山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修二（第四章数列） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 2．在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 3．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 4．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 6．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以，所以，解得. 所以. 故选：C. 7．已知正项等差数列中，，，若，则（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】先根据条件求出和，再写出前项和为， 则解得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得， 解得，或（舍），，设数列的前项和为，则，故，解得. 故选：C． 8．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 10．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出公比及首项，进而求出通项，再逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11．下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 13．已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 14.已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】依题意： , ① 由及题意知： , ①式两端同时取对数得：, ， 所以数列是等比数列，首项是,公比, 即 , 所以数列的通项公式是： 。故答案为：。 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 16（15分）．已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证； （2）由（1）结合等差数列的前项和公式求出，再由二次函数性质即可求解. 【详解】（1）证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得， 因为，所以当时前项和取得最小值为. 17（15分）．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 18（17分）．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 【分析】（1）利用求出即可； （2）利用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； （2）由（1）得，， 故， 故. 19（17分）．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修二（第四章数列） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 3．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 7．已知正项等差数列中，，，若，则（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 8．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 13．已知数列的前项和为，且，则 14.已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 16（15分）．已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； 17（15分）．已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18（17分）．记正项数列的前项和为，已知， (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项的和，求及表达式 19（17分）．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $