专题12：数学广角——数与形（专项训练）六年级数学寒假专项提升（人教版）

2025-2026学年六年级数学上册寒假专项提升（人教版） 专题12：数学广角——数与形 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 常见图形变化规律 1．下列图形都是由完全一样的小正方形按一定的规律组成的，按此规律，第8个图形中小正方形的个数为（     ）个。 A．44 B．38 C．35 2．如图所示，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。照这样的规律，摆15个三角形需要（     ）。 …… A．29根小棒 B．31根小棒 C．33根小棒 3．在100，95，90，85，80，…，20，15，10，5这一列数中，第12个数是（     ）。 A．45 B．60 C．65 4．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（     ）个点。    A．29 B．31 C．33 5．算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（     ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 6．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：    按照上面的规律，n张桌子能坐（     ）人。 A． B． C． 7．根据下面图形的规律，第11个图中有（     ）个。 A．33 B．36 C．39 8．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（     ）根小棒。 A．45 B．51 C．60 9．摆一个正方形需要4根小棒，每增加1个正方形增加3根小棒。 摆n个正方形需要（ ）根小棒。当n＝21时，需要（ ）根小棒。 10．如果1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，那么，（ ）＝52。 11．（ ）。 12．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。 13．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要（ ）个黑色正方形，摆第n个图形需要（ ）个白正方形。 14．如图是由1cm2的小正方形组成的一些正方形，观察前4个的变化规律，并找出其中面积是4cm2的正方形的个数，猜想第5、第9个正方形里面包含的面积是4cm2的正方形的个数。    （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 15．按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 16．用小棒按照如下方式摆图形。 摆第9个图形需要（ ）根小棒，摆第n个图形需要（ ）根小棒。 17．观察下面的点子图，第9个方框里有（ ）个点，第18个方框里有（ ）个点，第n个方框里有（ ）个点。 18．观察下面图形，找出规律。 …… 依照此规律，第10个图形中共有（ ）个★，第（ ）个图形里有97个★。 19．按规律填数。 （1）÷＝－，请再写1个具有这种规律的式子：÷＝－。 （2），，□，，…这一列数中的第三个被遮住了，它的第15个数是（      ）。 20．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）（填得数）。 21．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 22．观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 23．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 24．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 25．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明） 26．按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 27．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（     ） 前3个奇数的和：（     ） 前4个奇数的和：（     ） 前5个奇数的和：（     ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 28．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 （1）按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要（ ）根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（ ）根火柴棒。 （2）如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备（ ）根火柴棒。 （3）准备88根火柴棒最多能摆（ ）条这样的“金鱼”。 29．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 （1）小正方形的个数分别是（ ）、（ ）、（ ）… （2）大正方形的周长分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米… （3）根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米；第9个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米。 30．探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（     ）＋（     ） （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（     ）。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上册寒假专项提升（人教版） 专题12：数学广角——数与形 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 常见图形变化规律 1．下列图形都是由完全一样的小正方形按一定的规律组成的，按此规律，第8个图形中小正方形的个数为（     ）个。 A．44 B．38 C．35 【答案】A 【分析】观察图形可知，第一个图形有2个小正方形，第二个图形有2＋3个小正方形，第三个图形有2＋3＋4个小正方形，第四个图形有2＋3＋4＋5个小正方形，以此类推，第八个图形中小正方形的个数为2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9个。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第八个图形中小正方形的个数为： 2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋11 ＝11×4 ＝44（个） 故答案为：A 2．如图所示，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。照这样的规律，摆15个三角形需要（     ）。 …… A．29根小棒 B．31根小棒 C．33根小棒 【答案】B 【分析】能够根据图形发现规律：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒。多一个三角形，则多用2根小棒，则摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒。 【详解】摆15个三角形需要： 2n＋1＝2×15＋1 ＝30＋1 ＝31（根） 则摆15个三角形需要31根。 故答案为：B 3．在100，95，90，85，80，…，20，15，10，5这一列数中，第12个数是（     ）。 A．45 B．60 C．65 【答案】A 【分析】根据数排列的规律：前一个数比后一个数大5，第二个数加5得到100，第三个数加2个5得到100，第12个数加11个5得到100，据此可得出答案。 【详解】第12个数是用100减去11个5，即100－11×5＝45。 故答案为：A 4．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（     ）个点。    A．29 B．31 C．33 【答案】A 【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。 【详解】第⑧个方框里应画的点数为： 4n－3＝4×8－3 ＝32－3 ＝29（个） 则第⑧个方框里应画29个点。 故答案为：A 5．算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（     ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 【答案】C 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＝42，5＋3＋1＝32，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝42＋32 ＝16＋9 ＝25 算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于42＋32。 故答案为：C 6．某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：    按照上面的规律，n张桌子能坐（     ）人。 A． B． C． 【答案】C 【分析】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，推出④可以坐18人，即18＝4×4＋2，⑤可以坐22人，即22＝4×5＋2，⋯⋯；可得出规律：可以坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此可得出答案。 【详解】由图可得：①可以坐6人，即6＝4×1＋2，②可以坐10人，即10＝4×2＋2，③可以坐14人，即14＝4×3＋2，按照规律，n张桌子能坐的人数为：。 故答案为：C 7．根据下面图形的规律，第11个图中有（     ）个。 A．33 B．36 C．39 【答案】B 【分析】根据题意，图形1，有6个，可以写成：3×1＋3； 图形2，有9个，可以写成：3×2＋3； 图形3，有12个，可以写成：3×3＋3； … 图形n，有（3n＋3）个，由此可知，当n＝11时 ，即可求出的个数。 【详解】根据分析可知，图形n，有（3n＋3）个。 当n＝11时： 3×11＋3 ＝33＋3 ＝36（个） 所以第11个图中有36个。 故答案为：B 8．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒……，第10个图形有（     ）根小棒。 A．45 B．51 C．60 【答案】B 【分析】观察图形可知，如果以最左边的1根小棒为基础，第1个图形有6根小棒，6＝1＋5；第2个图形有11根小棒，11＝1＋5×2；第3个图形有16根小棒，16＝1＋5×3。由此可知：小棒的根数＝1＋5×图形的序数，据此求出第10个图形有多少根小棒。 【详解】通过分析可得：小棒的根数＝1＋5×图形的序数 1＋5×10 ＝1＋50 ＝51（根） 则第10个图形有51根小棒。 故答案为：B 9．摆一个正方形需要4根小棒，每增加1个正方形增加3根小棒。 摆n个正方形需要（ ）根小棒。当n＝21时，需要（ ）根小棒。 【答案】 3n＋1 64 【分析】通过题意和观察图形可知，第一个正方形由4根小棒摆成，以后加3根就可加一个正方形，摆第两个要3×2＋1＝6＋1＝7根，摆第三个要3×3＋1＝9＋1＝10根，摆第四个要3×4＋1＝13根，以此类推，得出规律连着摆n个这样的正方形需3n＋1根小棒，进一步代入n＝21求得答案即可。 【详解】3×21＋1 ＝63＋1 ＝64（根） 摆n个正方形需要3n＋1根小棒。当n＝21时，需要64根小棒。 10．如果1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72，那么，（ ）＝52。 【答案】1＋3＋5＋7＋9 【分析】根据对题中算式的观察可知，每个算式都是由奇数个奇数相加，而得数是算式中最中间的奇数的平方，同时得数也是个数的平方，据此分析。 【详解】根据分析，52算式最中间的数字是5，也是由5个奇数构成，所以算式为：1＋3＋5＋7＋9＝52。 11．（ ）。 【答案】1 【分析】通过画图发现：把整个图形看作单位“1”，先平均分成2份，取其中的1份，即；再把剩下的图形平均分成2份，取其中的1份，即……以此类推，发现加数越多，涂色部分即它们的和就越来越接近1。 【详解】 12．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。 【答案】458 【分析】观察可得，右上角的数＝左上角的数＋4，左下角的数＝左上角的数＋2，左下角的数×右上角的数＋左上角的数＝右下角的数，据此先确定最后一个正方形左下角和右上角的数，再求出m的值。 【详解】18＋4＝22 18＋2＝20 20×22＋18 ＝440＋18 ＝458 则m的值是458。 13．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要（ ）个黑色正方形，摆第n个图形需要（ ）个白正方形。 【答案】 19 （3n＋2）/（2＋3n） 【分析】如图，红色框内有3个黑正方形和3个白正方形，那么每个图形都可以看作由n个这样的红框再加上1个黑正方形2个白正方形组成，据此解答。 【详解】图1：黑正方形个数是3×1＋1，白正方形个数是3×1＋2； 图2：黑正方形个数是3×2＋1，白正方形个数是3×2＋2； 图3：黑正方形个数是3×3＋1，白正方形个数是3×3＋2； …… 图n：黑正方形个数是3n＋1，白正方形个数是3n＋2。 第6个图的黑正方形： 3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 第n个图的白正方形：（3n＋2）个 因此，摆第6个图形需要19个黑正方形。摆第n个图形需要（3n＋2）个白正方形。 14．如图是由1cm2的小正方形组成的一些正方形，观察前4个的变化规律，并找出其中面积是4cm2的正方形的个数，猜想第5、第9个正方形里面包含的面积是4cm2的正方形的个数。    （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 （ ）个 【答案】 1 4 9 16 25 81 【分析】每一个小正方形是1平方厘米，所以4平方厘米的正方形就是有4个小正方形组成的正方形。（1）观察可知有1个；（2）有2×2＝4（个）；（3）有3×3＝9（个）；（4）有4×4＝16（个）；由此可以找出规律为第几个正方形就是几乘几。则第5个正方形里有5×5＝25（个）第9个正方形里面有9×9＝81（个），据此解答即可。 【详解】分析解答如下：    15．按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 【答案】 36 91 【分析】观察图形，第一幅图有1个阴影三角形，第二幅图有3个阴影三角形，3＝2＋1，第三幅图有6个阴影三角形，6＝3＋2＋1，阴影三角形的个数＝第几个图形就从几开始依次加到1； 第一幅图没有空白三角形，第二幅图有1个空白三角形，1＝（1－1）＋1，第三幅图有3个空白三角形，3＝2＋1，第4幅图有6个空白三角形，6＝3＋2＋1，空白三角形的个数＝第几个图形就从几减1开始依次加到0。 【详解】8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个） 14－1＝13 13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝91（个） 第8个图形中有36个阴影三角形，第14个图形中有91个空白三角形。 16．用小棒按照如下方式摆图形。 摆第9个图形需要（ ）根小棒，摆第n个图形需要（ ）根小棒。 【答案】 64 7n＋1 【分析】通过观察图形，得出规律： 摆1个八边形需要（1＋7）根小棒， 摆2个八边形需要（1＋7×2）根小棒， 摆3个八边形需要（1＋7×3）根小棒， 摆4个八边形需要（1＋7×4）根小棒， …… 摆n个八边形需要（1＋7×n）根小棒。据此解答。 【详解】由分析可得： 1＋7×9＝1＋63＝64（根） 即摆第9个图形需要64根小棒。 1＋7×n＝（1＋7n）根 即摆第n个图形需要（1＋7n）根小棒。 17．观察下面的点子图，第9个方框里有（ ）个点，第18个方框里有（ ）个点，第n个方框里有（ ）个点。 【答案】 33 69 4n－3 【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是1＋4×（n－1）＝（4n－3）个点，据此即可解答。 【详解】第9个方框里黑点的个数为： 4n－3＝4×9－3 ＝36－3 ＝33（个） 第18个方框里黑点的个数为： 4n－3＝4×18－3 ＝72－3 ＝69（个） 1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝（4n－3）个 则第9个方框里有33个点，第18个方框里有69个点，第n个方框里有（4n－3）个点。 18．观察下面图形，找出规律。 …… 依照此规律，第10个图形中共有（ ）个★，第（ ）个图形里有97个★。 【答案】 31 32 【分析】观察图形可知： 第1个图形有4个★，4＝3×1＋1； 第2个图形有7个★，7＝3×2＋1； 第3个图形有10个★，10＝3×3＋1； 第4个图形有13个★，13＝3×4＋1； …… 规律：第n个图形有（3n＋1）个★，按此规律解答。 【详解】规律：第n个图形有（3n＋1）个★。 当n＝10时 3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 3n＋1＝97 解：3n＝97－1 3n＝96 n＝96÷3 n＝32 依照此规律，第10个图形中共有31个★，第32个图形里有97个★。 19．按规律填数。 （1）÷＝－，请再写1个具有这种规律的式子：÷＝－。 （2），，□，，…这一列数中的第三个被遮住了，它的第15个数是（      ）。 【答案】（1） （2） 【分析】（1）观察这个算式，两个分数相除的商等于这两个分数相减的差。并且左边被除数的分子除以除数的分子的商等于右边被减数的分子减减数的分子的差除以分母的商，而且被除数的分子除以除数的分子的商比分母大1，据此分析。 （2）将每个假分数的分数部分通分可发现规律，整数部分为1、3、5、7…，分数部分分子为1、2、3、4…，据此确定第15个数。 【详解】（1）（答案不唯一） （2）、、、、… 按照规律，它的第15个数是，化简得。 20．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）（填得数）。 【答案】85 【分析】利用加法交换结合律，转化成（1＋11）＋（3＋9）＋（5＋7）＋（11＋1）＋（9＋3）＋（7＋5）＋13，小括号里的和都是12，共6个12，先求出6个12的和，再加上13即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋11）＋（3＋9）＋（5＋7）＋（11＋1）＋（9＋3）＋（7＋5）＋13 ＝12＋12＋12＋12＋12＋12＋13 ＝12×6＋13 ＝72＋13 ＝85 21．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 【答案】31 【分析】由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 22．观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【答案】见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 23．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 【答案】（1）13根 （2）（）根，过程见详解 【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3＋2根小棒，第三个图形需3＋2×2根小棒；第四个图形需3＋2×3根小棒……，（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。 【详解】（1）3＋2×5 ＝3＋10 ＝13（根） 答：第6个图形需要13根小棒。     （2）3＋2×（n－1） ＝3＋2n－2 ＝2n＋（3－2） ＝2n＋1 答：摆第n个图形需要2n＋1根小棒。 24．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 【答案】48个 【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）； 第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）； 第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）； …… 第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2； 【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11， 132－112 ＝169－121 ＝48（个） 答：第6个图形最外圈有48个小正方形。 25．一种细胞在培养过程中，每30分钟要分裂一次（1个母细胞一分为二成2个子细胞）。这种细胞如果要由1个分裂成8个，需要多少分钟？（请用画图的方法解释说明） 【答案】90分钟 【分析】一个细胞经过30分钟分裂成2个细胞，2个细胞经过30分钟分裂成4个细胞，4个细胞经过30分钟分裂成8个细胞，据此解答。 【详解】画图如下。 30×3＝90（分钟） 答：需要90分钟。 26．按照下面的规律接着画下去，第七个图有多少个？请你写出思考过程。 【答案】28个 【分析】第1个图有：1个； 第2个图有：3个，3＝1＋2； 第3个图有：6个，6＝1＋2＋3； 第4个图有：10个，10＝1＋2＋3＋4； …… 规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 据此规律解答。 【详解】规律：第n个图有（1＋2＋3＋…＋n）个。 当n＝7时 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋7）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 答：第七个图有28个。 27．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（     ） 前3个奇数的和：（     ） 前4个奇数的和：（     ） 前5个奇数的和：（     ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 【答案】4；9；16；25 （1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。 （2）前n个奇数的和为n2；7396 【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律； （1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答； （2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。 【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25） （1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。 （2）前n个奇数的和的规律为：n2 当n＝86，86×86＝7396 28．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 （1）按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要（ ）根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（ ）根火柴棒。 （2）如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备（ ）根火柴棒。 （3）准备88根火柴棒最多能摆（ ）条这样的“金鱼”。 【答案】（1） 38 6n＋2 （2）200 （3）14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 29．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 （1）小正方形的个数分别是（ ）、（ ）、（ ）… （2）大正方形的周长分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米… （3）根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米；第9个图形中的小正方形有（ ）个，这个图形的周长是（ ）厘米。 【答案】（1） 1 4 9 （2） 4 8 12 （3） 25 20 81 36 【分析】（1）根据题中图形排列规律： 第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）； 第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）； 第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）； 则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。 （2）通过观察可知： 第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）； 第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； 第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）； 则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。 （3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9… （2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米… （3）由分析（1）（2）可得： 5×5＝25（个） 4×5＝20（厘米） 9×9＝81（个） 4×9＝36（厘米） 即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。 30．探索规律。 （1）观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1 图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3 图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（     ）＋（     ） （2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（     ）。 （3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。 【答案】（1）5；4 （2）72－62＝7＋6 （3）210 【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。 【详解】（1）52－42＝5＋4 （2）72－62＝7＋6（答案不唯一） （3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12 ＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1 ＝（20＋1）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $