安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷以导数与数列为核心，通过车速费用优化、宠物细菌模型等真实情境，考查数学建模与逻辑推理，适配高二知识进阶与能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数计算、数列性质、函数极值|第11题结合导数研究细菌变化，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|数列求和、三角函数、三次函数拐点|第14题以“拐点”概念考查创新思维| |解答题|5题/77分|导数应用、数列综合、函数证明|第15题费用优化问题考查数学应用，第18题数列与求和结合提升运算能力|

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列各组函数中,导函数相同的是 A.f(x)=3,g(x)=3x B.f(x)=2x+1,g(x)=x+2 C.f(x)=2-sin x,g(x)=-cos x D.f(x)=ln x+1,g(x)=ln(2x) 2.Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2n-1,则a2与a4的等差中项为 A.2 B.4 C.5 D.8 3.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=e3x-2xf'(1),则f(x)在x=1时的瞬时变化率为 A.3e3 B.e3 C.0 D.3 4.若Sn为等差数列{an}的前n项和,a2,a9是方程x2-12x-m=0的两根,则S10= A.60 B.40 C.-60 D.80 5.曲线f(x)=x4在x=0处的切线的倾斜角为α,曲线g(x)=xln x在x=1处的切线的倾斜角为β,则sin(α-β)= A.- B. C.- D. 6.某学校组织m名学生进行大型舞蹈节目排练,这些学生总共站成四排,四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加,这7名同学有1名站在第一排,3名站在第二排,3名站在第三排,此时四排学生人数恰好依次成等差数列,则m= A.56 B.65 C.72 D.84 7.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 8.数列{an}满足a1=1,a2=3,4an+1-3an-an+2=0(n∈N*),设bn=log3an+1,记[x]表示不超过x的最大整数.设Sn=++…+,若不等式Sn≥t,对∀n∈N*恒成立,则实数t的最大值为 A.50 B.60 C.80 D.100 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知一个多边形的周长为155 cm,各边的长成等差数列,最短的边长为2 cm,公差为3 cm,则 A.该多边形的内角和为1440° B.该多边形最长的边长为29 cm C.该多边形有一条边长为16 cm D.较长的五条边长度之和为115 cm 10.已知函数f(x)=x3+3ax+2(a∈R),则下列结论正确的是 A.若a=-4,则f(x)的极大值为18 B.若a≥0,则函数f(x)有极小值点 C.若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则a的最大值为-4 D.若函数f(x)恰有2个零点,则a的值为-1 11.宠物很可爱,但宠物身上会有很多细菌,小狗“旺财”的主人每月(30天)定期给“旺财”滴抹杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌的数量还会继续增加,但随着时间的推移,细菌增加的幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.若已知使用杀菌剂t小时后细菌的数量(万个)大致符合函数f(t)=(t-49)e-t+50(0≤t<720),f'(t)为f(t)的导数,下列结论正确的是 A.滴抹杀菌剂可以杀死大量细菌,却无法杀死所有细菌 B.f'(96)表示当t=96时,细菌数量以每小时46e-96的速度在减少 C.若存在a,b,且a≠b,使f(a)=f(b),则a+b<100 D.细菌数量在t=50时的瞬时变化率为0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知数列{an}的通项公式为an=,数列{bn}的通项公式为bn=3×2n-1,数列{an+bn}的前n项和Sn=　　　　.  13.已知数列{an}是首项为,公差为的等差数列,集合S={sin an|n∈N*},则集合S的子集个数为　　　　.  14.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设y=f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)图象的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数的图象都有“拐点”;任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+,则函数f(x)图象的对称中心的坐标为　　　　,f+f+…+f+f=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知A,B两城市的距离是150 km,根据交通法规及省油原则,两城市之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设油价是8元/L,以x km/h的速度行驶时,汽车的耗油率为3+ L/h,其他费用是40元/h.当车速是多少时,才能使行车的总费用最少?(精确到1 km/h,参考数据:≈2.646) 16.(15分)已知等差数列{an}为递减数列,且a2+a4=-4,a2a4=-5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前k(k∈N*)项和Sk≤-95,求k的最小值. 17.(15分)已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+c在点P(3,4)处的切线的斜率为12,且在x=2处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)讨论方程f(x)=k的解的个数. 18.(17分)已知数列{an}满足a1=3,数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=3(Sn+n+1),bn=an+1,cn=log4bn,数列{bncn}的前n项和为Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求Sn; (3)求满足Tn>bn+1的n的最小值. 19.(17分)已知函数f(x)=(x≠0). (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的倾斜角; (2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明:f(x)>. 参考答案 1.D　由函数f(x)=3和g(x)=3x,可得f'(x)=0和g'(x)=3,所以A项不符合题意; 由函数f(x)=2x+1和g(x)=x+2,可得f'(x)=2和g'(x)=1,所以B项不符合题意; 由函数f(x)=2-sin x和g(x)=-cos x,可得f'(x)=-cos x和g'(x)=sin x,所以C项不符合题意; 由函数f(x)=ln x+1和g(x)=ln(2x),可得f'(x)=,g'(x)=×(2x)'=×2=,所以D项符合题意. 2.C　a2=S2-S1=3-1=2,a4=S4-S3=15-7=8,所以a2与a4的等差中项为==5. 3.B　由f(x)=e3x-2xf'(1),得f'(x)=3×e3x-2f'(1),令x=1,得f'(1)=3×e3-2f'(1),解得f'(1)=e3,故f(x)在x=1时的瞬时变化率为f'(1)=e3. 4.A　依题意,由a2,a9是方程x2-12x-m=0的两根,可得a2+a9=12,∴S10====60. 5.C　f'(x)=4x3,所以曲线f(x)=x4在x=0处的切线的斜率为0,倾斜角α=0. g'(x)=ln x+1,所以曲线g(x)=xln x在x=1处的切线的斜率k=g'(1)=1,可得β=. sin(α-β)=sin-=-. 6.B　设等比数列为{an},公比为q,等差数列为{bn},公差为d, 由题意可得b1=a1+1,b2=a2+3=a1q+3,b3=a3+3=a1q2+3,b4=a4=a1q3, 从而a1q+3=a1+1+d　①, a1q2+3=a1q+3+d　②, a1q3=a1q2+3+d　③, 由①②③可解得a1=8,q=,所以m=a1+a1q+a1q2+a1q3=65. 7.D　依题意,a==,b==,c==, 令f(x)=,x∈(0,+∞),则f'(x)=,所以当0<x<时,f'(x)>0, 当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减. 因为<2<e<3,所以f(3)<f(e)<f(2),即<<,即c>b>a. 8.A　由题意得an+2-an+1=3(an+1-an),又a2-a1=3-1=2, ∴数列{an+1-an}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an+1-an=2·3n-1, an-an-1=2·3n-2,an-1-an-2=2·3n-3,…,a3-a2=2×31,a2-a1=2×30. 由累加法得an-a1=2×(30+31+…+3n-2)=2×=3n-1-1,∴an=3n-1. bn=log3an+1=log33n=n,∴==-, ∴++…+=100×1-+-+…+-=, Sn==100-, ∵≤,∴≤50,∴100-≥50,∴(Sn)min=50. ∵Sn≥t对∀n∈N*恒成立,∴t≤(Sn)min=50,则实数t的最大值为50. 9.ABD　设该多边形为n边形,最长的边长为an,则解得或(舍去),所以该多边形为10边形,内角和为(10-2)×180°=1440°,最长的边长为29 cm,A项正确,B项正确;令3n-1=16,n=∉N*,C项错误;较长的五条边的长度之和为a6+a7+a8+a9+a10=5a8=5(3×8-1)=115,D项正确. 10.ACD　对于A项,若a=-4,则f(x)=x3-12x+2, ∴f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2), 当x<-2或x>2时,f'(x)>0,当-2<x<2时,f'(x)<0, ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 则f(x)在x=-2处取得极大值,又f(-2)=(-2)3-12×(-2)+2=18, ∴f(x)的极大值为18,故A项正确; 对于B项,f'(x)=3x2+3a=3(x2+a),当a≥0时,f'(x)≥0,函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,故B错误; 对于C项,若f(x)在[1,2]上单调递减,f'(x)=3x2+3a=3(x2+a)≤0在[1,2]上恒成立,即a≤-x2在[1,2]上恒成立,而函数y=-x2在[1,2]上的最小值为-4,所以a≤-4,故C项正确; 对于D项,f'(x)=3x2+3a=3(x2+a), 当a≥0时,f'(x)≥0,函数f(x)在定义域内为增函数,故函数f(x)不可能存在2个零点,不符合题意, 当a<0时,由f'(x)=0,解得x=±,当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0, 当x∈(-,)时,f'(x)<0,当x∈(,+∞)时,f'(x)>0, ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间为(-,), 则函数的极小值f()=2a+2,极大值f(-)=-2a+2. 又函数f(x)恰有2个零点,∴f()=2a+2=0,或者f(-)=-2a+2=0,解得a=-1,故D项正确. 11.ABD　由题意,f(t)=(t-49)e-t+50(0≤t<720),可得f'(t)=(50-t)e-t. 对于A项,f(720)>0,所以杀菌剂不能杀死所有细菌,故选项A正确; 对于B项,因为f'(96)=-46e-96<0,所以当t=96时,细菌数量以46e-96的速度在减少,故选项B正确; 对于C项,若存在a,b,且a≠b,使f(a)=f(b),此时(a-49)e-a=(b-49)e-b, 不妨设g(x)=(x-49)e-x,h(x)=g(100-x)-g(x)=(51-x)ex-100-(x-49)e-x, 求导可得h'(x)=(50-x)(ex-100-e-x),当0≤x<50时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 此时h(x)>h(50)=0,即g(100-x)>g(x), 当50<x<720时,h'(x)<0,h(x)单调递减,此时h(x)<h(50)=0,即g(100-x)<g(x), 当0≤a<50,a≠b时,g(100-a)>g(a)=f(a)=g(b)=f(b),此时100-a>50,b>50,所以g(100-a)<g(b),可得100-a<b,即a+b>100,故选项C错误; 对于D项,因为f'(50)=0,所以当t=50时,瞬时变化率为0,故选项D正确. 12.3×2n---　因为=-,数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,所以Sn=1-+-+-+…+-+ =1+--+3(2n-1)=3×2n---. 13.16　由题意得an=+(n-1)=n-,sin an=sin(n-),其周期T==6, sin a1=sin-=sin=,sin a2=sin-=sin=1, sin a3=sin-=sin=,sin a4=sin-=sin=-, sin a5=sin-=sin=-1,sin a6=sin-=sin=-…… 结合集合元素的互异性,S=,其中有四个元素,故其子集个数为24,24=16. 14.(1,2)　398　f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x,所以f″(x)=2x-2.令f″(x)=2x-2=0,得x=1,f(1)=×13-12+=2,所以函数f(x)=x3-x2+图象的对称中心坐标为(1,2),所以f(x)+f(2-x)=4. 设S=f+f+…+f+f　①, S=f+f+…+f+f　②, 由①+②得,2S=f+f+f+f+…+f+f+f+f=4+4+…+4+4=4×199,所以S=398, 即f+f+…+f+f=398. 15.解:由题意可设总费用为f(x)且x∈[50,100],则行车的时间为, 于是fx=3+×8+×40=+x, f'(x)=-=, 结合定义域,当x∈[50,20]时,f(x)单调递减,当x∈[20,100],f(x)单调递增, 故当x=20=52.92≈53时,f(x)取得最小值. 16.解:(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d, 联立解得或 ∵等差数列{an}为递减数列,∴ ∴d===-3, ∴an=a2-3(n-2)=1-3(n-2)=7-3n,n∈N*. (2)由题意及(1),可得Sk=k·4+·(-3)≤-95,化简整理得3k2-11k-190≥0,解得k≥10或k≤-,又k∈N*,所以k的最小值为10. 17.解:(1)由题意,f(x)=x3+ax2+bx+c,函数f(x)的定义域为R,可得f'(x)=3x2+2ax+b. 因为函数f(x)在点P(3,4)处的切线的斜率为12, 所以　① 又函数f(x)在x=2处取得极值, 此时f'(2)=12+4a+b=0,　② 由①②可得a=-,b=-6,c=, 所以函数f(x)=x3-x2-6x+. (2)由(1)知,f(x)=x3-x2-6x+,f'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2). 当x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,2),单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞). (3)由(1),(2)知,函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,函数f(x)的极大值为f(-1),f(-1)=12,函数f(x)的极小值为f(2),f(2)=-,当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞. 结合图象(略)可知, 当k<-或k>12时,f(x)=k有一个解,当k=-或k=12时,f(x)=k有两个解, 当-<k<12时,f(x)=k有三个解. 18.解:(1)由an+1=3(Sn+n+1),可得an=3(Sn-1+n),其中n≥2, 两式相减得an+1-an=3an+3(n≥2),所以an+1+1=4(an+1)(n≥2),即bn+1=4bn(n≥2). 又a1=3,a2=3(3+1+1)=15,所以b1=a1+1=4,b2=a2+1=16,所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列,所以bn=4n. (2)由(1)可得an=bn-1=4n-1,Sn=an+1-(n+1)=(4n+1-1)-(n+1)=×4n+1-n-. (3)由(1)可得cn=log4bn=n,Tn=1×4+2×42+3×43+…+n×4n, 4Tn=1×42+2×43+3×44+…+n×4n+1, 两式相减得-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1=-n×4n+1=-n×4n+1-, 所以Tn=n-×4n+1+,Tn-bn+1=n-×4n+1+. 设f(n)=n-×4n+1+,易得f(1)<0,f(2)<0,f(3)<0,f(4)>0,且当n≥4时, f(n)随着n的增大而增大,所以满足Tn>bn+1的n的最小值为4. 19.解:(1)由题意f'(x)=,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,倾斜角为. (2)由f'(x)=,可设g(x)=(x-1)ex+1,则g'(x)=xex, 当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 又g(0)=0,所以对于任意的x≠0有g(x)>0,即f'(x)>0, 因此f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递增, 设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1, 当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)>h(0)=0,则ex-1>x,即<1, 当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)>h(0)=0,则ex-1>x,即>1, 所以f(x)是其定义域上的增函数. (3)设m(x)=ex-x-1,则m'(x)=ex-1+=--1, 由(2)知,ex-x-1>0,所以--1>0,又>0,所以m'(x)=--1>0. 从而m(x)=ex-x-1在R上单调递增,当x>0时,m(x)=ex-x-1>m(0)=0, 所以ex-1>x,可得>,即f(x)>. 当x<0时,m(x)=ex-x-1<m(0)=0, 所以ex-1<x,可得>,即f(x)>. 综上可知,f(x)>. ( 第 10 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $