精品解析：江苏省南京育英中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学试题

2025-2026学年度育英外校数学学科阶段性作业二（九上） 注意：本作业共6页，27题，满分120分，时间120分钟 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求出点到圆心的距离，再与圆的半径比较． 先根据两点间距离公式求出点到圆心的距离，再将该距离与圆的半径2比较，从而确定点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点，点， ∴==， ∵的半径为2，且， ∴点A在内． 故选：B． 2. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 3. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 故最大的是， 故选：D 4. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 5. 若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ） A. 不存在这样的值 B. 有两个相等的的值 C. 有两个不相等的的值 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程，整理为一元二次方程的一般式，然后利用根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：由题意，得， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即，， 故选C． 【点睛】本题主要考查列一元二次方程与一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根；上面结论反过来也成立． 6. 关于的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系． 根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中 ∵， ∴函数图象开口向上． ∵选项D中图象开口向下，故该选项不符合题意； ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧， 选项B的对称轴在y轴左侧，故该选项不符合题意； 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 选项A的函数图象与轴无交点，故该选项不符合题意； 选项C的函数图象与轴有两个交点，故该选项符合题意； 故选：C． 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据已知比例关系，设参数表示变量，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由，可设，（其中 ）， 代入所求表达式得： ． 故答案为：． 8. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 9. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 10. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 11. 用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，列出关于矩形面积S与长x的关系式是解题的关键． 先用x表示出另一边的长，根据面积公式列出S与x的关系式，再结合二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形的长为，则宽为， ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 12. 已知抛物线．点，在抛物线上，总有，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，且，可知点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，利用距离公式列出不等式求解． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 点和点在抛物线上，由， 根据二次函数的性质，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即．解此不等式，得． 故答案为． 13. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分，，则的长为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所得的圆周角是直角可得，从而利用角平分线的定义可得，然后利用圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为___________． 【答案】##6米 【解析】 【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即, 由得， ∴， 即路灯高． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点． 16. 如图，在矩形中，，点是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及最值问题，找到点的运动轨迹是解题的关键． 确定点的轨迹，根据勾股定理，判断出时有最大值，即可求解． 【详解】解：矩形中，，， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的上， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小，此时与相切，， 如图： ∵，， 在中，，， ∵，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴此时． 故答案为： ． 三、解答题（共11小题，满分88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：, ； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：, ． 18. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】略 19. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】（1）证明：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 得， ，， ， 或． 20. 如图1所示，六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误. 若由开始一次传球，则和接到球的概率分别是 、 ； 若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上，在下面的树状图2中 画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到手上的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)根据题目要求，球不得传给自己，也不得传给左手边的人，C在B的左手边，因此传给C的概率为0,B的右手边有四个人，因此传给F的概率为； (2)结合题目要求画出树状图即可求解. 【详解】解：∵C在B的左手边 ∴C接到球的概率为0； ∵B的右手边有四个人 ∴F接到球的概率为. 如图所示： ∵两次传球的全部可能情况有种，球又传到手上的情况有种， ∴故球又传到手上的概率为. 【点睛】本题考查的知识点是用画树状图法求事件的概率问题，读懂题意，画出树状图是解题的关键. 21. 如图，已知，为了求边的长，小亮想出了一个好办法：将边反向延长至点，使，连接，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！ （1）请你找出这对相似三角形，并进行证明； （2）求边的长． 【答案】（1） 解：． 证明：， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角． （1）由等边对等角求得，再推出，即可证明； （2）利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． ∵， ∴． 22. 小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； （2）求路线连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 【答案】（1）； （2）平均数为；方差为 （3） 解：建议选择路线B，理由如下： 从平均数的角度看，路线A的平均数大于路线B的平均数；从中位数来看，路线B的中位数小于路线A的中位数；从众数来看，路线B的众数小于路线A的众数， 综上所述，路线B比路线A更节约时间，故建议选择路线B． 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和方差，熟知相关中位数，众数，平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出平均数，再计算出方差即可； （3）路线B的中位数，平均数和众数都小于A对应的中位数，平均数和众数，据此可得结论． 【小问1详解】 解：路线A连续10天的用时按照从低到高排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，处在第5名和第6名的时间分别为，， ∴路线连续10天用时的中位数是； ∵路线B中，用时为的天数最多， ∴路线连续10天用时的众数是； 【小问2详解】 解：平均数为， 方差为； 【小问3详解】 略 23. 如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且垂直，平行（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，，请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果直接用三角函数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 过点作于点，作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再根据矩形的判定与性质可得的长，然后解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵试管倾斜角为， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∵，平行， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∵垂直，，， ∴在中，， ∴， 答：铁架杆与水槽之间的水平距离为． 24. 如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； （2）在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 【答案】（1） 如图，即为所作． 由切线的性质可知的圆心C与点O的连线平分， ∴作的角平分线，再过点P作的垂线，与的角平分线的交点即为点C，最后以点C为圆心，长为半径画圆即可； （2） 如图，即为所作． 根据切线的性质可过点P作的垂线，则圆心C在这条垂线上． 过点P作的垂线，交于点M， ∴． ∵， ∴． 再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C， 最后以点C为圆心，长为半径作圆，与交于点N． 【解析】 【分析】（1）结合切线的性质，即可得出圆心C与点O的连线平分，即作的角平分线，过点P作的垂线，两直线交点即可确定圆心C，即可解答； （2）结合切线的性质可过点P作的垂线，即确定圆心C所在直线．过点P作的垂线，交于点M，结合同角的余角相等，可证．再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，作图—作圆，切线的性质，角平分线的判定定理，同角的余角相等，垂径定理等知识．根据切线的性质，结尺规作图的基本方法是解题关键． 25. 如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分； （2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． ()分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得点的坐标为，点的坐标为，再分当时和 当时，两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， 解得：； 【小问2详解】 解：由（）可知， 将其代入对称轴公式可得：， ∴此抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：①当，，抛物线的解析式为，直线为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且： ∴把代入抛物线中， 可得， ∴， 把代入直线中， 可得， ∴， ∴的长为； ②由()知抛物线解析式为 ，直线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ∴， 第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图 ①当时，，, ∴二次函数，图象开口向下，对称轴为， ∵的长随的长增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图 当，， 此时，二次函数图象开口向上，对称轴为， 如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大， ∴时，满足的长随的长增大而增大； 综上，当或时，满足的长随的长增大而增大． 27. 大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 （1）小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 （2）思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 【答案】（1） ①，②，③，④； （2） 思路1：证明： 作等腰的底边上的高，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ， ，即， 即，展开整理可得， 思路2：证明：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使 ， 是直径． 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ， ，即 ，， ∽， ，即 ，， ，， ， ． ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．（1）根据思路中的相似三角形和全等三角形的性质可直接得到答案； （2）思路1：作等腰的底边上的高，设，，通过等腰直角三角形的性质表示出，证明，可得，即，即，展开整理可得，从而即可证明； 思路：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使由圆周角定理及圆内接四边形性质导角证明，得，即再证明，得，即故只需证明又，故只要证明即可，最后通过证明，即可得到 【小问1详解】 解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为、； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度育英外校数学学科阶段性作业二（九上） 注意：本作业共6页，27题，满分120分，时间120分钟 一、选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1. 在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 2. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 3. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 5. 若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ） A. 不存在这样的值 B. 有两个相等的的值 C. 有两个不相等的的值 D. 无法确定 6. 关于的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7. 若，则_____． 8. 若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为_______． 9. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 10. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 11. 用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 ________． 12. 已知抛物线．点，在抛物线上，总有，则的取值范围是_____． 13. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 14. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分，，则的长为 _______________． 15. 如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为___________． 16. 如图，在矩形中，，点是平面内一点，且，过点作交于点．当线段绕点在平面内旋转时，线段长度的最大值为_________． 三、解答题（共11小题，满分88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 19. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 20. 如图1所示，六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误. 若由开始一次传球，则和接到球的概率分别是 、 ； 若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上，在下面的树状图2中 画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到手上的概率. 21. 如图，已知，为了求边的长，小亮想出了一个好办法：将边反向延长至点，使，连接，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！ （1）请你找出这对相似三角形，并进行证明； （2）求边的长． 22. 小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； （2）求路线连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 23. 如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且垂直，平行（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，，请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果直接用三角函数表示）． 24. 如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； （2）在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 25. 如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，过点． （1）用含的式子表示； （2）求出此抛物线的对称轴； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，时，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围． 27. 大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 （1）小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 （2）思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $