四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度（上）高一数学12月月考卷 考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 5．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 6．已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分。 9．下面结论正确的有（    ） A．若，且，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D．命题“，”的否定是， 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的定义域为 C．的图象关于直线对称 D．若的定义域为R，则实数的取值范围 11．已知，且，则（   ） A． B．当时， C．当时，的取值范围是 D．当，，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． . 13．已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 . 14．已知且，函数存在最小值，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. (1)若点坐标是且，求的值； (2)若角满足 ①求的值； ②求的值. 16．（本小题满分15分） 已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值 17．（本小题满分15分） 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳. (1)试求的函数关系式； (2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18．（本小题满分17分） 已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求满足的实数的取值范围. 19．（本小题满分17分） 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② (1)请基于以上信息求函数和的函数表达式，并证明：. (2)设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. (3)关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高中数学12月月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A C C B A ACD BCD 题号 11 答案 BC 1．A 【详解】集合， 则． 故选：A 2．C 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 3．C 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 4．A 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 5．C 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 6．C 【详解】因为，所以，又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，. 则. 故选：C 7．B 【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8．A 【详解】函数的图象如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 9．ACD 【详解】A：由，当且仅当时取等号，对； B：由，此时，故“”不是“”的充分条件，错； C：由题设，，则，， 所以是第一象限角或第三象限角，对； D：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，，对. 故选：ACD 10．BCD 【详解】对于A：时，，所以的值域为，故A错误； 对于B：时，要使函数有意义，，解得或，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：因为的定义域为R，所以的解集是R，得，解得，故D正确. 故选：BCD. 11．BC 【详解】由，得，令函数， 则原等式等价于，而函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，则， 对于A，由，得或或，显然不恒成立，A错误； 对于B，由，得，则，解得，则，B正确； 对于C，由，，得，又， 则，即，解得且，因此，C正确； 对于D，依题意，，即，又， 则，而，解得，则，D错误. 故选：BC 12．12． 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： . 故答案为：. 13． 【详解】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 14． 【详解】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为. 15．(1) (2)①；② 【详解】（1）因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； （2）①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 16．1．(1)1 (2)1 【详解】（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 17．(1) (2)老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得． 又当时，曲线是函数（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则 则． （2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳， 当时，令，解得：； 当时，令，解得：. 综上可得，. 故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 18．(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； （2）在上单调递减，理由如下： 任取，则， ，，，且， ，即， 所以函数在区间上单调递减； （3）由于函数且该函数为奇函数且该函数在区间上为减函数， 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得且， 因此，满足不等式的实数的取值范围是. 18．(1) (2) (3)18万元 【详解】（1）当时，； 当时， 故. （2）由题意可得或， 解得或，即所求的取值范围为. （3）当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元. 19．(1)，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）， 所以，； 下面证明：， 所以； （2）由（1）知， 所以，显然在上为增函数， 且， 则在上存在唯一的实数，使， 所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是， 而在上是增函数，则有， 因此，所以 （3）因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 得，即，即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第10页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $