【温故知新】专题08 数学广角——数与形（知识精讲+易错指引+真题拔高）-2025-2026学年六年级数学寒假学习精讲练人教版

【温故知新】2025-2026学年六年级数学寒假学习精讲练人教版 专题08 数学广角——数与形 （知识精讲+易错指引+真题拔高） 知识精讲 知识点一、数与形结合的意义 1. 核心思想 通过图形直观表达数量关系，或用数量关系解释图形规律，实现“以形助数、以数解形”，帮助理解抽象概念和复杂问题。 2. 作用 (1)简化抽象问题：将代数规律转化为图形（如用点阵表示数列规律）。 (2)验证数学猜想：通过图形直观验证公式（如完全平方公式的几何推导）。 (3)解决复杂计算：利用图形特征简化计算（如分数求和、等差数列求和）。 知识点二、数与形结合的典型应用 1. 图形中的数字规律 (1)从图形中找数列规律 示例1：正方形数（平方数规律） 图形：第n个正方形由n行n列的点组成（如下图）。 ....... 数字规律：第n个图形的点数为： （数列：1, 4, 9, 16, ...）。 推导：从1开始的n个连续奇数之和等于，即：。 示例2：三角形数（等差数列规律） 图形：第n个三角形由n层点组成（点数依次为1, 3, 6, 10, ...）。 n=1：•（1点） n=2： • （3点） • • n=3： • （6点） • • • • • 数字规律：第n个图形的点数为：（前n个正整数之和）。 (2)从图形变化中找规律 示例：点阵递增规律 图形：第1个图1点，第2个图1+4=5点，第3个图5+8=13点，第4个图13+12=25点... 规律分析：每次增加的点数为4, 8, 12,...（公差为4的等差数列），第n个图的点数为： 。 2. 用图形解决计算问题 (1)分数加法的数形结合 示例：计算 图形表示：用一个正方形依次分割出 、 、 、 ，剩余部分为 。 结论：总和 = 。 推广： （无限项之和趋近于1）。 （2）等差数列求和的图形验证 示例：计算 图形推导：用梯形面积公式（上底1，下底n，高n），面积，即求和公式。 3. 数形结合解决实际问题 示例：鸡兔同笼问题 图形法：用长方形的长表示头数，宽表示脚数，通过分割图形直观求解（替代传统假设法）。 易错指引 1. 图形规律与数字规律不对应 错例：认为“第n个三角形数是 ”（混淆三角形数与正方形数）。 纠正：三角形数公式为 （呈三角形排列），正方形数为 （呈正方形排列），需通过图形特征区分。 2. 忽略规律的起始项 错例：观察数列1, 4, 9, 16...，认为第n项是，但若图形从0开始（第0个图1点），则公式错误。 纠正：明确规律的起始项（如“第1个图对应n=1”），避免因起点混淆导致公式错误。 3. 复杂图形中规律提取不全 错例：计算 时，仅观察前3项认为和为 ，忽略“无限项”特性。 纠正：通过图形（如正方形剩余部分趋近于0）理解极限思想，无限项之和为1。 4. 图形转化为数字时漏算或多算 错例：数点阵中点的个数时，漏算边界或重复计数（如正方形点阵边缘点数）。 纠正：分层计数，如n×n点阵总点数，边界点数 （避免角落重复）。 5. 数形结合思想应用僵化 错例：仅用代数方法解“蜗牛爬井”问题（白天爬3米，晚上滑2米），未通过线段图分析周期规律。 纠正：画线段图标记每天位置，发现最后一天爬出后不再下滑，简化计算：总天数 。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·河北邢台·期末）观察下面的图形，按规律排列，第⑤个图形有( )个小正方形，第n个图形有( )个小正方形。 【答案】 25 n2 【分析】观察图形可知，第①个、②个、③个图形分别有1个、4个、9个正方形，发现：1＝12，4＝22，9＝32，由此得出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第①个图形有1个正方形，1＝12； 第②个图形有4个正方形，4＝22； 第③个图形有9个正方形，9＝32； …… 第n个图形有n2个正方形。 当n＝5时，n2＝52＝25（个） 填空如下： 按规律摆，第⑤个图形有（25）个小正方形，第n个图形有（n2）个小正方形。 2．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）下面图形都是用相同的火柴棒拼成的。照这样拼下去，第5个图形需要用( )根火柴棒，第n个图形需要( )根火柴棒。 【答案】 16 3n＋1/1＋3n 【分析】观察图形可知，第1个、第2个、第3个、第4个图形分别需要4根、7根、10根、13根火柴棒；发现：每增加一个正方形，火柴棒就增加3根，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图形需要用4根火柴棒，4＝1×3＋1； 第2个图形需要用7根火柴棒，7＝2×3＋1； 第3个图形需要用10根火柴棒，10＝3×3＋1； 第4个图形需要用13根火柴棒，13＝4×3＋1； …… 规律：第n个图形需要用（3n＋1）根火柴棒。 当n＝5时 3n＋1 ＝3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 照这样拼下去，第5个图形需要用（16）根火柴棒，第n个图形需要（3n＋1）根火柴棒。 3．（24-25六年级上·重庆云阳·期末）在，，，，，，，，，，，，……中，第27个分数是( )。 【答案】 【分析】观察数列，分母是1、3、5、7、9等奇数，且分母是1的分数有1个，分母是3的分数有3个，分母是5的分数有5个，分母是7的分数有7个，……；每个分母n（奇数）对应的分数有n个，分子从1到n。 计算累计分数的个数 分母是1：1个分数，累计1个； 分母是3：3个分数，累计1＋3＝4（个）； 分母是5：5个分数，累计4＋5＝9（个）； 分母是7：7个分数，累计9＋7＝16（个）； 分母是9：9个分数，累计16＋9＝25（个）； 分母是11：11个分数，累计25＋11＝36（个）； 所以第27个分数在分母11的组内，位置是27－25＝2，所以第27个分数是。 【详解】在，，，，，，，，，，，，……中，第27个分数是。 4．（24-25六年级上·河南信阳·期末）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第8个图案需要( )枚黑色棋子。 【答案】26 【分析】看图可知，第1个图案需要5枚黑色棋子，5＝5＋3×（1－1）；第2个图案需要8枚黑色棋子，8＝5＋3×（2－1）；第3个图案需要11枚黑色棋子，11＝5＋3×（3－1）……由此可知，黑色棋子的数量＝5＋3×（第几个图案就用几－1）。 【详解】5＋3×（8－1） ＝5＋3×7 ＝5＋21 ＝26（枚） 第8个图案需要26枚黑色棋子。 5．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）如下图，拼一个正六边形要6根小棒，拼两个正六边形需要11根小棒，照这样拼搭下去，拼八个这样的正六边形一共需要( )根小棒。 【答案】41 【分析】根据图示发现：摆1个六边形需要小棒6根；摆2个六边形需要小棒（6＋5）根；摆3个六边形需要小棒（6＋5＋5）根；……；摆n个六边形需要小棒的根数是6＋5（n－1），求拼八个这样的正六边形需要多少个小棒，把n＝8代入计算即可；据此解答。 【详解】当n＝8时， 6＋5（n－1） ＝6＋5×（8－1） ＝6＋5×7 ＝6＋35 ＝41（根） 如图，拼一个正六边形要6根小棒，拼两个正六边形需要11根小棒，照这样拼搭下去，拼八个这样的正六边形一共需要41根小棒。 【点睛】找到下一个图形与前一个图形的联系是解题的关键，比如本题中，下一个图形总比前一个图形多5根小棒。 6．（25-26六年级上·广东江门·期中）如下图，图中的数字是按一定规律排列下去的，按照规律，第100行左起第三个数是 。 【答案】4950 【分析】每行首尾数字都是1； 第n行左起第3个数，等于的和； 求第100行左起第3个数，需计算的和。 第n行左起第3个数 【详解】 【点睛】这道题的核心是抓“第n行左起第3个数”的求和规律，推出对应的通项公式，代入即可快速得出结果。 7．（24-25六年级上·重庆綦江·期末）找规律填数。 (1)，，，，( )。 (2)，，，，( )。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分子依次为1，3，5，7，是连续的奇数，后一个数比前一个数大2，所以下一个分子为7＋2＝9；分母依次为4，9，16，25，分别是2×2，3×3，4×4，5×5，所以下一个分母为6×6＝36。 （2）分子均为1，保持不变；分母依次为2，6，12，20，可分解为1×2，2×3，3×4，4×5，下一个数的分母为5×6＝30。据此解答。 【详解】（1），，，，。 （2），，，，。 8．（24-25六年级上·江苏南京·期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭……”，分别连接对边中点如图②，得到5个正方形，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形……，继续操作下去，将表填写完整。 图形 ① ② ③ … ⑥ n 正方形个数 1 5 9 … 【答案】21；4n−3 【分析】先通过观察图形，第一个图形有1个正方形，第二个图形有5个正方形，……，发现后一个图形比前一个图形多4个正方形，其规律为第个图形正方形个数为，再代入当时，计算公式的值；最后推导出第个图形正方形个数的表达式即可。 【详解】观察图形，发现第一个图形有1个正方形，正方形个数表示为：， 第二个图形有5个正方形，正方形个数表示为：， 第三个图形有9个正方形，正方形个数表示为：， 根据上规律，第个图形正方形个数为：。 当时，正方形个数为： （个） 第个图形正方形个数为： 9．（24-25六年级上·河南安阳·期末）如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 【答案】 26 10 【分析】先观察不同数量桌子对应坐人的情况，1张桌子，数图中座位，可坐6人；2张桌子连在一起，数图中座位，可坐10人；3张桌子，数图中座位，可坐14人，观察座位数，每增加一个桌子：10－6＝4（人），14－10＝4（人）增加4人的座位，那么桌子两端的2人是固定的，1张桌子新增4人也就是4×1人，2张桌子连一起新增8人也就是4×2人，那么n张桌子连一起新增4×n人，n张桌子连一起总人数是（2＋4×n）人。 【详解】2＋4×6 ＝2＋24 ＝26（人） 因此，照这样6张桌子连在一起可以坐26人。 （42－2）÷4 ＝40÷4 ＝10（张） 因此，最少需要10张桌子连在一起。 10．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形。 【答案】 10 15 36 45 【分析】先观察前3个图形中黑、白三角形的数量，总结规律： 黑色三角形：第1个图形1个（1），第2个3个（1＋2），第3个6个（1＋2＋3），可推出第n个图形的黑色三角形数量是前n个自然数的和，公式为； 白色三角形：第1个图形3个（1＋2），第2个6个（1＋2＋3），第3个10个（1＋2＋3＋4），可推出第n个图形的白色三角形数量是前n＋1个自然数的和，公式为。再代入n＝4和n＝8，计算对应数量。 【详解】第4个图形： 黑色三角形： 白色三角形： ＝15 第8个图形： 黑色三角形： ＝36 白色三角形： 故第4个图形有10个黑色三角形和15个白色三角形，第8个图形有36个黑色三角形和45个白色三角形。 二、判断题 11．（24-25六年级上·河北唐山·期末）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。( ) 【答案】√ 【分析】算式“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”共有8个连续奇数相加，根据“从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方”，据此判断。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。 原等式正确。 故答案为：√ 12．（22-23六年级上·四川乐山·期末）。( ) 【答案】× 【分析】因为＝－；＝－；＝－；＝－；把原式中每个加数化成两个数的差，再加起来，加减抵消，进行简算即可。 【详解】 故答案为：× 【点睛】考查了分数的拆项公式的运用。 13．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 【答案】√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【详解】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 14．（23-24六年级上·河南周口·期末）找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 【答案】√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【详解】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 15．（22-23六年级上·河北廊坊·期末）按图形的规律接着画，第6个正方形中画25个点。( ) …… 【答案】× 【分析】第1个图形有1个点，第2个图形有（1＋4）个点，第3个图形有（1＋4×2）个点，第4个图形有（1＋4×3）个点……以此类推，每次增加4个点，那么第n个图形有[1＋4×（n－1）]个点，最后求出n＝6时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】第n个图形需要点的个数为：1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－4＋1 ＝4n－（4－1） ＝（4n－3）个 当n＝6时。 4n－3 ＝4×6－3 ＝24－3 ＝21（个） 所以，第6个正方形中画21个点。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出图形和点的个数的变化规律是解答题目的关键。 三、选择题 16．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1得数相同的算式是（    ）。 A．52＋32 B．42 C．52－32 D．5－3 【答案】A 【分析】根据“从1开始的n个连续奇数相加和为n2”的规律，将原式拆分为（1＋3＋5＋7＋9）与（5＋3＋1）两部分，分别利用规律算出第一部分是5个连续奇数和为52＝25、第二部分是3个连续奇数和为32＝9，接着把两部分结果相加得到25＋9＝34，最后计算每个选项的结果，对比发现只有选项A的52＋32等于34，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 A．52＋32＝25＋9＝34，34＝34，符合； B．42＝16，16≠34，排除； C．52－32＝25－9＝16，16≠34，排除； D．5－3＝2，2≠34，排除。 故答案为：A 17．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为1cm，第5个图形的周长是（    ）cm。 A．7 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】看图可知，第一个图形的周长是3，3＝1×（1＋2）；第二个图形的周长是4，4＝1×（2＋2）；第三个图形的周长＝5，5＝1×（3＋2）…由此可知，当有n个三角形时，图形周长＝边长×（n＋2） 【详解】1×（5＋2） ＝1×7 ＝7（cm） 第5个图形的周长是7cm。 故答案为：A 18．（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（    ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 【答案】B 【分析】看图第1个图形用了（1×4）根小棒，第2个图形用了（2×6）根小棒，第3个图形用了（3×8）根小棒。其中，第几个图形第1个因数就是几。第2个因数分别是4、6、8……每次加2，那么第8个图形加了7次2，即第8个图形的第2个因数是（4＋2×7）。据此解题。 【详解】8×（4＋2×7） ＝8×（4＋14） ＝8×18 ＝144（根） 所以，第8个图形中一共用了144根小棒。 故答案为：B 19．（23-24六年级上·四川乐山·期末）下面各图是由棱长1dm的小正方体拼成的，根据前4个图形表面积的排列规律，第6个图形的表面积是（    ）dm2。 A．26 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【分析】观察图可得规律：第n个图形就有n个小正方体拼成，先求出n个小正方体的表面积总和，然后n个小正方体排成一行，则会减少（n－1）×2个面，用减法求出组合图形的表面积。 【详解】第6个图形由6个小正方体拼成，表面积是： 1×1×6×6－1×1×5×2 ＝36－10 ＝26（dm2） 故答案为：A 20．（23-24六年级上·福建莆田·期末）如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（    ）根小棒。 A．8 B．102 C．98 D．302 【答案】D 【分析】观察可知，第1幅图用了8根小棒，8＝1×6＋2；第2幅图用了14根小棒，14＝2×6＋2；第3幅图用了20根小棒，20＝3×6＋2，由此可知，小棒根数＝第几幅图就用几×6＋2，据此分析。 【详解】50×6＋2 ＝300＋2 ＝302（根） 第50幅图用了302根小棒。 故答案为：D 四、解答题 21．（22-23六年级上·云南昆明·期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 【答案】28个 【分析】第1个图有：1个； 第2个图有：3个，3＝1＋2； 第3个图有：6个，6＝1＋2＋3； 第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4； …… 规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 据此规律解答。 【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 当n＝7时 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋7）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 答：第七个图有28个。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 22．（24-25六年级上·四川乐山·期末）观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【分析】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【详解】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 23．（2025·河南焦作·小升初真题）如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 【答案】（1）62－52＝6＋5 （2）2n－1 （3）55 【分析】（1）观察前面的等式：第一幅图：22－12＝2＋1，是（1＋1）2－12＝（1＋1）＋1；第二幅图：32－22＝3＋2，是（2＋1）2－22＝（2＋1）＋2；第三幅图：42－32＝4＋3，是（3＋1）2－32＝（3＋1）＋3。则第四幅图：52－42＝5＋4。 由此可总结规律：第n幅图的等式为（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n。那么第五幅图，n＝5，对应的等式为62－52＝6＋5。 （2）根据前面的规律，（n）2－（n－1）2＝n＋（n－1），即2n－1。 （3）根据前面发现的规律a2－b2＝a＋b（其中a＝b＋1），对原式进行拆分计算：原式变为：（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1），然后计算即可。 【详解】 （1）由分析可知：第n幅图：（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n n＝5时： （5＋1）2－52 ＝62－52 ＝6＋5 第五幅图的等式是：62－52＝6＋5。 （2）（n）2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 所以n2－（n－1）2＝2n－1 （3）102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1） ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝（19＋3）＋（15＋7）＋11 ＝22＋22＋11 ＝55 所以102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝55。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温故知新】2025-2026学年六年级数学寒假学习精讲练人教版 专题08 数学广角——数与形 （知识精讲+易错指引+真题拔高） 知识精讲 知识点一、数与形结合的意义 1. 核心思想 通过图形直观表达数量关系，或用数量关系解释图形规律，实现“以形助数、以数解形”，帮助理解抽象概念和复杂问题。 2. 作用 (1)简化抽象问题：将代数规律转化为图形（如用点阵表示数列规律）。 (2)验证数学猜想：通过图形直观验证公式（如完全平方公式的几何推导）。 (3)解决复杂计算：利用图形特征简化计算（如分数求和、等差数列求和）。 知识点二、数与形结合的典型应用 1. 图形中的数字规律 (1)从图形中找数列规律 示例1：正方形数（平方数规律） 图形：第n个正方形由n行n列的点组成（如下图）。 ....... 数字规律：第n个图形的点数为： （数列：1, 4, 9, 16, ...）。 推导：从1开始的n个连续奇数之和等于，即：。 示例2：三角形数（等差数列规律） 图形：第n个三角形由n层点组成（点数依次为1, 3, 6, 10, ...）。 n=1：•（1点） n=2： • （3点） • • n=3： • （6点） • • • • • 数字规律：第n个图形的点数为：（前n个正整数之和）。 (2)从图形变化中找规律 示例：点阵递增规律 图形：第1个图1点，第2个图1+4=5点，第3个图5+8=13点，第4个图13+12=25点... 规律分析：每次增加的点数为4, 8, 12,...（公差为4的等差数列），第n个图的点数为： 。 2. 用图形解决计算问题 (1)分数加法的数形结合 示例：计算 图形表示：用一个正方形依次分割出 、 、 、 ，剩余部分为 。 结论：总和 = 。 推广： （无限项之和趋近于1）。 （2）等差数列求和的图形验证 示例：计算 图形推导：用梯形面积公式（上底1，下底n，高n），面积，即求和公式。 3. 数形结合解决实际问题 示例：鸡兔同笼问题 图形法：用长方形的长表示头数，宽表示脚数，通过分割图形直观求解（替代传统假设法）。 易错指引 1. 图形规律与数字规律不对应 错例：认为“第n个三角形数是 ”（混淆三角形数与正方形数）。 纠正：三角形数公式为 （呈三角形排列），正方形数为 （呈正方形排列），需通过图形特征区分。 2. 忽略规律的起始项 错例：观察数列1, 4, 9, 16...，认为第n项是，但若图形从0开始（第0个图1点），则公式错误。 纠正：明确规律的起始项（如“第1个图对应n=1”），避免因起点混淆导致公式错误。 3. 复杂图形中规律提取不全 错例：计算 时，仅观察前3项认为和为 ，忽略“无限项”特性。 纠正：通过图形（如正方形剩余部分趋近于0）理解极限思想，无限项之和为1。 4. 图形转化为数字时漏算或多算 错例：数点阵中点的个数时，漏算边界或重复计数（如正方形点阵边缘点数）。 纠正：分层计数，如n×n点阵总点数，边界点数 （避免角落重复）。 5. 数形结合思想应用僵化 错例：仅用代数方法解“蜗牛爬井”问题（白天爬3米，晚上滑2米），未通过线段图分析周期规律。 纠正：画线段图标记每天位置，发现最后一天爬出后不再下滑，简化计算：总天数 。 真题拔高 一、填空题 1．（24-25六年级上·河北邢台·期末）观察下面的图形，按规律排列，第⑤个图形有( )个小正方形，第n个图形有( )个小正方形。 2．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）下面图形都是用相同的火柴棒拼成的。照这样拼下去，第5个图形需要用( )根火柴棒，第n个图形需要( )根火柴棒。 3．（24-25六年级上·重庆云阳·期末）在，，，，，，，，，，，，……中，第27个分数是( )。 4．（24-25六年级上·河南信阳·期末）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第8个图案需要( )枚黑色棋子。 5．（25-26六年级上·湖南邵阳·月考）如下图，拼一个正六边形要6根小棒，拼两个正六边形需要11根小棒，照这样拼搭下去，拼八个这样的正六边形一共需要( )根小棒。 6．（25-26六年级上·广东江门·期中）如下图，图中的数字是按一定规律排列下去的，按照规律，第100行左起第三个数是 。 7．（24-25六年级上·重庆綦江·期末）找规律填数。 (1)，，，，( )。 (2)，，，，( )。 8．（24-25六年级上·江苏南京·期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭……”，分别连接对边中点如图②，得到5个正方形，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形……，继续操作下去，将表填写完整。 图形 ① ② ③ … ⑥ n 正方形个数 1 5 9 … 9．（24-25六年级上·河南安阳·期末）如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 10．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）下图是用大小相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形，按照图中铺瓷砖的规律一直铺下去。第4个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形，第8个图形有( )个黑色三角形和( )白色三角形。 二、判断题 11．（24-25六年级上·河北唐山·期末）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。( ) 12．（22-23六年级上·四川乐山·期末）。( ) 13．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 14．（23-24六年级上·河南周口·期末）找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 15．（22-23六年级上·河北廊坊·期末）按图形的规律接着画，第6个正方形中画25个点。( ) …… 三、选择题 16．（24-25六年级上·四川遂宁·期末）与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1得数相同的算式是（    ）。 A．52＋32 B．42 C．52－32 D．5－3 17．（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为1cm，第5个图形的周长是（    ）cm。 A．7 B．11 C．12 D．15 18．（24-25六年级上·河南开封·期末）如图，每个小正方形都是由4根同样长的小棒摆成的。那么第8个图形中一共用了（    ）根小棒。 A．324 B．144 C．160 D．128 19．（23-24六年级上·四川乐山·期末）下面各图是由棱长1dm的小正方体拼成的，根据前4个图形表面积的排列规律，第6个图形的表面积是（    ）dm2。 A．26 B．28 C．32 D．36 20．（23-24六年级上·福建莆田·期末）如图，芳芳用小棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，第50幅图用了（    ）根小棒。 A．8 B．102 C．98 D．302 四、解答题 21．（22-23六年级上·云南昆明·期末）按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 22．（24-25六年级上·四川乐山·期末）观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 23．（2025·河南焦作·小升初真题）如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $