精品解析：山西省太原市志达中学2025-2026学年上学期九年级12月学业诊断数学试卷

太原市志达中学校2025～2026学年九年级12月学业诊断 数学 注意事项： 1.本试卷共5页，满分100分＋10分（附加题10分），考试时间60分钟． 2.考生务必将自己的姓名、班级、考场、考号填写在答题卡相应的位置上． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是市体育馆内的颁奖台，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 5. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 7. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 9. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 图1是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间．小明画出这种纸杯的截面图如图2所示，其中点为杯底顶点，，分别表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，则水的体积与杯子容积的比最接近于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在0.85附近波动，则该种子发芽的大约有__________． 12. 若，则______． 13. 如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为______． 14. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 15. 如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 三、解答题（本大题共4个小题，共55分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）计算：． 17. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． （1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率． （2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 18. 为展示太原深厚的历史文化底蕴，丰富学生的课外实践活动，学校组织九年级学生测量太原名胜“凌霄双塔”的高度．凌霄双塔位于太原永祚寺内，为明代楼阁式砖塔，是太原的城市标志之一．测量过程中，小叶同学站在塔前的平地上点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，，结果精确到） 19. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 四、附加题 20. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市志达中学校2025～2026学年九年级12月学业诊断 数学 注意事项： 1.本试卷共5页，满分100分＋10分（附加题10分），考试时间60分钟． 2.考生务必将自己的姓名、班级、考场、考号填写在答题卡相应的位置上． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图是市体育馆内的颁奖台，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形内部从上往下分别有一条实线和虚线． 故选：D． 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A. B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0 D. x2-2x=0 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论． 【详解】A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意; B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意; C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意; D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意; 故答案为： D. 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 5. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 6. 如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 7. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设， 则：， 解得：（负值已舍去）； ∴； 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，正方形的性质，解一元二次方程．熟练掌握相似多边形的对应边对应成比例，是解题的关键． 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义得到，，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 9. 春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程． 设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得 故选：A． 10. 图1是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间．小明画出这种纸杯的截面图如图2所示，其中点为杯底顶点，，分别表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，则水的体积与杯子容积的比最接近于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆锥的体积，熟练掌握相似三角形的性质与判定及圆锥的体积是解题的关键；设杯子的高度为h，则杯中水的高度为，由题意易得，则有，然后根据圆锥体积公式可进行求解． 【详解】解：设杯子的高度为h，则杯中水的高度为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴水的体积为； 杯子的体积为， ∴； 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 农科所通过大量重复实验，发现某农作物种子发芽的频率在0.85附近波动，则该种子发芽的大约有__________． 【答案】1700 【解析】 【分析】用总质量乘以样本中发芽的频率即可． 【详解】解：根据题意知，种子中发芽的大约有， 故答案为：1700． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例关系设参数表示未知数，再代入代数式求值． 【详解】解：由，设，则 ，， 代入，得原式． 故答案为：． 13. 如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 14. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，由正方形性质及全等三角形的判定得到，由全等的性质得到，，再结合垂直平分线定义得到，，进而由平行线的判定得到，在中，由勾股定理得到，由相似三角形的判定与性质求出，，进而求出，再结合，由相似比列式求解即可得到． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ，， 在中，，则， ， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ，， ， ，即， 解得，， ， ，，， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线定义、平行线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、相似三角形求线段长的方法是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共4个小题，共55分） 16. 计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和特殊角三角函数的计算． （1）使用公式法解方程； （2）通过因式分解求解； （3）先展开再使用公式法； （4）代入特殊角三角函数值计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：原式． 17. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． （1）求5日、6日这两日定制量的平均增长率． （2）在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设5日、6日这两日定制量的平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每本笔记本降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每本笔记本降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每本笔记本降价2元． 18. 为展示太原深厚的历史文化底蕴，丰富学生的课外实践活动，学校组织九年级学生测量太原名胜“凌霄双塔”的高度．凌霄双塔位于太原永祚寺内，为明代楼阁式砖塔，是太原的城市标志之一．测量过程中，小叶同学站在塔前的平地上点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：塔高为． 19. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）这段时间内y与x之间的函数解析式为 （2）当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【小问1详解】 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 四、附加题 20. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $