精品解析：重庆市南开中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

数学（五） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的识别，掌握有理数的定义是解决本题的关键． 整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A：是无理数，不符合题意； B：是无理数，不符合题意； C：是分数也是有理数，符合题意； D：中是无理数，则也是无理数，不符合题意． 故选：C． 2. 下列四种电路符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列调查中最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某班级观看电影《得闲谨制》的情况 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 审查一篇报道中的所有错别字 D. 调查全国中小学生对我国月球探测工程“梦舟”飞船的关注度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、最适合采用全面调查，故A不符合题意； B、最适合采用全面调查，故B不符合题意； C、最适合采用全面调查，故C不符合题意； D、最适合采用抽样调查，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形的性质，周长比等于位似比，位似比为，进而求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴与的相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为10， ∴的周长， 故选：A． 5. 若，是反比例函数图象上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数性质，当时，y随x的增大而减小，比较两点横坐标大小即可判断y值关系． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴当时，随的增大而减小． ∵和的横坐标都大于0，且， ∴． 故选：C． 6. 市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 因此，月平均增长率为， 故选：D． 7. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有8个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆点个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第①个图形中圆点的个数为3； 第②个图形中圆点的个数为5； 第③个图形中圆点的个数为8； 第④个图形中圆点的个数为10； … 所以图形中圆点的个数依次增加2个，增加3个为循环， 即第⑤个图形中圆点的个数为13个； 第⑥个图形中圆点的个数为15个； 第⑦个图形中圆点的个数为18个． 故选：B． 8. 如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. π 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连接、分别交对角线于点G、H，连接，为中点，N为中点，连接、交于点O．若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题意可得，进而求得正方形的边长为12，连接，过E作于点L，根据，即，设，则，进而利用勾股定理求得，再连接，易得，利用相似三角形的性质得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 如图，连接，过E作于点L，则， 则， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵M、N分别为、中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为整数，且．下列说法： ①当时，； ②当时，若，则满足条件的整式M有20个； ③若，则所有满足条件的整式M的值的最小值为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式相关规律问题，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 将代入式子即可判断①；当时，则，已知均为正整数，则同正或同负，进而枚举即可判断②；根据题意可得，进而可得，其最小值为，显然，当时，其值更小，进而枚举的情况，并求出值，即可判断③． 【详解】解：当时，则， 此时， ∵为正整数， ， ，故①正确，符合题意； 当时，则， ， ， ， ∴均为正整数， ∴同正或同负， 同正时，有如下情况： ， ， ，共 10 种情况； 同负时，有如下情况： ， ， ，共 10 种情况； 综上，共计 20 种情况，则满足条件的整式共有 20 个，故②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵为正整数，n为正整数， ∴是4的正约数且，故， ∴，此时， ， ， ∴， ∴其最小值为，显然，当时，其值更小， ∵为整数，为同正或同负， ∴同②讨论方式，当为同负时有如下情况： ，此时最小值； ，此时最小值； ，此时最小值， 综上可知整式的值的最小值为，故③错误，不合题意； 综上，正确的个数是 2 ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的数字为正数的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，理解题意是解决本题的关键． 直接根据概率公式解答，即可求解． 【详解】解：由题意得，四张卡片中正数有1和2，共2张， ∴抽取正数的概率为， 故答案为：． 12. 如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵为正整数， ， 故答案为：4． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵， ， ①当时，， ∵， ∴， ， ， ， ， ，即， ， ， ； ②当时，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴此种情况无解， 综上可知：的值为 2 ， 故答案为：2． 15. 如图，内接于，为的直径，与相交于点E，F为下方上一点，且，连接，过点D作的切线，交延长线于点H，若，，，则的半径的长度为______，的长度为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角等于90度，得到，通过，算得，利用勾股定理求得，即可得到半径的长度，过点作于，利用面积法求得，利用勾股定理求得，接着证明，得到，从而得到的长度，接着利用，算得，结合勾股定理求得，然后证明，算得，最后利用算得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径的长度为6 过点作于，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：6，． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定与性质，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16. 一个四位正整数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足（k为正整数且），则称这个四位数为“奇方数”．例如：四位正整数2341，因为，且，所以2341是“奇方数”．若是“奇方数”且，则最小的N为______；若也是一个“奇方数”，令，记，若除以11余数为5，则符合条件的所有A的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 2359 ②. 3500 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题． 对于第一部分，由和，代入条件公式得，且数字互异，故最小为2359；对于第二部分，由除以11余数为5，得，且为奇方数，解得为2953和6453，差为3500． 【详解】解：①∵，， ∴，， 代入条件公式，得， 即， 又数字互异且均不为0， 故或或或， 对应N为2359，2458，2854，2953，最小为2359． ②∵，其中，， 故． ∵除以11余数为5，1001、110除以11余数为0，90、101除以11余数为2， ∴除以11余数为5， ∴除以11余数为5， ∵c，d为的数字， ∴． 又A为奇方数，满足，其中， 故， 则． ∵且数字互异，，k为正整数， ∴或或或或， ∵，k为正整数， 当时，，，，无解； 当时，，时，，，得，；时，，，得，；时无解； 当时，：，，，时均无解； 当时，：，2，3，4，5时均无解． 故为2953和6453． 验证：对于2953，除以11余数为5； 对于6453，除以11余数为5． 最大值与最小值差为． 故答案为：2359和3500． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】，，，3和4； 不等式组的解集表示数轴如下， 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，准确的计算是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可． 【详解】解：①， ， ， ， 解得； ②， ， ， 解得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为3，4， 故答案为：，，，3和4． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：过点C作交延长线于点F ∵，∴． ∵平分，且，， ∴①． ∵，②， ∴． 在和中， ∴（④）． ∴． 【答案】（1） 下图即为所求： （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心，以超过到的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求； （2）根据角平分线的性质，可得，结合平角，可知，接着利用证明，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：过点C作交延长线于点F， ∵， ∴． ∵平分，且，， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，代数式的化简求值，涉及多项式乘法、分式运算和负整数指数幂、零指数幂的计算．先化简代数式，再计算x的值，最后代入求值． 【详解】解： ， 将代入得原式． 20. 良好的时间管理习惯有助于提升学习效率．某校为了解甲、乙两校区的学生完成相同作业量的时间的情况，从甲、乙两校区的九年级学生中各随机抽取20名学生完成作业的时间（时间单位为分钟且为整数）进行整理、描述和分析（完成作业的时间用x表示，共分为四个时段：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 甲校区所抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，74，75，75，75，75，76，78． 乙校区所抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，60，60，64，65，66，70，75，75，78，78，78，78，80，82，85，85，88． 甲、乙校区所抽取学生完成作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 甲校区 72 a 75 乙校区 72 75 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校甲、乙校区中哪个校区的学生学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校甲校区九年级有学生900人，乙校区九年级有学生800人，请估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟的学生人数共是多少？ 【答案】（1）74.5；78；15 （2） 甲校区的学生学习效率更高，理由如下： 因为两个校区的学生完成作业时间的平均数相同，但甲校区的中位数小于乙校区，即用时更少，所以其学习效率更高（答案不唯一）； （3）720人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，平均数、中位数、众数，用样本估计总体，掌握中位数，众数的意义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，用“1”分别减去其它部分所占百分比可得m的值； （2）根据中位数、众数的定义解答即可（答案不唯一）； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，甲校区在C时段的占比为， ∴，即； 甲校区A时段的人数为：，B时段的人数为：， 把甲校区所抽取20名学生中完成作业时间从小到大排列，排在中间的两个数分别是74，75，故中位数； 乙校区所抽取20名学生完成作业时间中出现次数最多的是78，故众数， 故答案为：74.5；78；15； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟的学生人数共是720人． 21. 列方程（组）解下列问题： 为迎接“”国际志愿者日，重庆一社区开展了“文旅引导助老服务”双主题活动．志愿者分为A组（文旅引导组，负责景点游客指引）和B组（助老服务组，负责社区老人探访帮扶）．已知A组和B组志愿者总人数为70人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的一半多10人． （1）求A、B两组各有多少名志愿者？ （2）活动当天，A组需完成5400人次的游客疏导任务，B组需完成240户的老人探访任务，每名志愿者每小时可疏导游客60人次，或探访2户老人，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 【答案】（1）A组有40名志愿者，B组有30名志愿者 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设组有名志愿者，则组有名志愿者，根据组志愿者人数比组志愿者人数的一半多10人，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即组志愿者的人数），再将其代入中，即可求出组志愿者的人数； （2）设从组调到组名志愿者，根据两组完成各自任务的时间相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设组有名志愿者，则组有名志愿者， 根据题意得：， 解得：， ， 答：组有40名志愿者，组有30名志愿者； 【小问2详解】 解：设从组调到组名志愿者， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：从组调到组10名志愿者． 22. 如图，在中，，，．点P是线段上一点（点P与端点A、B不重合），，过点P作交直线于点Q，连接．记线段的长为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 解：函数，的图象如图所示； 当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，过作于，求得，根据三角形的面积公式得到，然后分，和两种情况，分别写出答案即可； （2）根据题意画出函数的图象，然后观察图象，可得当时，随的增大而减小； （3）根据函数的图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 如图，过作于， ∴， ∴， ∴， 当时，，， 当时，如图， ∴，； 综上所述，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象知，当时的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形的面积，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，正确地作出函数的图象是解题的关键． 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】（1） （2）1.6千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过B作于点E，则，解求出，即可解答； （2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【小问1详解】 解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； 【小问2详解】 解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，P为上方抛物线上一动点，过P作交x轴于点E，连接是直线上的动点（点M在点N的上方），且，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）中面积取得最大值的条件下，将直线上方的抛物线沿翻折，点P的对应点为点Q，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后的抛物线恰好经过点D，点K为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）； （3）点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设顶点式，将点C坐标代入即可求解； （2）先求得直线解析式，易证，过P作轴，交于点Q，设，则，表示出，得到关于t的二次函数表达式，进而得到最大值时点P的坐标；将点D沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，作点P关于直线对称点，易得，结合勾股定理即可求得答案； （3）先根据题意求得，，直线的解析式，然后分成当点K在右侧和当点K在左侧两种情况，先求得直线的解析式，再和抛物线解析式联立，求得交点． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， ∵抛物线的顶点为点， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：对于，令，得或3， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 如图，连接，过P作轴，交于点Q， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， 当时，此时面积最大，最大为， 此时， ∴此时点； ∵，， ∴， ∴， ∴将点沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，如图所示， 则，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点P关于直线对称点，过点作轴，交于点T，连接，， 则，，， ∴，即， ∴轴， ∴点T的横坐标为， ∴点T的纵坐标为， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴， 由对称可知，， ∴， 当且仅当、N、三点共线时取得等号，此时取得最小值， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知点， ∵，， ∴抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位得到抛物线， ∴， ∵， ∴， 如下图，连接，并延长交x轴于点R， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 、得， ，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ①当点K在右侧时，如图，设直线与x轴交于点H， ∵， ∴， ∴， 如图，过M作于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（负值舍去）， ∴； ②当点K在左侧时，如图， 由（2）可知，，由①可知，， ∴点H与点A关于y轴对称， ∴， ∴此时点K在直线上， 同理可得， 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标、二次函数与直线交点问题、最短路径问题、求一次函数解析式，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 在中，，点D是边上一点，点E是边上一点，连接． （1）如图1，，连接，且，若，，求线段的长度； （2）如图2，，且，在线段上取点F，使，连接，交于点G，过点G作且，连接、，求证：； （3）如图3，连接，且，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接，若，，当取最大值时，直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作交于点，过作于点， 设，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）易得，过作于点，则，利用勾股定理求出，即可求出； （2）过作交于点，过作于点，利用边的关系可得，进而可证，可得，可得，再证是等腰直角三角形，最后证，即可得证； （3）在上方作，且，证，则，所以点的轨迹为以为直径的圆，再画出符合题意的图形，证，求得，再解三角形即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于点， ∵，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上方作，且，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹为以为直径的圆， 记中点为，记圆交于点，连接， 则，当且仅当、、三点共线时，为直径时取等号，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（五） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种电路符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用抽样调查的是（ ） A. 调查某班级观看电影《得闲谨制》的情况 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 审查一篇报道中的所有错别字 D. 调查全国中小学生对我国月球探测工程“梦舟”飞船的关注度 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 若，是反比例函数图象上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有8个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 23 8. 如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. π 9. 如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连接、分别交对角线于点G、H，连接，为中点，N为中点，连接、交于点O．若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为整数，且．下列说法： ①当时，； ②当时，若，则满足条件的整式M有20个； ③若，则所有满足条件的整式M的值的最小值为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的数字为正数的概率是______． 12. 如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则______． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 15. 如图，内接于，为的直径，与相交于点E，F为下方上一点，且，连接，过点D作的切线，交延长线于点H，若，，，则的半径的长度为______，的长度为______． 16. 一个四位正整数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足（k为正整数且），则称这个四位数为“奇方数”．例如：四位正整数2341，因为，且，所以2341是“奇方数”．若是“奇方数”且，则最小的N为______；若也是一个“奇方数”，令，记，若除以11余数为5，则符合条件的所有A的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得____________， 解不等式②得____________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：过点C作交延长线于点F ∵，∴． ∵平分，且，， ∴①． ∵，②， ∴． 在和中， ∴（④）． ∴． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 良好的时间管理习惯有助于提升学习效率．某校为了解甲、乙两校区的学生完成相同作业量的时间的情况，从甲、乙两校区的九年级学生中各随机抽取20名学生完成作业的时间（时间单位为分钟且为整数）进行整理、描述和分析（完成作业的时间用x表示，共分为四个时段：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 甲校区所抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，74，75，75，75，75，76，78． 乙校区所抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，60，60，64，65，66，70，75，75，78，78，78，78，80，82，85，85，88． 甲、乙校区所抽取学生完成作业时间统计表 年级 平均数 中位数 众数 甲校区 72 a 75 乙校区 72 75 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校甲、乙校区中哪个校区的学生学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校甲校区九年级有学生900人，乙校区九年级有学生800人，请估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟的学生人数共是多少？ 21. 列方程（组）解下列问题： 为迎接“”国际志愿者日，重庆一社区开展了“文旅引导助老服务”双主题活动．志愿者分为A组（文旅引导组，负责景点游客指引）和B组（助老服务组，负责社区老人探访帮扶）．已知A组和B组志愿者总人数为70人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的一半多10人． （1）求A、B两组各有多少名志愿者？ （2）活动当天，A组需完成5400人次的游客疏导任务，B组需完成240户的老人探访任务，每名志愿者每小时可疏导游客60人次，或探访2户老人，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 22. 如图，在中，，，．点P是线段上一点（点P与端点A、B不重合），，过点P作交直线于点Q，连接．记线段的长为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，P为上方抛物线上一动点，过P作交x轴于点E，连接是直线上的动点（点M在点N的上方），且，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）中面积取得最大值的条件下，将直线上方的抛物线沿翻折，点P的对应点为点Q，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后的抛物线恰好经过点D，点K为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点D是边上一点，点E是边上一点，连接． （1）如图1，，连接，且，若，，求线段的长度； （2）如图2，，且，在线段上取点F，使，连接，交于点G，过点G作且，连接、，求证：； （3）如图3，连接，且，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接，若，，当取最大值时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $