精品解析：四川省泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题：每小题3分，共36分． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列标志中，是中心对称图形的图形有（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到抛物线，可以将（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 5. 一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A. x1=﹣1，x2=﹣2 B. x1=1，x2=﹣2 C. x1=1，x2=2 D. x1=﹣1，x2=2 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 7. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（　　） A. 2015 B. 2017 C. 2019 D. 2022 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，�将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（ ）． A. 70° B. 80° C. 60° D. 50° 9. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 11. 如图所示，函数和在同一坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 12. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴交点为(0，3)，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是( ) A. a-b+c=0 B. 关于x的方程ax2+bx+c- 3=0有两个不相等的实数根 C. abc>0 D. 当y>0时，-1<x<3 二、填空题：（每小题3分，共12分） 13. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 14. 若是一元二次方程，则m的值是______． 15. 若点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，则a+b＝_____． 16. 如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为___________ ． 三、解答题：（共13分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 四、解答题：（共24分） 19. 已知，是方程的两个根，且． （1）求k的值； （2）求的值． 20. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 21. 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？ 五、解答题：（共35分） 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）当m为何值时，该函数的图象经过原点． （3）若函数图象的顶点在第二象限，求m的取值范围． 23. 如图，已知点、、，点． （1）将绕点P逆时针旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______； （2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______． 24. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值； （3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市纳溪中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题：每小题3分，共36分． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A. ，时不是一元二次方程，故此选项错误； B. ，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C. ，化简后方程为，是一元二次方程，此选项正确； D. ，化简后方程为，是一元一次方程，故此选项错误． 故选：C． 2. 下列标志中，是中心对称图形的图形有（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 中心对称图形绕某点旋转后，能够与原图形完全重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形， 第二个和第四个图形为中心对称图形，共2个， 故选：C． 3. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 分别计算各选项方程的根的判别式，然后根据计算的结果分别判断根的情况即可． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根； B、，方程没有实数根； C、，方程没有实数根； D、，方程没有实数根； 故选：A． 4. 要得到抛物线，可以将（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），y=x2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y=（x-1）2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 5. 一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ） A. x1=﹣1，x2=﹣2 B. x1=1，x2=﹣2 C. x1=1，x2=2 D. x1=﹣1，x2=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x2﹣x﹣2=0， （x﹣2）（x+1）=0， x﹣2=0或x+1=0， 所以x1=2，x2=﹣1． 故选D． 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 7. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（　　） A. 2015 B. 2017 C. 2019 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝2，再整体代入计算可得． 【详解】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0， 则a﹣b＝2， ∴原式＝2019﹣2（a﹣b） ＝2019﹣2×2 ＝2019﹣4 ＝2015 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，�将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（ ）． A. 70° B. 80° C. 60° D. 50° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点， ∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E， ∴∠F=∠FBC， ∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°， ∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°， ∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°． 故选：B． 9. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：B． 10. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故选：C． 11. 如图所示，函数和在同一坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向可得的符号，结合一次函数图象判断，进而即可求解． 【详解】当a＞0时，二次函数的开口向上，一次函数中一次项的系数，图象将经过二四象限，所以A选项不符合，D选项符合要求； 当a＜0时，二次函数的开口向下，一次函数中一次项的系数，图象将经过一三象限，所以B、C选项不符合要求． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数函数图象结合，数形结合是解题的关键． 12. 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴交点为(0，3)，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是( ) A. a-b+c=0 B. 关于x的方程ax2+bx+c- 3=0有两个不相等的实数根 C. abc>0 D. 当y>0时，-1<x<3 【答案】C 【解析】 【分析】A、由抛物线经过点（-1，0），可作出判断； B、由抛物线与直线y=3有两个交点，可作出判断； C、由图象可知a<0,b>0,c>0, 可作出判断；． D、由抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），可作出判断. 【详解】解：A、∵抛物线经过点（-1，0）， ∴当x=-1时y=a-b+c=0， ∴本选项不符合题意． ∵抛物线的图形与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项符合题意． B、∵抛物线与直线y=3有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根， ∴本选项不符合题意． C、由图象可知a<0,b>0,c>0,所以abc<0, 故本选项符合题意． D、∵抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）， ∴当y＞0时，-1＜x＜3，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共12分） 13. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3， 解得：a=3． 故答案是：3． 考点：根与系数的关系． 14. 若是一元二次方程，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 15. 若点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称，则a+b＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（a，4）与点B（﹣3，b）关于原点成中心对称， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 16. 如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式． 连接，交直线于P，根据二次函数的对称性可知此时最小，根据将代入得到，求出直线的解析式为：，进而可求出． 【详解】解：根据二次函数的对称性可知， 即， 如图，连接，交直线于P，可知此时最小， 当时，， 由题意得：， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得： ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（共13分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可. （2）根据公式，将系数代入即可. 【详解】（1）原方程变形 ， 即． ∴或． ∴． （2）∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法. 18. 某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 【答案】该产品每年的增长率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用；设该产品每年的平均增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】解：设该产品每年的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：该产品每年的增长率为． 四、解答题：（共24分） 19. 已知，是方程的两个根，且． （1）求k的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）65 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； 【小问2详解】 解：原式， 当时，原式， ∴． 20. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 21. 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？ 【答案】(1) y＝－10x2＋1400x－40000，50＜x＜100；（2）60元. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据利润问题的数量关系，利润＝售价－进价就可以得出每个篮球的利润，设销售这批篮球的利润为y元，根据销售问题的数量关系表示出y与x之间的函数关系式； （2）令函数值y＝8000，求得合适的x的值即可． 试题解析： 解：（1）由题意，篮球售价定为x元，得每个篮球所获得的利润是(x－40)元，篮球每月的销售量是[500－10(x－50)]个， 设销售这批篮球的利润为y元，由题意，得： y＝(x－40) [500－10(x－50)] ＝－10x2＋1400x－40000， 由500－10(x－50)＞0得x＜100， 又x＞50， 所以50＜x＜100； （2）由题意可得：－10x2＋1400x－40000＝8000， 整理得： x2－140x＋480＝0， (x－60)(x－80)＝0， 解得x1＝60，x2＝80， 故售价为60或80元， 为吸引更多的顾客，所以售价应定为60元． 答：销售定价应定为60元． 点睛：本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，利润＝售价－进价的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 五、解答题：（共35分） 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）当m为何值时，该函数的图象经过原点． （3）若函数图象的顶点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵二次函数的表达式为， ∴， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质； （1）计算二次函数的判别式，即可证明不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将把代入二次函数解析式即可求出m的值； （3）根据抛物线的解析式求出抛物线的顶点坐标，然后根据顶点在第二象限即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入中， 得，解得 ∴当时，该函数的图象经过原点 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， ∴抛物线的顶点为 ∵函数图象的顶点在第二象限， ∴． 23. 如图，已知点、、，点． （1）将绕点P逆时针旋转90°得，画出，并写出点C的对应点的坐标为______； （2）画出关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 解：即为所求；点的坐标为； （2） 即为所求；点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换， （1）根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质即可画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的对应点的坐标． 解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 【答案】 （1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2）k＝或2． 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）略 （2） ∴x1＝2k﹣1，x2＝2， ∵a、b、c为等腰三角形的三边， ∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3， ∴k＝或2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键. 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值； （3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4） 【解析】 【分析】（1）抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x−3）＝a（x2−2x−3），将点C坐标代入即可求解； （2）先求出直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解； （3）分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2−2x−3）， 将点C坐标代入,得 -3a＝3，解得：a＝-1， 抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， ∵直线BC过点B（3，0），C（0，3）， ∴，解得， ∴y＝﹣x+3， 设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值； （3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1 设点M（1，m）， 则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18； ①当MC是斜边时， 1+（m﹣3）2＝m2+4+18； 解得：m＝﹣2； ②当MB是斜边时， 同理可得：m＝4， 故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $