精品解析：辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学第19周晚周测试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期高三数学第19周晚周测试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 5. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则（    ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 10. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知是第三象限角，则______. 13. 已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为________． 14. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 四、解答题 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）若，求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 16. 已知在处有极小值. （1）求的值； （2）设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期高三数学第19周晚周测试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质求出集合，再由集合的交集运算求解． 【详解】， ， ， . 故选：B 2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，并利用复数的概念即可得答案． 【详解】，所以虚部为. 故选：D 3. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，由圆台的体积公式求解． 【详解】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为， 因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm， 所以，解得， 设水桶的高为，如图所示： ， 所以水桶的容积为. 故选：B 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的上方，此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 5. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可. 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 6. 已知，则（    ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率的定义式，先通过与求出，再代入的条件概率公式计算结果. 【详解】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B 7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期，根据最小正周期的计算公式，求得参数，根据复合函数以及三角函数的单调性和对称性，可得答案. 【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 故选：D. 8. 设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆柱体积公式列出其表达式，然后求导判断单调性，求出最大体积，进而可求得结果. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得. 所以，所以圆柱的体积为. 求导得，当，即时，；当，即时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为， 而球的体积为，所以. 故选：B. 二、多选题 9. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是奇函数 C. 在区间上的值域为 D. 若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 10. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 11. 下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定，结合向量说明线线的不垂直，逐个判断即可. 【详解】由条件可知四棱锥为正四棱锥， 对于A： 设的交点为，由正四棱锥的结构特征可知：面， 易知：，又，为平面内两条相交直线， 所以直线与平面垂直； 对于B： 取的中点为，连接， 有中位线性质可知：，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可证直线平行平面； 对于C： 设棱长为2，， 所以， 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 对于D： 设棱长为2，，， 所以 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知是第三象限角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦的差角公式先计算，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可. 【详解】因为， 且为第三象限角，所以， 所以 . 故答案为： 13. 已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆心，表示出外接圆的标准方程，根据点在圆上，求出半径最小时动点的纵坐标，从而求出三角形的面积. 【详解】由椭圆的方程，得，所以，， 所以，，设，圆心， 则圆的标准方程为， 所以，整理得， 所以， 所以 ，所以 由，， 所以当时，最小，此时，所以， 所以. 故答案为：2 14. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果. 【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）若，求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求由点到面的距离； （2）利用向量法求两个平面法向量夹角的余弦，进而可求解． 【小问1详解】 方法一： 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为 所以令，则，此时， 因为， 所以， 又因为平面，所以平面. 所以点到平面的距离就是点到平面的距离， 设此距离为，，即点到平面的距离为. 方法二： 因为在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，则， 又因为面，则平面. 所以点到平面的距离就是点到平面的距离，设此距离为， ， 则， ， ，所以， 则， 所以. 【小问2详解】 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 16. 已知在处有极小值. （1）求的值； （2）设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. 【小问2详解】 由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $