精品解析：江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年高一上学期1月阶段测试数学试题

扬州市树人高级中学2025-2026-1高一年级阶段测试 数学学科 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若幂函数为奇函数，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. D. 或4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 2 7. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α的终边经过点，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或 B. 已知，则的解析式为 C. 已知，则 D. 已知，则 11. 已知若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”否定是_______． 13. 已知，则函数的定义域为_____． 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 16. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 18. 设函数. （1）求证：是偶函数； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市树人高级中学2025-2026-1高一年级阶段测试 数学学科 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 3. 若幂函数为奇函数，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出的值，再根据函数为奇函数确定的值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，，是奇函数， 当时，，，是偶函数， 所以. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 6. 如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接，得出，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC 因为 所以． 故选：D． 7. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值. 【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加， 那么经过年后，猪血木的数列为， 该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年， 所以可列出不等式， 即，两边同时取对数，则， 因为， 所以，即， 又，所以. 故选：A. 8. 已知函数，若且，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】 作出函数的图象，如图所示，因为，即，因为，由图可知，，即，所以有． 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 1rad的角比的角大 B. 与角终边相同的最小正角是 C. 已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是6π D. 已知角α的终边经过点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用弧度制概念、终边相同角，弧度制下的弧长面积公式和三角函数定义逐个计算判定. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， 与角终边相同的最小正角是，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或 B. 已知，则的解析式为 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式的解集确定的关系，化简不等式求其解集，判断A，设，换元求，由此可得，判断B，利用齐次化方法求结论判断C，由条件结合平方关系求，再结合平方关系求结论判断D. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以， 所以，， 所以不等式可化为， 所以，即， 所以不等式的解集为，A错误； 因为， 令，则，， 所以， 所以的解析式为，B正确； 因为， 所以，C正确； 因为， 所以，即， 所以，又，故 所以， 又， 所以，又， 所以，D错误； 故选：BC. 11. 已知若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用对应时的函数式，结合对数运算性质，得出；选项B：是二次方程的根，通过韦达定理得；选项C：由韦达定理得（），其取值范围为，无最大值；选项D：将化为，结合得到和的表达式，构造函数并分析其单调性，求出取值范围. 【详解】画出的函数图象如图. 由图象可知，. 由题意可知，， 则，所以，故A正确； 是方程的两根，则， 故无最大值，故B正确，C错误； 由，即，得. 又， 在上单调递增，， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”否定是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 【详解】命题“，”否定是：“，” 故答案为：， 13. 已知，则函数的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得，即，结合函数单调性可知，再结合基本不等式可得最值. 【详解】由，则，即， 又是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数，则，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由，得，利用函数单调性得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质，准确计算，即可求解；. （2）由对数运算公式和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （3）由，求得，结合，即可求解. 【详解】解：（1）由指数幂的运算性质，可得. （2）由对数的运算性质，可得. （3）因为，可得， 所以，且， 则，所以，所以. 16. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【小问1详解】 命题​，命题​，若是的充分条件，则有​． 所以​解得：​． 所以实数的取值范围​． 【小问2详解】 因为​，要使​，只需​或​， 解得：​或​． 所以实数的取值范围​． 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 18. 设函数. （1）求证：是偶函数； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数的定义域为， 因为，都有，且， 故是偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由已知代入可得，在上能成立，换元后利用二次函数的性质可求； （3）结合已知，代入可求，然后结合方程在有唯一实数解，利用换元法，结合二次函数的性质可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，使得成立， 即， 则在上能成立， 即， 设，则，， 则的对称轴方程为直线， 在单调递减，故，即. 【小问3详解】 由题意得， 设，又函数在上单调递增，则， 若方程在有唯一实数解，即 在上有唯一实数解， 即有唯一实数解 在上连续且单调递减，在上连续且单调递增， 又时，；时，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $