专题10 圆中的最值模型之阿氏圆模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题10 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（2025九年级下·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵，，∴，，∴，即有， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形；。 在中，故答案为：． 例3（24-25九年级·成都·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0）∴OA=2 在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D；∴OP’=OC=3 ∴，∴ ∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴即最小值为故答案为 例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例5（24-25九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，是的中点， ，，，， ，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上且Y在上方时， ，； 延长至点H，使，连接，， ，，，， 由（1）可知，， 当、、在一条直线上且点Y在线段上时，最小，即最小，如下图： 为中点，， ，∴；故答案为：，． 例6（2025·陕西·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．      ∵四边形为菱形，，∴，， ∵，P是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， ∵，∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值， 此时 ，故答案为：． 例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 例8（24-25·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以． 所以，所以． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）13． 【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．　故答案为：． （2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有， ∵，∴∽，得， ∴，故，仅当B、P、D三点共线时， 的最小值． （3）延长OC到E，使，连接PE，OP， 则，∵，∴∽，∴， ∴，∴，仅当E、P、B三点共线时， ，即的最小值为13． 1．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】解：由折叠可知，，点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大，的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，，， ，，，，， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误．故选：D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，，，，， ， ，，，，， ，当、、三点共线时，的值最小， 在中，，，，的最小值，故答案为：． 4．（2025·成都·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 【答案】 【详解】如图所示，延长至点，使，连接． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∴当点、、在同一条直线上，可以取得最小值，最小值为线段的长度． ∵，∴可以取得最小值．故答案为： 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由折叠性质可知：，∵四边形是正方形，∴，， ∴，如图，在上截取，连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， 要使有最小值，即要使有最小值， 则当点三点共线时，有最小值， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为，即的最小值为，故答案为：． 6．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴点在半径为2的上， 如图，在线段上取一点，满足， ， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，当且仅当三点共线时等号成立， 在，，∴的最小值为．故答案为：． 7．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP= ∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD， ∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：． 8．（24-25九年级下·广东广州·专题练习）已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连，，，在上取一点E，使，连接，．则，    ∵，，∴，即， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ，即的最小值为．故答案为：． 9．（24-25·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______ 【答案】          【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD， 作DF⊥BC交BC延长线于F． ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG， 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2， 在Rt△GDF中，DG，故答案为：； ②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30， ∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=， ∴，，∴， 且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴， ∴， ∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM， 在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=， ∴CN=4-，∴MC=， ∴的最小值为． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为6，点，点，点P在弧上移动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：取点，连接，， ∵半径为6，点，点，∴，，，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴C，P，B三点共线时，最小， ∴在中，，即的最小值为13．故答案为：13． 11．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）， 又∵， 故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(3，0)， ∵过A，B两点，∴由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1，D点的坐标为(1，y)， 又∵CD=BD，，, ∴即, ∴,∴y=1,∴D点的坐标为(1，1)． ∴， ∵P在圆上，∴．延长DO到F使得，连接PF，PO ∵直线DF经过点D(1，1)、O(0，0)、F(x，y)∴直线DF的解析式是y=x， 解得∴点F的坐标为 ∴，∴,∴, ∴，∴，∴=， ∴当P、C、Ｆ三点共线时取最小值，∴==， 故答案为：． 12．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵点P为中一动点，∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆， 如图，作以点O为圆心，为半径的，在上取一点M，使， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 当A，，M三点共线时，的值最小，即， 过点A作交于点N，在中，， ∴，∴， ∵，∴，解得， 在中，，∴， 如图，过点Q作交于点D， 在中，，∴，∵点Q是上的一动点，∴点Q的轨迹是直线， ∴，当C，，三点共线时，的值最小，∴， ∵，，∴，, 在中，，∴， ∴，故答案为：． 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0）∴OA=2在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D ∴OP’=OC=3∴，∴ ∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴即最小值为故答案为 14．（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料： 如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足． 显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换． 例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为． （1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值． 解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴，故点的坐标为； （2）如图③，连接、，由反演变换知， 即，而，∴． ∴，即．∴． 故的最小值为13. 请根据上面的阅读材料，解决下列问题： 如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为． （1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值； （3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________． 【答案】（1）；（2）13；（3）过点A且与x轴垂直的一条直线 【详解】解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴，∴点D关于的反演点的坐标为故答案为：； （2）连接， 由反演变换知， 即，而，∴．∴，即． ∴．故的最小值13． （3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和 由反演变换知，即，而， ∴，∴∵OA为的直径∴90°∴=90°∴⊥x轴 ∴上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线 故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)5 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴； （2）作平分，则：，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，∴，∴，即：，∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，，∴，∴的最小值为5． 16．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）【问题呈现】习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】（2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】（3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），证明见解析 ；（2）见解析（3） 【详解】解：（1）， 证明：，，， 又，； 如图，连接，，，， ，，，， ， ，，即，故的最小值为； （2）作阿氏圆如图所示： （3）解：过点作，垂足为，作∠的外角平分线交射线于点，取中点，连接， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∵是外角平分线， 同理可证明，∴，∴ ∵中点，∴为定点且，∵平分，平分， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，过点作于点， ∵，∴当点重合时，面积有最大值，面积的最大值为． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴，故最小值为； （2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得，∴，设， ∵半径为3，∴，解得：（负值舍去）， ∴，∴ ． 18．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1)(2)的周长的最大值为(3)存在，或或(4) 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则， ， 抛物线经过、两点， ，解得： ，； （2）设，则 ， ， ， ， ， 点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合）， ， ， 的周长为： ， ， ， ， ，， ，， 的周长为： ，， 时，的周长最大值为 ； （3）存在点，或或； 由（2）可知： ， 此时可得： ，， 抛物线的对称轴为： ，则点的横坐标为， ， ，设 ， ①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧，此时： ， 点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 点的横坐标为， ，将其代入抛物线解析式得： ， ， ②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧， 同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，此时 ， 代入抛物线解析式得： ，， ③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得： ， ，代入抛物线解析式得： ， 综上所述：或或； （4）在轴上截取 ，连接 ， ， ，， 又 ， ， ， ， ， 当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ， 在直角三角形中， ，的最小值为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（2025九年级下·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 例2（2025·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3（24-25九年级·成都·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 例4（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 例5（24-25九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是 例6（2025·陕西·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    例8（24-25·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以． 所以，所以． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值． 1．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ． 4．（2025·成都·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 5．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ． 6．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 7．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 8．（24-25九年级下·广东广州·专题练习）已知是正方形的内切圆，，点P是上一动点，则的最小值为 ．    9．（24-25·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______ 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为6，点，点，点P在弧上移动，连接、，则的最小值为 ． 11．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 12．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 13．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 14．（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料： 如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足． 显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换． 例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为． （1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值． 解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴，故点的坐标为； （2）如图③，连接、，由反演变换知， 即，而，∴． ∴，即．∴． 故的最小值为13. 请根据上面的阅读材料，解决下列问题： 如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为． （1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值； （3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 16．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）【问题呈现】习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】（2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】（3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 18．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $