精品解析：江苏省苏州中学校2024-2025学年提前招生数学试卷

2025苏州中学医班自主招生试题 一、单选题 1. 学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A. 1.7 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.2 2. 某班共50名同学，一位同学1号得流感，第2天传染给两位同学，第3天再传染给两位同学，第4天痊愈不在感染，求第（　　）天全班同学全被感染过． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A. B. C. D. 4. 某医院共有4个护士，需观察45个班，每位护士分配9-13个班，有（　　）种分法． A. 80 B. 106 C. 216 D. 286 5. 关于函数，下列说法正确的有（　　） A. 函数图像有最高点 B. 图像关于直线对称 C. 当，随而增大减小 D. 图像与直线仅有一个交点 二、多选题 6. 已知是锐角，则下列选项可能正确的是（） A. B. C. D. 7. 三个人在传球．第一个球是甲发球．每次传球传给另外两人的概率相等，以下选项正确的是（　　） A. 第五次传球，乙、丙收到球的概率相等 B. 第五次传球，甲收到球的概率小于乙 C. 传球次数越多，甲拿到球的概率越大 D. 甲收到球的概率越来越接近乙 三、填空题 8. 如图所示，在中，，平分，交与点，，，则___________． 9. 有若干个长为或的小棒，将这些小棒首尾相连，拼成一个四面体，有___________种情况． 10. 某校爱滑冰的人占，爱滑雪的人占，爱滑冰或滑雪的人占，已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是___________． 11. 已知是一元二次方程的两个根，且，求整数___________． 12. 已知，若恒成立，则得取值范围是___________． 13. 如图，四边形是边长为4的正方形，圆是正方形的内切圆，为圆上一点，连接、，则的最小值为___________． 四、解答题 14. 计算 （1）___________； （2）是否存在一个实数，使以下式子恒成立： ． 15. 在平面直角坐标系内， （1）、两点坐标分别为、，以为圆心，长为半径画圆，有一直线过点，交⊙与 两点，且，求的长； （2）在双曲线上有点，连接，且的最小值为6，求的值． 16. 已知 （1）分别求的值； （2）为正整数，是否构成有理数，若是说明理由，若不是请举出反例． 17. 在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． （1）求； （2）点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025苏州中学医班自主招生试题 一、单选题 1. 学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A. 1.7 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 2. 某班共50名同学，一位同学1号得流感，第2天传染给两位同学，第3天再传染给两位同学，第4天痊愈不在感染，求第（　　）天全班同学全被感染过． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逻辑推理能力，理解传染规律，并计算累计感染人数，直到累计总人数等于或超过50即可得到答案． 【详解】解：第1天：初始感染人数1人，累计人数为1人； 第2天：1人传染给2人，新增2人，累计人数为人； 第3天：第2天新增的2人，加上第一天的1人共3人，再各传染给2人，新增人，累计人数为人； 第4天：第3天新增的6人，加上第2天新增的2人共8人，再各传染给2人，新增人，累计人数为人， 第5天：第4天新增的16人，加上第3天新增6人共22人，再各传染2人，新增人，累计人数为人，超过本班总人数50人， 即第5天全班同学全被感染过， 故选：B． 3. 众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 4. 某医院共有4个护士，需观察45个班，每位护士分配9-13个班，有（　　）种分法． A. 80 B. 106 C. 216 D. 286 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了组合排列问题，将问题转化为需观察9个班，每位护士分配0-4个班，设4个护士分别分配个班，且，且为整数，再分别列出可能的结果即可得出答案． 【详解】解：∵每位护士分配9-13个班，，， ∴可将问题转化为需观察9个班，每位护士分配0-4个班， 设4个护士分别分配个班，且，且为整数， 当时，，则有2种分法，即； 当时，，则有3种分法，即； 当时，，则有4种分法，即； 当时，，则有5种分法，即； 当时，，则有4种分法，即； 同理，当时，，则有3种分法； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有5种分法； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有3种分法，即； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有5种分法； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有3种分法； 当时，，则有2种分法，即； 当时，，则有5种分法； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有3种分法； 当时，，则有2种分法； 当时，，则有1种分法，即； 当时，，则有4种分法； 当时，，则有3种分法； 当时，，则有2种分法； 当时，，则有1种分法； 综上，共有（种） 故选：A． 5. 关于函数，下列说法正确的有（　　） A. 函数图像有最高点 B. 图像关于直线对称 C. 当，随而增大减小 D. 图像与直线仅有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程等知识，先求出坐标量x的取取值范围，然后画出函数的图象的草图，然后数学结合逐项判断即可． 【详解】解：令，解得或， ∴函数的自变量取值范围为且， 画出与的草图如下： ， 观察图象，可知：函数图像没有最高点，故选项A错误； 图像关于直线对称，故选项B正确； 当时，函数图象在x轴下方，当时，函数图象部分在x轴上方，则y没有随x的增大而减小，故选项C错误； 图像与直线有两个交点，故选项D错误， 故选：B． 二、多选题 6. 已知是锐角，则下列选项可能正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的性质及特殊角三角函数值，解题关键是熟练运用三角函数定义、特殊值，结合方程求解判断等式在锐角范围内是否可能成立． 选项A利用特殊角的三角函数值判断．选项B根据正切函数定义变形等式，结合锐角三角函数取值范围判断．选项C将等式变形后结合同角三角函数关系转化为方程求解，依据锐角正弦值范围判断．选项D借助特殊角的三角函数值判断． 【详解】解：A．当时，根据特殊角的三角函数值，，此时等式成立，所以该选项可能正确，符合题意． B．因为，那么可化为．由于是锐角，（因为时，），等式两边同时除以，得到．但对于锐角，的取值范围是，所以，该等式不成立，所以该选项不可能正确，不符合题意． C．因为，所以可化为，即．又因为，把代入可得．对于一元二次方程，根据求根公式，可得． 因为是锐角，，舍去，，所以存在这样的锐角使等式成立，所以该选项可能正确，符合题意； D．因为是锐角，当时，，所以该选项可能正确，符合题意； 故选：ACD． 7. 三个人在传球．第一个球是甲发球．每次传球传给另外两人的概率相等，以下选项正确的是（　　） A. 第五次传球，乙、丙收到球的概率相等 B. 第五次传球，甲收到球的概率小于乙 C. 传球次数越多，甲拿到球的概率越大 D. 甲收到球的概率越来越接近乙 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．先画树状图法，得出5次传球后得共有32种等可能结果，经过5次传球后球回到甲手中的结果有10种，经过5次传球后球回到乙手中的结果有11种，经过5次传球后球回到丙手中的结果有11种，再结合每个选项的情况进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，画树状图如图所示， 共有32种等可能结果，经过5次传球后球回到甲手中的结果有10种，经过5次传球后球回到乙手中的结果有11种，经过5次传球后球回到丙手中的结果有11种， ∴经过5次传球后球回到甲手中的概率为：， 经过5次传球后球回到乙手中的概率为：， 经过5次传球后球回到丙手中的概率为：， 故第五次传球，乙、丙收到球的概率相等，即A选项符合题意； ∵ 故第五次传球，甲收到球的概率小于乙，即B选项符合题意； 由树状图得第一次传球，甲拿到球的概率为0， 第二次传球，甲拿到球的概率为， 第三次传球，甲拿到球的概率为， 第四次传球，甲拿到球的概率为， 第五次传球，甲拿到球的概率为， ∵， 故传球次数越多，甲拿到球的概率越大是错误的，即C选项不符合题意； 由树状图得第一次传球，乙拿到球的概率为， 第二次传球，乙拿到球的概率为， 第三次传球，乙拿到球的概率为， 第四次传球，乙拿到球的概率为， 第五次传球，乙拿到球的概率为， 则， ∵， 故甲收到球的概率越来越接近乙是正确的，即D选项符合题意； 故选：ABD 三、填空题 8. 如图所示，在中，，平分，交与点，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，由得出，解可得，利用勾股定理求得，得出，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质推出，得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 平分， ， ， 又， ． 故答案为：6． 9. 有若干个长为或的小棒，将这些小棒首尾相连，拼成一个四面体，有___________种情况． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的点、线、面、体，掌握立体图形的特点是关键． 根据四面体的特点，三角形三边数量关系，分类讨论即可． 【详解】解：四面体由4个面，6条棱，每个面都是三角形， 当四面体的棱长都是1时，每个面的边长均为1，是正四面体，符合题意； 当四面体的棱长都是2时，每个面的边长均为2，是正四面体，符合题意； 当四面体的棱长由1和2组合时， 若一条边长为1，其余为2，符合题意； 若两条边长为1，其余为2，符合题意； 若三条边长为1，其余为2，符合题意； 若四条边长为1，两条边长为2，不符合题意； 若四条边长为1，一条边长为2，不符合题意； 综上所述，共有5种， 故答案为：5 ． 10. 某校爱滑冰的人占，爱滑雪的人占，爱滑冰或滑雪的人占，已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，理解题中的占比是解题关键．先根据题意求出既爱滑冰又爱滑雪的人的占比，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：爱滑冰的人占，爱滑雪的人占，爱滑冰或滑雪的人占， 既爱滑冰又爱滑雪的人占， 随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是， 故答案为：． 11. 已知是一元二次方程的两个根，且，求整数___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据，，求出，得到整数或，再验证满足的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴整数或， 当时，，方程有两等根，不合题意； 当时，，方程有两不等根，符合题意； 故答案为：． 12. 已知，若恒成立，则得取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集的情况求参数，二次函数求最值，根据，得到，进而得到，得到，令，得到，，分别求出的最大值和的最小值，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ 令，则：， 令， 则当时，有最大值为； 令， ∴当时，随着的增加而增加， ∵， ∴当时，有最小值为：， ∵时，恒成立， ∴； 故答案为：． 13. 如图，四边形是边长为4的正方形，圆是正方形的内切圆，为圆上一点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形与内切圆性质、相似三角形判定与性质、两点之间线段最短等知识，解题关键是利用相似三角形构造转化，借助三点共线求最值． 先求出圆半径及相关线段长度，确定、、的值，证明，得出，将转化为 ，依据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，通过作垂线求出长度即最小值，计算得出的最小值． 【详解】解：设半径为r， ∵圆是正方形的内切圆， ∴，， 取的中点I，连接， ∴， ∵， ， ∴ ，是公共角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、I在一条直线上时，最小， 作于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值， ∵， ∴的最小值是． 故答案是． 四、解答题 14. 计算 （1）___________； （2）是否存在一个实数，使以下式子恒成立： ． 【答案】（1） （2）不存在 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，二次根式的混合运算： （1）先整理原式，再得，即可作答． （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：不存在，过程如下： 依题意，， ， …… 以此类推得 ． ∵ ∴ ∵， ∴是可以无限大的，故不存在一个实数，使原式子恒成立． 15. 在平面直角坐标系内， （1）、两点坐标分别为、，以为圆心，长为半径画圆，有一直线过点，交⊙与 两点，且，求的长； （2）在双曲线上有点，连接，且的最小值为6，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设⊙与轴的交点分别为、，过点作于点，过点作于点，由题意，易证，推出，根据，求得，，由垂径定理，易得，利用勾股定理求出，根据平行线分线段成比例及中位线定理，求得，再由及勾股定理即可求出的长； （2）设点的坐标为， 利用，化简，由已知条件，即可求出值． 【小问1详解】 解：如图所示，设⊙与轴的交点分别为、，连接、、，过点作于点，过点作于点， ， 设，则， 、两点坐标分别为、，， ，， ，， ， ， ， ，即， ，（舍）， 即，， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 设点的坐标为， ， ，即（当时，不等式取等号）， 如图所示， 、两点坐标分别为、， （当时，不等式取等号）， 的最小值为6， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、相似三角形判定及性质、垂径定理、中位线定理、反比例函数的解析式、完全平方公式、不等式的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16. 已知 （1）分别求的值； （2）为正整数，是否构成有理数，若是说明理由，若不是请举出反例． 【答案】（1），，； （2）是有理数，理由： 设， 则，， ∵，，， ∴ ， 由于均为有理数，且递推系数为为有理数， 从而推出是有理数， ∴所有均为有理数． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，立方和公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将展开，结合的值可求，利用立方和公式可求通过平方和公式可求出； （2）设，由，，得到和满足方程，由递推关系可得，根据均为有理数，且递推系数为为有理数，可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ， 【小问2详解】 略 17. 在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． （1）求； （2）点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． 【答案】（1） （2） 解：直线过定点．证明如下： ∵二次函数， ∴顶点P的坐标为， 将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，如图所示， ∴平移后的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，， 设，， ∴，即， 设直线的解析式为，点，点， 由方程组得， ∵点，点是直线与抛物线的交点， ∴，是方程的解， ∴，， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵点，点在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 即直线过定点， ∵点向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度，得到点， ∴原直线过定点． 【解析】 【分析】（1）对于二次函数，分别令，，求出，，，从而得到，，，，．过点A作于点G，根据的面积求出，从而在中，根据正弦的定义即可求解； （2）由二次函数可得顶点P的坐标为．将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度．可得平移后对应的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，设，，由，得到，设直线的解析式为，点，点，由方程组得，因此，．求出直线的解析式为，直线的解析式为，因此，，又，，即可得到，得到，因此直线的解析式为，即直线过定点，再由平移即可得到原直线过定点． 【小问1详解】 解：连接 对于二次函数， 令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，，， ． 过点A作于点G， ∴，即， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，锐角三角函数值，图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，分式的运算等，掌握图象的平移变化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $