精品解析：浙江省衢州市柯城区城南初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

衢州市柯城区城南初级中学2025学年第一学期第二次独立作业 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD=4，BD=8，CE=3，则BC的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 7. 如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 11. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 12. 将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 13. 在一个不透明的口袋中装有3个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是黑球的概率为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 16. 在中，，，斜边上一点E满足，连结． （1）的长为______． （2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为______． 三、解答题（本大题共有8小题，共72分．第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分） 17. （）计算： （）已知线段是线段的比例中项线段，若，，求线段的长． 18. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从A测温通道通过的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）图2网格中，在线段上找到点Q，使（保留画图痕迹，不写画法）． 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 21. 如图，在中，是边上的一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知抛物线 （1）抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． （2）若点落在此抛物线上，求证：． 24. 【初步探究】 （1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点， ①求证：； ②若，求的值． 【拓展提升】 （2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州市柯城区城南初级中学2025学年第一学期第二次独立作业 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知比例关系表示出a和b，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离为d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义，由勾股定理得出，再根据余弦的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD=4，BD=8，CE=3，则BC的长为（ ）． A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求得BE的长，即可求得BC的长． 【详解】解：∵DE∥AC，AD=4，BD=8，CE=3， ∴，即， ∴BE=6， ∴BC=BE+CE=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 7. 如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程为常数的两实数根是， 【详解】解：二次函数为常数的图象的对称轴为直线， 二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为， 二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，． 故选：B． 8. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 9. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：连接OA、OC，如图： 由题意得：C为AB的中点， 则O、C、D三点共线，OC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝5（寸）， 设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸． 在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2， 解得：x＝13． ∴圆材直径为2×13＝26（寸）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∵， ∴每旋转4次回到初始位置， ∵， 即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置． ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 过点作轴于点H， ， 在中，， ∴， ， ∴的坐标为． 故选：D． 11. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 【答案】9##九 【解析】 【分析】对变形的内角和公式可以表示为，又因为所给多边形的每个内角均相等，故又可以表示为，列方程即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数是，由内角和公式，得， ， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根据多边形的内角和公式求多边形的边数，解答时，要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 12. 将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案． 【详解】∵抛物线向上平移1个单位长度， ∴抛物线平移后的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 13. 在一个不透明的口袋中装有3个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由袋中装有3个绿球，2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵袋中装有3个绿球，2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同， ∴从袋中摸出一个黑球的概率是： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为， 点的坐标为，，即点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 16. 在中，，，斜边上一点E满足，连结． （1）的长为______． （2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出的长； （2）根据可知有以下两种情况：①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，则，，先由的面积公式求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得的长；②当时，过点B作于点H，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得EF的长综上所述即可得出答案． 【详解】解：（1）过点C作于点D，如图1所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （2）是的一个外角， ， 当点F在射线上，的一个内角与相等时，有以下两种情况： ①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，如图2所示： ， 由（1）可知：，，，，， ， 由的面积公式得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ，， ， ， ， ， ， ； ②当时，过点B作于点H，如图3所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， 由①可知：， 综上所述：的长为或 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点 三、解答题（本大题共有8小题，共72分．第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分） 17. （）计算： （）已知线段是线段的比例中项线段，若，，求线段的长． 【答案】 （） （）线段的长为 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、比例中项等知识，熟练掌握特殊角三角函数值和比例中项的定义是解题关键． ()本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案即可； ()先根据比例中项的定义可得，从而可求出的值，再根据平方根的性质和求解即可得． 【详解】（）解： ． （）∵线段是线段的比例中项线段， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴线段的长为． 18. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从A测温通道通过的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 【答案】(1) ;(2) ． 【解析】 【分析】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是． (2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可． 【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是， 故答案为：． (2)由题意画出树状图： 由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=． 【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率． 19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）图2网格中，在线段上找到点Q，使（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，点Q即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点D，E，连接，，，根据网格的特点和相似三角形的判定定理可知，相似比为，所以即为所求； （2）取格点M，N，连接，，连接交于点Q，根据网格的特点和相似三角形的判定定理可知，则，即，所以点Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求函数表达式． （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，是边上的一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）根据“两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， ． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． （）连接，根据等腰三角形的三线合一即可解决问题； （）只要证明，可得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 已知抛物线 （1）抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． （2）若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【小问1详解】 解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 【初步探究】 （1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点， ①求证：； ②若，求的值． 【拓展提升】 （2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长． 【答案】 （1）①证明：在等腰中，， ∴， ，， ， 又， ； ②； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键． （1）①根据，，可得，再根据已知，即可证明； ②由，可设，，，由勾股定理可得，设，由可得比例式，即，解得，故； （2）由已知可得，作于点F，如图2，设，，，，导角证明，即，故得，即，解得（不合题意，舍去），故得的长． 【详解】（1）①略 ②解：， 故设，，， 由勾股定理可得， 设，由， ∴， ∴， 即，解得， 故； （2）解：为等腰，， ， ， ， 又， ， 作于点F，如图2所示， 设， ， ，，， ， ，即， 整理可得， 解得或（不合题意，舍去）， 故的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $