精品解析：山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年上学期八年级 数学周测（16）（第七章 证明）

第七章《证明》 一、选择题（3'×8=24'） 1. 下列命题中，属于定义的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 C. 两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角的余角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据课本中的定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 定义是规范概念意义的语句， ∴ A是公理，C是平行线性质定理，D是余角性质定理，B是点到直线的距离的定义． 故选：B． 2. 下列语句中，是命题的是（ ） A. 作线段 B. 能在线段上任取一点吗? C. 作的平分线 D. 两个锐角的和大于直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的定义，解答的关键是理解命题定义：判断一件事情的句子，叫做命题．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据命题定义，命题是能判断真假的陈述句， A为祈使句（指令），不是陈述句，不是命题； B为疑问句，不是陈述句，不是命题； C为祈使句，不是陈述句，不是命题； D为陈述句，且能判断真假，是命题． 故选：D． 3. 下列是真命题的个数有（ ） ①过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线有且只有一条垂线；③不相交的两条直线叫做平行线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线、垂线、点到直线的距离等概念．需根据以上知识逐一分析每个命题的正确性． 【详解】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，需点不在直线上，否则不成立，故①是假命题； ②一条直线有无数条垂线，故②是假命题； ③平行线定义需在同一平面内，故③是假命题； ④点到直线的距离是垂线段的长度，不是线段本身，故④是假命题； ⑤只有两直线平行时，同位角才相等，故⑤是假命题； 综上，真命题个数为0个． 故选：A． 4. 下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是( ). A. a=－2 B. a=－1 C. a=1 D. a=2 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为a=－2时， a2＞1，但a＜1． 故选：A． 5. 如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 105° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出∠FBD的度数以及∠FBC的度数，进而利用平行线的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AN∥FB，EC∥BD， ∴∠NAB=∠FBD=75°， ∵∠CBF=25°， ∴∠CBD=100°， 则∠ECB=180°-100°=80°． 故选：A． 【点睛】本题考查方向角，正确得出平行线，利用平行线的性质是解题关键． 6. 如图，点，分别在线段和上，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得． 【详解】解：A．能判定，不能判定，则此项不符合题意； B．能判定，则此项符合题意； C．不能判定，则此项不符合题意； D．能判定，不能判定，则此项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 7. 如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 35° B. 70° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CDOB， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2=∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°， ∴∠2=55°； ∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°． 故选∶B． 8. 在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图3，测得 C. 如图2，展开后测得且 D. 在图4，展开后测得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 详解】解：A、根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、无法得到，符合题意； C、由题意，，则：，能够得到，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； 故选B． 二、填空题（3'×7=21'） 9. 命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果________________，那么_________________． 【答案】 ①. 两个三角形的两个角及其夹边分别相等 ②. 这两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力．改写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是“两角及其夹边分别相等”，结论是“两个三角形全等”， 因此改写为“如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形的两个角及其夹边分别相等，这两个三角形全等． 10. 如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝_____度； 【答案】270 【解析】 详解】解：过点B作BFAE， ∵CDAE， ∴CDBFAE， ∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°， ∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270． 【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键． 11. 如图，若，则、、之间关系为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论． 【详解】过点E作EF∥AB，如图所示． ∵AB∥CD,EF∥AB， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF. 又∵∠AEF+∠CEF=∠β， ∴∠α+∠β−∠γ=180°. 故答案为∠α+∠β−∠γ=180°. 【点睛】考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 12. 已知和的两边分别平行，比的4倍少30度，则的度数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、解一元一次方程，根据平行线的性质，两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补，再结合与的数量关系列方程求解． 【详解】设的度数为x，则．由于和的两边分别平行，因此或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故度数为或． 故答案为：或． 13. 在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】 垂直 【解析】 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 14. 如图，于点B，于点C，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的是________（填序号）． ①； ②；③；④若CD=DF，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】解：于点B，于点C， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， 平分交于点E， ， ， ， ，故③正确； ，无法得出； 结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题： 15. 已知，如图所示，，是直线，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， （已知）， ___________（___________）， （已知） ， 即______________________， ___________， ∴（___________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由平行线的性质可得，即得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， ， 即， ， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 16. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系，解题的关键在于利用平行线的判定与性质，通过角的和差关系推导出新的平行线，进而证明角相等．如图，根据，可得，再通过角的和差关系得到，从而推导出，最后根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：如图， ， ， ， ， ， 即， ， ． 17. 请你完成命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”的证明． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理以及垂直的定义，解题的关键在于利用垂直的定义找到同位角并证明相等．如图，由已知的两直线垂直于同一直线可得，再根据“同位角相等，两直线平行”可判断这两条直线平行，即证． 【详解】证明：如图，直线，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 18. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行 【解析】 【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解； （3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解． 【详解】解：（1）平行．理由如下： 如图，∵∠3＝∠4， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6， ∴． （2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ∴∠1＝∠2， ∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底， ∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°， ∴∠1＝×48°＝24°， ∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°． （3）存在． AB与CD在EF的两侧时，如图①所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠ACD＝∠BAF， 即120°−3t＝110°−t， 解得t＝5； 此时（180°−60°）÷3＝40， ∴0＜t＜40， ∴t＝5符合题意； ②CD旋转到与AB都在EF右侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即300°−3t＝110°−t， 解得t＝95， 此时（360°−60°）÷3＝100， ∴40＜t＜100， ∴t＝95符合题意； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°， ∠BAC＝t−110°， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即3t−300°＝t−110°， 解得t＝95， 此时t＞110， ∵95＜110， ∴此情况不存在． 综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章《证明》 一、选择题（3'×8=24'） 1. 下列命题中，属于定义的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 C. 两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角余角相等 2. 下列语句中，是命题的是（ ） A. 作线段 B. 能在线段上任取一点吗? C. 作的平分线 D. 两个锐角的和大于直角 3. 下列是真命题的个数有（ ） ①过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线有且只有一条垂线；③不相交的两条直线叫做平行线；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是( ). A. a=－2 B. a=－1 C. a=1 D. a=2 5. 如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（ ） A 80° B. 90° C. 100° D. 105° 6. 如图，点，分别在线段和上，下列条件能判定是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 35° B. 70° C. 110° D. 120° 8. 在如图所示四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图3，测得 C. 如图2，展开后测得且 D. 在图4，展开后测得 二、填空题（3'×7=21'） 9. 命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果________________，那么_________________． 10. 如图，一大门栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝_____度； 11. 如图，若，则、、之间的关系为______. 12. 已知和的两边分别平行，比的4倍少30度，则的度数是_________． 13. 在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 14. 如图，于点B，于点C，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的是________（填序号）． ①； ②；③；④若CD=DF，则． 三、解答题： 15. 已知，如图所示，，是直线，，，．求证：． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， （已知）， ___________（___________）， （已知） ， 即______________________， ___________， ∴（___________）． 16. 已知：如图，，．求证：． 17. 请你完成命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”的证明． 18. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $