 31．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， 又∵∠ABC＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°； （2）证明：如图1，连接OC，OB， ∵CF2＝AF•BF， ∴， 又∵∠F＝∠F， ∴△BCF∽△CAF， ∴∠BCF＝∠CAB， ∵， ∴， 又∵BO＝CO， ∴∠OBC＝∠BCO， 在△BOC中，∠OBC+∠BCO+∠BOC＝180°， ∴， ∴， ∴OC⊥CF， 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （3）解：存在常数a，b，使成立，且a＝1，b＝1； 证明：如图2，AC平分∠BAD，∠BAD＝60°，延长AD至G，使DG＝AB，过点C作CH⊥AD于点H，连接CG， ∴∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴， ∴BC＝CD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDG＝180°， ∴∠ABC＝∠CDG， 在△ABC和△GDC中， ， ∴△ABC≌△GDC（SAS）， ∴AC＝GC， ∵CH⊥AD， ∴， ∴DG+AD＝AB+AD＝AG＝2AH， 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠CAH＝30°， ∴， 由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2， ∴， ∴， ∴， ∴a＝1，b＝1时，成立． 32．【解答】（1）证明：连接OD、BD， 因为CD是⊙O的切线， 所以OD⊥CD，即∠CDO＝90°， 故∠CDA+∠ODA＝90°． 又AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°， 即∠ODB+∠ODA＝90°， 因此∠CDA＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∠CDA＝∠B．又∠C＝∠C，所以△CDA∽△CBD， 得， 即CD2＝CA×CB． （2）由（1）的结论，CD是⊙O的切线，故CD2＝CA×CB， 由切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于割线长与它的外段长的乘积）， 得CD2＝CE×CF， ∴CE×CF＝CA×CB； （3）步骤：①延长AB，交直线l于点E； ②作线段AB的垂直平分线（分别以A、B为圆心，大于AB 的长度为半径画弧，两弧交点的连线）； ③以EA为直径作圆，过B作EA的垂线交圆于P，在直线l上截取EF＝EP； ④过点F作l的垂线，与AB的垂直平分线交于点O； ⑤以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O即为所求（过A、B且与l相切）． 33．【解答】解：（1）半圆O与水平面相切于点P，OP为半圆O的半径，四边形ABCD为正方形，如图1，连接OE，OP，OP与EF交于点T， ∴∠OPA＝∠DAP＝∠ADT＝90°， ∴四边形ADTP为矩形， ∴OP⊥EF，PT＝AD＝4cm， ∴ET＝FT， ∵MN＝20cm， ∴OE＝OP＝10cm， ∴OT＝6cm， 在Rt△OET中，由勾股定理得：， ∴EF＝2ET＝16cm； （2）四边形ABCD为正方形，半圆O与水平面相切于点Q，OQ为半圆O的半径，如图2，连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G， ∴∠GQA＝∠DAQ＝∠ADG＝90°， ∴四边形ADGQ为矩形， ∴AQ＝DG，QG＝AD＝4cm，∠OGD＝90°， ∵MN＝20cm， ∴OD＝OQ＝10cm， ∴OG＝6cm， 在Rt△ODG中，由勾股定理得：， ∴AQ＝DG＝8cm， ∵AP＝12cm， ∴的长为AP﹣AQ＝4（cm）， （3）如图3，连接OH，由切线长定理可得HQ＝HD， 设HD＝t cm，则HQ＝t cm，由（2）得AQ＝8cm，则AH＝（8﹣t）cm， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2+AH2＝HD2， 即42+（8﹣t）2＝t2， 解得t＝5， ∴AH＝3cm， ∴． 34．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，以点O为圆心OB的长为半径的圆经过点M，如图1，连接OM， ∴AE⊥BC，∠OBM＝∠CBM， ∵OB＝OM， ∴∠OBM＝∠OMB， ∴∠OMB＝∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∵OM是圆的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，BC＝8，AC＝12， ∴， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴即， 解得r＝3， ∴⊙O的半径为3； （3）解：过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH， 又∵AE⊥OM，AE⊥BC， ∴∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°， ∴四边形OMEH是矩形， ∴HE＝OM＝3，EM＝OH以， ∴BH＝1， ∴BG＝2BH＝2． 在Rt△BOH中，由勾股定理得： ∴ 故答案为：，2． 35．【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°， ∴∠BDC∠BAC＝45°； 故答案为：45； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴OABD，OCBD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝25°， ∴∠BAC＝25°， 故答案为：25°； （3）作图如下： 由图知，∠AP1B＝∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°． （4）①4≤m＜2+2． 在BC上截取BF＝BA＝4，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示： ∵BA＝BF＝4， ∴AF＝4， ∴⊙O的半径为2，即OF＝OG＝2， ∵OG⊥EF， ∴FH＝2， ∴OH＝2， ∴GH＝22， ∴BF≤m＜BQ， ∴4≤m＜4+22，即4≤m＜2+2， 故答案为：4≤m＜2+2； ②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC． ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△BOC中，BC＝3+1＝4， ∴BO＝CO＝2． ∵OE⊥BC，O为圆心， ∴BE＝CEBC＝2， ∴DE＝OF＝1． 在Rt△BOE中，BO＝2，BE＝2， ∴OE＝DF＝2． 在Rt△AOF中，AO＝2，OF＝1， ∴AF ∴AD2． 36．【解答】（1）证明：∵CF∥BD， ∴∠F＝∠ADB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ACB＝∠F； （2）证明：∵CF∥BD， ∴∠DCF＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠DCF， 又∵∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△CDF； （3）解：①∵点B，F关于AC对称， ∴AB＝AF＝5，BC＝CF＝3，∠ACB＝∠ACF，∠BAC＝∠CAF， ∴∠ACB＝∠F＝∠ACF， ∴AC＝AF＝5， ∵△ABC∽△CDF， ∴， ∴， ∴DF， ∴AD＝5， ∵DB∥CF， ∴△ADE∽△AFC， ∴， ∴DE3； ②由①可得AB＝AC＝AF，BC＝CF， ∵CF∥BD， ∴AE＝AD， ∴CE＝DF， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠BCE，∠AED＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC， ∴BE＝CF， ∵， 设BC＝x，则AB＝AC＝AF＝1， ∴BE＝BC＝x， ∵∠BEC＝∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴，即， ∴CE＝x2， ∴AE＝AC﹣CE＝1﹣x2， ∵CF∥BD， ∴△ADE∽△AFC， ∴， ∴y1﹣x2． ∴y＝1﹣x2． 37．【解答】（1）证明：连接OA， ∵PA＝PB，OB＝OA，OP＝OP， ∴△OBP≌△OAP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴OB⊥BP， ∵OB是半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：连接AC，设OA＝r，则OQ＝2+r， ∵∠OAQ＝180°﹣∠OAP＝90°，AQ＝4，CQ＝2， ∴OA2+AQ2＝OQ2， 即r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴BC＝6，OA＝3， 设BP＝x，则AP＝x， ∵PB是圆O的切线， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+BP2＝PQ2， ∴x2+（6+2）2＝（x+4）2， 解得x＝6， ∴BP＝6， ∵QD为PB边上的中线， ∴BD＝3， ∴QD． 38．【解答】（1）证明：如图，连接OF． ∵OA＝OF， ∴∠OFA＝∠OAF， ∵∠OAF＝∠CAF， ∴∠AFO＝∠CAF， ∴OF∥AC， ∵AC⊥CD， ∴OF⊥CD． ∵OF是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°． ∵OF⊥CD， ∴∠AFO＝90°﹣∠OFB＝∠DFB． ∵∠OAF＝∠OFA， ∴∠OAF＝∠DFB． ∵DG平分∠ADF， ∴∠FDG＝∠ADG， ∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∠GFH＝90°， ∴∠FGH＝∠FHG＝45°． 39．【解答】解：（1）∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴； （2）如图，当0＜x＜2时，连接CQ，此时P在AC上， ∵点P恰好在以CQ为直径的圆上， ∴∠CPQ＝90°＝∠ACB， ∵， ∴， 解得：v＝5， ∴点Q的运动速度为5cm/s； （3）当0＜x≤2时，连接CQ，此时P在AC上， 过P作PH⊥AB于H， ∵AP＝3x，， ∴， ∴， ∴△APQ的面积为， 当x＝2时，最大面积为（平方厘米）； 如图，当时，P在BC上，过P作PH⊥AB于H， ∴AC+CP＝3x， ∴BP＝6+8﹣3x＝14﹣3x， ∵， ∴， ∴， ∴△APQ的面积为， 当时， 最大面积为（平方厘米）； 综上：当时，最大面积为平方厘米． 40．【解答】（1）证明：（Ⅰ）∵∠ABE＝∠ACB，∠BAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△AEB； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， △ABC∽△AEB， ∴， ∴AB2＝AC•AE， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠AEF＝∠D， ∵∠EAF＝∠CAD， ∴△AEF∽△ADC， ∴， ∴AE•AC＝AF•AD， ∴AB2＝AD•AF； （2）解：（Ⅰ）如图1， 作NA⊥直线l于A，连接AM，作∠NMB＝∠MAN，连接BM，BQ， 由（1）得，MN2＝BN•AN＝NQ•NP， ∴， ∵∠BNQ＝∠ANP， ∴△BNQ∽△PNA， ∴∠NQB＝∠PAN＝90°， ∴点Q在以BN为直径的⊙O上运动，即Q点运动的路线是弧， 故答案为：B； （Ⅱ）如图2， 作NA⊥直线l于A，MC⊥直线l于C，作MB⊥NA于B，连接NP， 可得矩形ACMB， ∴AB＝CM＝4.5， ∴BN＝NA﹣AB＝12.5﹣4.5＝8， ∴MN2＝BN•AN＝100， 由上知， △BNQ∽△PNA， ∴∠MQB＝∠PAN＝90°， ∴点Q在以BN为直径的⊙O上运动， 由（1）知，△MNQ∽△PNM， ∴， 作直径MQ'， 当点Q在Q'处时，MQ最大，最大， ∵BN＝8，MN＝10，∠MBN＝90°， ∴BM＝6，OQ'＝OB＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）思路可得11， 故答案为：； （4）解：∵四边形ABCD为正方形，CD为圆的直径， ∴AD＝CD，∠CGD＝∠DCE＝90°， ∵∠CDG＝∠EDC，∠CGD＝∠DCE， ∴△CDG∽△EDC， ∴， ∴． 又∵∠ADG＝∠EDA， ∴△ADG∽△EDA． ∴， 由于AD为定值，故当AG取最大值时，取最小值． 如图，M为CD中点，即为圆心，连接AM并延长交⊙M于N． ∵AN＝AM+MN＝AM+MG≥AG， ∴AN为AG的最大值． 在 Rt△ADM中，． ∴． ∴， 即的最小值为； （5）解：如图，连接AP，PE，PE交DF于R．过点Q作AE的垂线，垂足为点T． 由FP×FG＝1＝AF2可得． 又∵∠AFP＝∠GFA， ∴△AFP∽△GFA， ∴∠FAP＝∠AGF， ∵∠FAE＝∠AGF， ∴点P在AE上． ∴当点G在从点A沿着移动至点D时，点P从点A移动到点R． 根据正六边形的性质，易知AB＝1，四边形ABDE为矩形．∠AFD＝90°，∠FDE＝∠FAE＝30°， 在Rt△AFQ中，， 则当FQ取最大值时，AQ最大，由于RF为定值，即RQ取最大值时，AQ取最大值． 设，则RT＝a，RQ＝2a， ∵RF＝RE＝DE•tan30°，AE＝DF＝2AF， ∴TE＝RE﹣RTa，AT＝AE﹣TEa． 在△ABP和△TPQ中，∠BAP＝∠PTQ＝90°，∠APB＝90°﹣∠TPQ＝∠TQP， ∴△ABP∽△TPQ． ∴， 设A． ∴， 整理得：． 由于存在这样的点P，即方程有解， ∴， 即． 当a取最大值时，． ∴． 故AQ有最大值，此时FQ的长为34． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/5 8:40:05；用户：张殿明；邮箱：zdmzj@sohu.com；学号：11074411 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $