精品解析：安徽省池州市多校2025～2026学年高三上学期第三次教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（ ） A 6 B. 8 C. D. 4. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则函数的一个解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 为虚数 B. 若，则 C. D. 若，则的最小值为 10. 已知双曲线左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的周长为 C. 若的斜率为1，则的面积为 D. 若为的右支上两点，则直线的斜率 11. 已知的内角所对的边分别为a，b，c，其中a为定值．若的面积，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为 D. 的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线和圆，都相切，则a的值为______． 13. 已知，若，则的最大值为______． 14. 已知正四棱锥的体积为，若这5个顶点均在球的球面上，则球体积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. （1）求证：平面 （2）求棱台的体积和表面积. 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示，充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】向量，，， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C 2. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 3. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线，设，则， 该抛物线的准线方程为， 由， 所以， 故选：D 4. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则函数的一个解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律可得，结合换元法，令，可得，即可得的表达式，即得答案. 【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，可得的图象， 结合题意可得， 令，得，可得， 所以，B项符合题意，其余选项均不符合题意. 故选：B 6. 下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由诱导公式及三角函数单调性可比较大小；对于C，由同角三角函数关系可比较大小. 【详解】对于A，因，又在上递增， 则，可得A选项错误； 对于B，因，又在上递增，则， 可得B选项错误； 因.则，可得C选项正确； 因，又在上递减，则，可得D选项错误. 故选：C. 7. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义分析的符号，分、和三种情况，结合符号解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递减，， 所以当时，；当时，； 又因为函数为定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，且，， 当时，；当时，； 对于不等式， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，且， 可得，解得； 当，即时，则，且， 可得，解得； 综上所述：满足的的取值范围是. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用两角差的正切公式先求，利用二倍角的正弦公式有，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 为虚数 B. 若，则 C. D. 若，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A设，即可判断，对于B设，若有，如即可判断，对于C设，计算和即可判断，对于D设，则即可计算出的最小值. 【详解】对于A：设，，，故A错误； 对于B：设，若有， 如满足题意，但，故B错误； 对于C：设，， ，所以，故C正确； 对于D：若，设，则， 所以， 当时，取最小值，故D正确. 故选：CD. 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的周长为 C. 若的斜率为1，则的面积为 D. 若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由焦距、渐近线方程即可求解，对于B，通过两点在一支上或两支上即可判断，对于C，联立直线、双曲线方程，结合韦达定理及面积公式即可判断，对于D，借助渐近线斜率即可判断. 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得，所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知的内角所对的边分别为a，b，c，其中a为定值．若的面积，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件得到，，设边上的高为，利用利用余弦定理、同角三角函数关系式和基本不等式计算判断各个选项； 【详解】 ， ， ∴， 设边上的高为， 对于A，根据余弦定理， ，， ， ，当时，即时，等号成立， 所以两边平方可得 ,所以的最大值为，故A正确. 对于B，,当时，等号成立，由A可知， 所以，则的最小值为，故B错误； 对于C，周长为，当时，等号成立，， 所以周长的最小值为，故C正确； 对于D， 两边同时除以，，计算可得 的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】解三角形中求最值方法 1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解； 2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值； 3.角范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解； 4.面积范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线和圆，都相切，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义列出方程组求得的值，得到切线方程，再利用直线与圆相切，列出方程，求得的值. 【详解】设直线与曲线相切的切点坐标为， 由曲线，可得，则，解得， 所以切线方程为， 因为直线与圆相切， 所以，解得或（舍）． 故答案为：． 13. 已知，若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由可求得，代入中变形后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知正四棱锥的体积为，若这5个顶点均在球的球面上，则球体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面边长为，高为，球心到底面的距离为，得，进而有外接球的半径，应用三元基本不等式求最小值，即可得. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则，可得， 令球心到底面的距离为，则外接球的半径， 又，即， 整理得，当且仅当时取等号， 则球体体积最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. （1）求证：平面 （2）求棱台的体积和表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据面面平行性质可得，，则有，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）由题意得是正四棱锥，根据正棱锥的结构特求出棱长和高，再根据棱锥和棱柱的表面积公式体积公式即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，同理， 又，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由题意得是正四棱锥， 故在平面上的投影为正方形的中心， ， 在中，，所以， ， 因为平面平面，， 所以，所以， 由已知的四个侧面为全等的等腰梯形，作BC的中点E，连结PE， 为等边三角形，故， ， 所以. 【点睛】 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 17. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用递推式求得，然后利用与的关系，结合等差数列通项公式求解即可； （2）先利用裂项相消法求得，解不等式可得取值范围． 【小问1详解】 由，且，可得，即， 当时，由，可得， 两式相减可得，因为，可得， 即该数列的奇数项构成以为首项公差为2的等差数列，偶数项构成以为首项公差为2的等差数列， 即有， 可得； 【小问2详解】 ， 可得数列的前项和． 则，即， 当时，成立；当时，成立；当时，成立， 当时，， 综上所述，使得成立的正整数的取值范围是. 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，且定值为1 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解的值， （2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明三点共线，根据，所以，进而可证明. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 依题意，，故①. 联立，解得，故②， 联立①②，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 易知椭圆的右焦点为.设直线的方程为. 由，得， 设，则. 因为轴，所以. 直线的方程为，所以. 因为轴，所以. 因为， 所以 ， 所以三点共线. 因为，所以，而， 所以与面积相同，即，为定值. . 【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤.由韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.在处理共线问题是，要借助于向量以及两点斜率公式. 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，确定极值点个数； （2）利用函数单调性，结合零点存在定理，求零点个数； （3）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则，再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. 【小问1详解】 函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. 【小问2详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点. 【小问3详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以. 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $