精品解析：山东省济南育秀中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题

济南育秀中学九年级月考数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，抛物线的顶点为．根据二次函数的顶点式，直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线可化为， ∴顶点坐标为． 故选：D． 3. 已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线． 由于点、、在函数图象上，且， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出该函数的对称轴，利用二次函数的性质解答． 4. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题即可． 【详解】解：方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点， 即关于函数，时的值， 由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的近似解是． 故选：C． 5. 如图，内接于，是的直径．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，理解圆周角与圆心角的关系是解题关键． 根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 6. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠ABC的正切函数求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，∠ABC=28°， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象．可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 10. 在学习二次函数时，小明了解到二次函数的系数a，b，c对函数图象的影响，于是他尝试用自己所学解释函数的性质并得到以下结论，请你判断小明得到的这些结论中正确的是（ ） ①函数图象与轴交点为；②若，则有最小值为；③若，则当时，随的增大而减小；④若，则直线为任意实数）与函数图象的交点个数最多是4个． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数解析式可判断①，分两种情况得出抛物线的对称轴，可判断②③；由图象法可判断④． 【详解】解：①将代入函数得：， 函数图象与轴交点为，①正确； ②当时，， 有最小值为， 当时，， 有最小值为，②正确； ③当时，， 对称轴为， ， 当时，随的增大而减小； 当时，， 对称轴为， ， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，③不正确； ④函数的图象为： 正确的为：①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（共6小题） 11. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得x的取值范围． 【详解】解：由图象知，当时，抛物线位于直线的下方，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键． 12. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，如图，作交于点，交于点，连接，设的半径为，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出即可．根据垂径定理正确地利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， 设的半径为，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为 故答案为：10． 13. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 14. 将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后，抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，先把二次函数配方成顶点式，然后利用“左加右减，上加下减”平移规律得到解析式． 【详解】解：抛物线， 将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 15. 已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 故答案为：或． 16. 已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】设折痕为，连接，由题意得，，．证明是等边三角形得，，求出，可得，即当E，G，G共线时，的值最小，然后证明是的中位线，是的中位线，进而可求得结论． 【详解】解：如图，设折痕为，连接，由题意得，，． ∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵当E，G，G共线时，的值最小， ∴此时值最小，， ∴． ∵E为边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴，即的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，折叠的性质，证明是的中位线，是的中位线是解答本题的关键． 三、解答题（共3小题） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先算乘方，然后将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． （1）求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 【答案】（1） （2）销售单价x为11元时，w达到最大，w最大为1550元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，解题的关键是通过题目和图象弄清题意，并列出二次函数和一次函数，用数学知识解决生活中的实际问题． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为（），根据题意得， ， 解得， ∴， 所以，日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售单价x元，日均获利为w元，根据题意得， ， ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大为． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． 【小问3详解】 解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南育秀中学九年级月考数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于，是的直径．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC高约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 10. 在学习二次函数时，小明了解到二次函数的系数a，b，c对函数图象的影响，于是他尝试用自己所学解释函数的性质并得到以下结论，请你判断小明得到的这些结论中正确的是（ ） ①函数图象与轴交点为；②若，则有最小值为；③若，则当时，随的增大而减小；④若，则直线为任意实数）与函数图象的交点个数最多是4个． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（共6小题） 11. 如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______． 12. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为________． 13. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是______． 14. 将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后，抛物线的解析式为_________． 15. 已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 16. 已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为______． 三、解答题（共3小题） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示． （1）求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）设日均获利为w（元），求销售单价x多少元时，w达到最大，w最大多少元． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $