期末复习冲刺讲义（压轴篇） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学期末复习讲义通过八大题型系统构建知识体系，涵盖概念辨析、求值运算、图形运动等代数几何核心内容，以题型分类框架梳理重难点，如用对比表格呈现单项式系数次数等易混概念，结合图形运动题强化空间观念，体现知识内在逻辑与核心素养中的抽象能力培养。 讲义亮点在于分层设计与综合应用，如自定义运算“⊕”的新定义问题引导学生用数学思维推理，旋转与面积计算结合的图形运动题发展空间观念与创新意识，基础题巩固知识，压轴题提升能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统支持。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（压轴篇） 题型一：概念辨析 题型二：求值与范围 题型三：平移旋转翻折 题型四：新定义问题 题型五：分式方程的应用题 题型六：乘法公式的应用 题型七：分式综合 题型八：图形运动综合 题型一：概念辨析 1、下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式 C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．直接根据单项式的系数和次数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故A选项符合题意； B、是单项式，但次数为0，故B选项不符合题意； C、单项式次数是1，系数是1，故C选项不符合题意； D、单项式的系数是，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的次数是2 B. 的系数是1 C. 是二次三项式 D. 的一次项是 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了整式和单项式的含义，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，整式中每个单项式是整式的项，最高次项的次数是整式的次数．利用单项式的系数与次数和整式的项与次数的含义进行解答即可． 【详解】解：A． 的次数是3，故选项A说法错误； B． 是整式，故选项B说法错误； C． 是二次三项式，故选项C说法正确； D． 的一次项是，故选项D说法错误． 故选：C． 3. 下列判断中错误是（ ） A. 与是同类项 B. 是三次三项式 C. 单项式的系数是 D. 是分式 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式以及分式的有关概念．根据同类项概念和单项式的系数以及整式的次数的概念，分式的定义，分析判断． 【详解】A. 与是同类项，故该选项正确，不符合题意； B. 是三次三项式，故该选项正确，不符合题意； C. 单项式的系数是，故该选项正确，不符合题意； D. 是整式，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 4. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 的值一定是0 B. 的值一定是1 C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1 【答案】D 【解析】 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 5.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形 D. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可． 【详解】A、只有旋转后重合才是中心对称，故此选项错误； B、对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误； C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它可能是中心对称图形，也可能不是中心对称图形，故错误； D、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故正确； 故选：D． 【点睛】此题考查中心对称图形，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断． 题型二：求值问题 7. 如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 8. 已知，那么代数式的值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】去括号，合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： 原式 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的化简和整体代入法求值；解题的关键是去括号，根据已知构造相同整式． 9. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂、积的乘方，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，结合完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 10. 已知，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用． 11.若分式，则分式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键． 12.若已知分式的值为0，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】根据分式值为零的条件可得：，且，再求负整数指数幂，即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 13. 已知：，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值． 【详解】解： 即： 【点睛】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键． 14.若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 题型三：平移旋转翻折 15. 如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为___________． 【答案】14cm 【解析】 【分析】根据平移的性质得到cm，，再将五边形的五条边相加即可得到周长． 【详解】解：根据题意得：cm，， 三角形的周长为8cm， cm， cm， 五边形的周长cm， 故答案为：14cm． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 16. 如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论． 【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处， ， 向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ，， 阴影部分的周长为， 则， 故答案为：． 17. 如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意分类讨论；当在内部时，得出，当在外部时，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵，， ∴ ∴， 如图所示，当在外部时， ∵，， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为： 或． 18. 如图，在长方形中，，，，如果将长方形绕着点顺时针旋转90°，那么长方形扫过的面积是____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，由图可得进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵旋转角为， ∴， ∴， 则长方形扫过的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质以及扇形的面积计算，将长方形扫过的面积转化为长方形的面积+扇形的面积是解题的关键． 18. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，分类讨论、、，画出对应的图形，理由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图1：当时： 则 ∵ ∴ 如图2：当时： 此时： 如图3：当时：延长交于点 则 ∴ ∴ 综上所述：或或 故答案为：或或 19．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了旋转的性质，分逆时针与顺时针旋转两种情况根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解： ∵在中，，，，， ∴，h表示斜边上的高， ， ， 如图所示： 当点落在线段上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 当点落在直线的延长线上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 题型四：新定义问题 20. 对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，分式加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 21. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，根据新定义运算可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， 当，时， ； 22. 我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的化简求值，根据负整数指数幂的意义，把问题转化为分式的化简求值．解题的关键是理解新定义，掌握分式的运算法则． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键． 【详解】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴， ∴， 故答案为：． 24．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以. 题型五：分式方程的应用题 25. 金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 26. 某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元． （1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案） （2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？ 【答案】（1）360；（2）3元 【解析】 【分析】（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元，然后根据一共花了900元，列出方程求解即可； （2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元，然后根据用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，列出方程求解即可． 详解】解：（1）购买甲种礼品一共用去x元，则购买乙种礼品一共用去（180+x）元， 由题意得：x+180+x=900， 解得：x=360， ∴购买甲种礼品一共用去360元， 故答案为360； （2）设乙种礼品单价是y元，则甲种礼品单价是2y元， 由题意得：， 解得：y＝3， 经检验，y＝3是原方程的根，并符合题意， 答：乙种礼品的单价是3元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解． 27. 甲乙两地间的一条公路全长为千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地.已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度． 【答案】公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时 【解析】 【分析】设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时，根据时间列方程即可得到答案． 【详解】解：设公共汽车的速度为x，则小汽车的速度为，由题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时． 【点睛】本题考查分式方程解决行程问题，解题关键是找到等量关系式． 28. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【答案】（1）甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米 （2）甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可； （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可 【小问1详解】 设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米． 【小问2详解】 设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成， 由题意得：， 解得：， 则（万元）， 答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元； 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 题型六：因式分解与乘法公式的应用 29. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4) 【解析】 【分析】(1)由 从而可得答案； (2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案； (3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可； (4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可． 【详解】解：(1) 故答案为： (2) (3) (4) 的最小值是 【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键． 30．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)7或 (3)80 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． （3）解：∵， 而， ， ∴． ∴． 31．两个边长分别为和的正方形（）如图放置（图，，），若阴影部分的面积分别记为，，． (1)用含，的代数式分别表示，，； (2)若，，求的值； (3)若对于任意的正数、，都有（为常数），求，的值． 【答案】(1)；； (2) (3)， 【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a-b；图2中，两个正方形的面积的和减去两个白色三角形的面积的和；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2． （2）把，，代入（1）中，便可解出，再根据完全平方公式的变形，即可求解； （3）把（1）中的三个等式代入，经过整理，即可求解． （1） 解：图中，阴影的边长都是，所以； 图中，阴影面积； 图中，． （2） 解：当，时， ， 解得，， ∴， （3） 解：因为；；． 对于任意的正数、，都有为常数， ∴， 整理得：， 由于，为常数，故由待定系数法得： ，， 解得，． 【点睛】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力，从而求得m，k值． 题型七：分式综合 32. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： （1）分式是______；（填“真分式”或“假分式”） （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； （3）将假分式化为带分式． 【答案】（1）真分式 （2）；或或或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，分式是真分式； 【小问2详解】 解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； 【小问3详解】 解： ． 33. 阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是整式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 【答案】（1）减小；减小 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【小问1详解】 解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小. 【小问2详解】 ∵， ∵当时，的值无限接近， ∴的值无限接近. 【小问3详解】 ∵， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键. 34．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”； (2)①；②． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值； （2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴A与B是“完美分式”，且“完美值”； （2）解：①∵与互为“完美分式”， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴． ∵为正整数，分式的值为正整数， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键． 35.阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型八：图形运动综合 36. 如图，在三角形中，，四边形是边长为6的正方形，且、、分别在边、、上．把三角形绕点逆时针旋转一定的角度． （1）当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______； （2）当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且，求线段的长． 【答案】（1）36 （2）14 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，，所以等于正方形的面积，求解即可； （2）由得，求出，再结合即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，， 由题意可知，， ， 故答案为：36； 【小问2详解】 如图： 设旋转角为， 则，， ， ， ， ， ∵点的对应点落在线段上， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，熟练利用旋转的性质是解题的关键． 37. 如图，已知长方形，，，E是中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得． （1）画出满足条件的； （2）　　　　　　 （3）连接，求的面积 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形； （2）根据（1）中的不同位置，分类求解即可； （3）根据（1）中的不同位置，分类计算的面积即可； 【小问1详解】 解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵E是的中点 ∴ 由旋转的性质可得：，, 由此易得：三点共线； 当为绕点顺时针旋转所得时； 当为绕点逆时针旋转所得时； 故答案为：或 【小问3详解】 解：当为绕点顺时针旋转所得时； 当为绕点逆时针旋转所得时； 综上，的面积为或； 【点睛】本题考查了图形的旋转；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 38. 如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到． （1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数： （2）连接，求的面积： （3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由． 【答案】（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，绕点O顺时针旋转90°得到 【解析】 【分析】（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论； （3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论． 【详解】解：（1）由图易知：由到的旋转方向为逆时针旋转， ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠BAD=90° 即旋转角为90° 综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°； （2）∵正方形ABCD的边长为3， ∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1 ∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2 ∴=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF =DC（AD＋EC）－AD·DF－EC·CF =×3×（3＋4）－×3×1－×4×2 = =5； （3）可以， ∵在和中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G ∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由到，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转 连接OA、OB，则∠BOA=90° 即旋转角为90° 综上：绕点O顺时针旋转90°得到． 【点睛】此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（压轴篇） 题型一：概念辨析 题型二：求值与范围 题型三：平移旋转翻折 题型四：新定义问题 题型五：分式方程的应用题 题型六：乘法公式的应用 题型七：分式综合 题型八：图形运动综合 题型一：概念辨析 1、下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是一次单项式 C．单项式次数是0，系数是0 D．单项式的系数是 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的次数是2 B. 的系数是1 C. 是二次三项式 D. 的一次项是 3. 下列判断中错误是（ ） A. 与是同类项 B. 是三次三项式 C. 单项式的系数是 D. 是分式 4. 关于代数式，下列说法正确的是（ ） A. 的值一定是0 B. 的值一定是1 C. 当时，的值是1 D. 当时，的值是1 5.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 6. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形 D. 如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形 题型二：求值问题 7. 如果，那么_______． 8. 已知，那么代数式的值是___________． 9. 已知为整数，且，．求的值．（用含、的代数式表示结果） 10. 已知，则__________． 11.若分式，则分式的值等于（   ） A． B． C． D． 12.若已知分式的值为0，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．1 13. 已知：，求的值． 14.若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 题型三：平移旋转翻折 15. 如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为___________． 16. 如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么_______． 17. 如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为_______． 18. 如图，在长方形中，，，，如果将长方形绕着点顺时针旋转90°，那么长方形扫过的面积是____．（结果保留） 18. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，），当，且点E在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时______． 19．如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 题型四：新定义问题 20. 对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 21. 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是________． 22. 我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 23. 定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 24．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 题型五：分式方程的应用题 25. 金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 26. 某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元． （1）购买甲种礼品一共用去____________元；（请直接写出答案） （2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？ 27. 甲乙两地间的一条公路全长为千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地.已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度． 28. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 题型六：因式分解与乘法公式的应用 29. 【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 30．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)如果是一个完全平方式，求的值； (3)若满足，求的值． 31．两个边长分别为和的正方形（）如图放置（图，，），若阴影部分的面积分别记为，，． (1)用含，的代数式分别表示，，； (2)若，，求的值； (3)若对于任意的正数、，都有（为常数），求，的值． 题型七：分式综合 32. 阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： （1）分式是______；（填“真分式”或“假分式”） （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； （3）将假分式化为带分式． 33. 阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是整式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 34．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 35.阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 题型八：图形运动综合 36. 如图，在三角形中，，四边形是边长为6的正方形，且、、分别在边、、上．把三角形绕点逆时针旋转一定的角度． （1）当点与点重合时，点的对应点落在边上，此时四边形的面积为______； （2）当点的对应点落在线段上时，点的对应点为点，在旋转过程中点经过的路程为，点经过的路程为，且，求线段的长． 37. 如图，已知长方形，，，E是中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得． （1）画出满足条件的； （2）　　　　　　 （3）连接，求的面积 38. 如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到． （1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数： （2）连接，求的面积： （3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $