精品解析：河南省洛阳强基联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 4. 在三棱柱中，，分别为棱，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，、分别是、的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，，，分别是平面，的法向量，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与共线，则________. 13. 在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 14. 已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 依次首尾相接，用向量加法的三角形法则逐次合并即可化简. 【详解】由向量加法的三角形法则，. . 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 3. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 4. 在三棱柱中，，分别为棱，的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】由空间向量的运算法则，可得. 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入投影向量公式计算即可. 【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 6. 在正方体中，、分别是、的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 设异面直线与所成角为，则.. 7. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得，，所以， 又，所以，所以点到直线的距离. 8. 已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可设，，，从而求得，，结合空间向量的坐标运算即可求解的最小值. 【详解】因为，，设，，， 又，所以，且，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为空间的一个基底，则下列是空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合空间基底的定义与判定方法，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，共面，不能构成基底； 对于B，设，所以，此时方程组无解， 所以，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，显然无解，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，设，则， 所以，此时方程组无解， 所以，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确. 10. 已知，，，，，分别是平面，的法向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用空间向量坐标运算求得、的坐标，再利用线线关系、线面关系、面面关系进行各选项的判断. 【详解】由题意，得，， 因为，所以，即，则A选项正确； 因为，所以或，则B选项错误； 因为，所以，即，则C选项正确； 因为，所以，则D选项正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（ ） A. 若，则点在线段上 B. 若，则点在线段上 C. 若，则不存在点，使得 D. 若，则存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与共线，则________. 【答案】-9 【解析】 【详解】由向量，共线，得，解得，，所以. 13. 在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为2，点P是线段AB上的动点（不含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意建系，设，，三棱锥的外接球的球心为，根据球的性质结合空间中两点间距离公式解得，进而求外接球半径的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，，三棱锥的外接球的球心为， 则，即， 解得，即， 可得外接球的半径， 当且仅当时，等号成立， 所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，AP的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算求出相应坐标，再利用向量垂直关系即可求解； （2）根据空间向量模长公式以及平行关系即可求解. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以，又， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为，又， 设，又，所以， 解得， 当时，；当时，， 即向量的坐标为或. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面  内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线  的方向向量和平面  的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点. （1）求的长； （2）证明：. 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 在菱形中，， 所以 ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长； （2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证. 【小问1详解】 以为一个基底， 由题意知， 又， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再由平面夹角的向量法公式直接计算即可求解； （2）由点到平面的向量法距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，连接，因为平面，所以， 又，所以，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，即，取，则， 同理可得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 若，则， 又由（1）平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $