湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一上学期期末数学模拟卷

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （测试范围：必修第一册第一章~第五章） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合，，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣1＜y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|y＞1} D．∅ 2．为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（　　） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 3．a＞0，b＞0，，则a+3b的最小值是（　　） A．12 B．13 C．16 D．18 4．设，，，则（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 5．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则关于f（x）的下列说法正确的是（　　） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 6．已知函数f（x），若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么实数a的取值范围是（　　） A．（0，4） B．（0，1] C．[2，4） D．（0，4] 7．已知a∈R，函数f（x）＝ax2﹣x，若存在t∈[0，2]，使得f（t+2）﹣f（t）≤2成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[0，1] B． C．（﹣∞，1] D． 8．已知函数f（x）若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（﹣∞，）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（　　） A．y＝|cos2x| B． C． D．y＝cos|2x| 10．已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（　　） A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0 D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是 11．记函数f（x）的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．则下列结论正确的是（　　） A．所有偶函数都具有性质P（0） B．f（x）具有性质P（2） C．若f（x）＝2x2+x+1，则一定存在正实数k，使得f（x）具有性质P（k） D．已知a＞0，若函数f（x）具有性质P（k）（k＞0），则a∈（0，k] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知幂函数f（x）＝（a2+a﹣5）xa的定义域是R，则a＝ 　 　 ． 13．化简：sin40°（tan10°）＝　 　 ． 14．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m+3=0有6个根，则m的取值范围为______________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）化简求值： （1）； （2）． 16．（本小题15分）已知α为第三象限角，且． （1）化简f（α）； （2）若，求cosα的值． 17．（本小题15分）已知函数f（x）＝mex﹣e﹣x为奇函数． （1）求m的值； （2）判断并证明函数f（x）的单调性； （3）若对任意的x∈（3，4]，不等式f（x2+2ax+3）+f（1﹣3ax）＞0恒成立，求a的取值范围． 18．（本小题17分）.已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 （1）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，写出m的最小值（不要求写过程）； （2）若，求cos2x0的值； （3）若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在区间上是单调递增函数，求正数ω的取值范围． 19．（本小题17分）已知函数． （1）若f（x）为偶函数，求实数m的值； （2）当m＝0时，若不等式对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围； （3）当m＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （测试范围：必修第一册第一章~第五章） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合，，则A∩B＝（　B　） A．{x|﹣1＜y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|y＞1} D．∅ 【解析】 集合{y|y＞﹣1}，{y|0＜y＜1}，则A∩B＝{y|0＜y＜1}． 2．为了得到函数y＝sin（2x）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（　A　） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【解析】 y＝sin（2x）＝sin2（x），故将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可得y＝sin（2x）的图象 3．a＞0，b＞0，，则a+3b的最小值是（　C　） A．12 B．13 C．16 D．18 【解析】 因为，a＞0，b＞0，则，当且仅当时，即a＝b＝4时，等号成立． 4．设，，，则（　D　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【解析】 alog23＞log22＝1，∵当x＞0时，，∴， ∴c＞b，又∵，∴b＜c＜a． 5．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则关于f（x）的下列说法正确的是（　C　） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【解析】 由图象可得函数的周期T满足，解得T＝π．又∵ω＞0，故． ∵函数图象的最低点为，故且． ∴，k∈Z，又，∴．∴． 令，k∈Z，得，k∈Z，故f（x）的对称轴为，k∈Z，故A不正确；令，k∈Z，得，k∈Z，故f（x）的对称中心为，k∈Z，故B不正确；令，k∈Z，得，k∈Z，故f（x）的增区间为，故C正确，D不正确． 6．已知函数f（x），若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么实数a的取值范围是（　B　） A．（0，4） B．（0，1] C．[2，4） D．（0，4] 【解析】 由已知可得函数f（x）是R上单调递减函数，则函数f（x）满足：，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为：（0，1]． 7．已知a∈R，函数f（x）＝ax2﹣x，若存在t∈[0，2]，使得f（t+2）﹣f（t）≤2成立，则实数a的取值范围为（　C　） A．[0，1] B． C．（﹣∞，1] D． 【解析】 因为f（t+2）﹣f（t）＝[a（t+2）2﹣（t+2）]﹣（at2﹣t）＝4at+4a﹣2， 所以原命题等价于存在t∈[0，1]，使得4at+4a﹣2≤2成立，即存在t∈[0，1]，使得成立，即，因此a∈（﹣∞，1]． 8．已知函数f（x）若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（﹣∞，）∪（0，2） C．（﹣∞，0）∪（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞） 【解析】 若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如图所示： 两图象只有两个交点，不符合题意，当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2（x2＜x1）图象如图所示： 当x时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为，当x时，函数y＝﹣x的函数值为， 所以两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2（x2＞x1）在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根， 即k＝x在（，+∞）还有两个根，函数y＝x2，（当且仅当，即x时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（　ABC　） A．y＝|cos2x| B． C． D．y＝cos|2x| 【解析】 ∵y＝|cos2x|，∴该函数的最小正周期为，∴A选项正确；∵，∴该函数的最小正周期为，∴B选项正确；∵，∴该函数的最小正周期为，∴C选项正确；y＝cos|2x|＝cos2x，∴该函数的最小正周期为π，∴D选项错误． 10．已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（　ACD　） A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0 D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是 【解析】 当b＝0时，函数f（x）＝ln（x2+1），f（x）的定义域为R，判断正确；当b＝0时，函数f（x）＝ln（x2+1），x2+1≥1，故函数f（x）的值域为[0，+∞），判断错误；若函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1）有最小值，则u＝x2﹣bx﹣b+1有最小正值，则（﹣b）2﹣4（﹣b+1）＜0，即b2+4b﹣4＜0．又当b2+4b﹣4＜0时，u＝x2﹣bx﹣b+1有最小正值， 则函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1）有最小值．则函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0，判断正确；若f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1）在区间[2，+∞）上单调递增，则，解之得．则实数b的取值范围是，判断正确． 11．记函数f（x）的定义域为D，若存在非负实数k，对任意的x∈D，总有|f（x）﹣f（﹣x）|≤k，则称函数f（x）具有性质P（k）．则下列结论正确的是（　ABD　） A．所有偶函数都具有性质P（0） B．f（x）具有性质P（2） C．若f（x）＝2x2+x+1，则一定存在正实数k，使得f（x）具有性质P（k） D．已知a＞0，若函数f（x）具有性质P（k）（k＞0），则a∈（0，k] 【解析】 根据题意，依次分析选项：若f（x）为偶函数，则f（x）﹣f（﹣x）＝0，则有|f（x）﹣f（﹣x）|＝0，故所有偶函数都具有性质P（0），A正确；f（x），则f（﹣x），则有|f（x）﹣f（﹣x）|＝||，又由x2+1﹣2|x|≥0，即2|x|≤x2+1，则02，故|f（x）﹣f（﹣x）|≤2，f（x）具有性质P（2），B正确；若f（x）＝2x2+x+1，则f（﹣x）＝2x2﹣x+1，则|f（x）﹣f（﹣x）|＝|2x|，不存在实数k，满足|f（x）﹣f（﹣x）|＝|2x|≤k恒成立，f（x）不具有性质P（k），C错误；函数f（x），则f（﹣x），由于a＞0，则|f（x）﹣f（﹣x）|＝||＝||＝a||，又由1，则﹣11，则有||≤1，若函数f（x）具有性质P（k）（k＞0），则a||≤k恒成立，必有a≤k，即a∈（0，k]，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知幂函数f（x）＝（a2+a﹣5）xa的定义域是R，则a＝ 　　 ．2 【解析】 因为函数f（x）＝（a2+a﹣5）xa为幂函数，则a2+a﹣5＝1，解得a＝2或a＝﹣3， 当a＝2时，函数f（x）＝x2的定义域为R；当a＝﹣3时，函数的定义域为{x|x≠0}，舍去．综上所述，a＝2． 13．化简：sin40°（tan10°）＝　　 ．-1 【解析】 sin40°（）＝sin40°• 2 1 14. 已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m+3=0有6个根，则m的取值范围为______________________。 【解析】 作出函数图像如图所示： 令t=f（x），则[f（x）]2+mf（x）+m+3=0可化为t2+mt+m+3=0，若[f（x）]2+mf（x）+m+3=0有6个根，结合图像可知方程t2+mt+m+3=0在（0，2）上有2个不相等的实根，不妨设0＜t1＜t2＜2，g（t）=t2+mt+m+3，则解得-<m<-2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）化简求值： （1）； （2）． 【解析】 （1）原式1112． （2）原式＝3+（lg25+lg4）﹣3•lg1002． 16．（本小题15分）已知α为第三象限角，且． （1）化简f（α）； （2）若，求cosα的值． 【解析】 （1）． （2）∵，∴，又α为第三象限角，∴． 17．（本小题15分）已知函数f（x）＝mex﹣e﹣x为奇函数． （1）求m的值； （2）判断并证明函数f（x）的单调性； （3）若对任意的x∈（3，4]，不等式f（x2+2ax+3）+f（1﹣3ax）＞0恒成立，求a的取值范围． 【解析】 （1）因为函数f（x）＝mex﹣e﹣x为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即me﹣x﹣ex＝﹣mex+e﹣x，整理得（m﹣1）（ex+e﹣x）＝0，又ex＞0，e﹣x＞0，所以m﹣1＝0，所以m＝1． （2）函数f（x）在R上单调递增，证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则，因为x1＜x2，y＝ex单调递增，所以， 所以，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在R上单调递增． （3） 因为函数f（x）为奇函数，所以f（x2+2ax+3）+f（1﹣3ax）＞0⇔f（x2+2ax+3）＞f（3ax﹣1），又因为f（x）在R上单调递增，所以x2+2ax+3＞3ax﹣1，即在区间（3，4]上恒成立，令y＝x（3＜x≤4），由对勾函数的性质可知，y＝x在（3，4]上单调递增，所以a≤3，故a的取值范围为． 18.已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 （1）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，写出m的最小值（不要求写过程）； （2）若，求cos2x0的值； （3）若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在区间上是单调递增函数，求正数ω的取值范围． 【解析】 （1）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin（2x2m）由函数为奇函数，可得m的最小值为； （2）∵，∴sin（2x°），∵x0， ∴2x0，∴cos（2x°），∴cos2x0＝cos[（2x0）]＝cos（2x0）cossin（2x0）sin （3）∵y＝f（x）＝2sin（2x），令，k∈z可得，，∵f（x）在区间上是单调递增函数，∴，解可得，3k﹣1≤ω≤2k，解得﹣1≤ω或2≤ω，∵ω＞0且由f（x）在区间上是单调递增函数可知 ∴ω≤6 ∴0≤ω或2≤ω． 19．已知函数． （1）若f（x）为偶函数，求实数m的值； （2）当m＝0时，若不等式对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围； （3）当m＞0时，关于x的方程在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，∴log2（4﹣x+1）﹣mx＝log2（4x+1）+mx，即2mx＝log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1）＝log2（）﹣log2（4x+1）＝﹣2x，即2mx＝﹣2x对x∈R恒成立，∴m＝﹣1； （2）设h（x），则h（x）＝2x在（﹣∞，+∞）上单调递增，当x≥1时，h（x）min，f[log4（2a+1）]＝log2{}＝log2（2a+2），不等式对任意x≥1恒成立，则log2（2a+2），解得a1，又2a+1＞0且2a+2＞0，知a，∴a，即a∈（，）． （3）当m＞0时，y在R上单调递增，y＝mx在R上单调递增，∴在R上单调递增，且f（0）＝1，可化为，∴，即2，设t＝log2x，则t∈[0，]，问题转化为2t2﹣2t4＝0在t∈[0，]上有两解，化为2t2+2t+4，令y＝﹣2t2+2t+4＝﹣2（t）2（0≤t），则ymax，当t＝0或t时，y取得最小值，即ymin＝4，∴4，解得m≤1，即m∈（，1]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $