精品解析：江苏省苏州市吴江区实验初级中学2025--2026学年上学期九年级数学月考试卷

吴江实验初中教育集团 2025-2026学年第一学期阶段性质量监测 初三数学 试卷分值：130分 考试用时：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 2. 如图，点，，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，如果 ，那么的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别是，5．对于下列结论：①；②方程的根是，；③；④当时，y随着x的增大而增大．其中正确的结论个数为（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为( ) A. 3 B. C. 6 D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知圆锥的母线长是5，侧面积是15π则这个圆锥的半径是_________． 10. 一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是____________. 11. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 12. 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 13. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 15. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为_____． 16. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 三、解答题（共12小题） 17. 计算： （1）． （2）求中锐角的值． 18. 解方程： （1） （2） 19. 十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． （1）小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 21. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是________，众数是________； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有________人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为________度． 22. 某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行5海里后到达处，在处测得小岛的方位是北偏东，求： （1）此时轮船与小岛的距离是多少海里？ （2）小岛点方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）求的面积． 24. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 25. 国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？ 26. 【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 （1）如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 27. 在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”． （1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____； （2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江实验初中教育集团 2025-2026学年第一学期阶段性质量监测 初三数学 试卷分值：130分 考试用时：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，， 这组数据的中位数是． 故选：B． 2. 如图，点，，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理可解答问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 在中，，如果 ，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，即可得出AB的值 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， 又∵ ∴AB=4 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 已知抛物线如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别是，5．对于下列结论：①；②方程的根是，；③；④当时，y随着x的增大而增大．其中正确的结论个数为（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一分析各结论的说法并选出正确的结论总结个数即可． 【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， 又∵抛物线交于y轴正半轴上， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，二次函数与x轴的交点分别为和， ∴方程的根是，，故②正确； 由图象可知，当时，， 当时，，故③正确； 由图象可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确， ∴正确的结论有：②③④，共3个， 故选：C． 5. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 6. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 7. 如图，，从下列条件“①；②；③；④．”中选择一个作为添加条件，使．这个条件可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 先由推出，再根据相似三角形的判定定理，分别分析四个条件是否能使． 【详解】解：因为．所以，即． ①，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ②，结合，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得； ③，仅这组边成比例，不能结合判定； ④，即，结合，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得． 综上，能使的条件是①②④， 故选：B 8. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为( ) A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，令即，所以当直线于相切时，最大，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知圆锥的母线长是5，侧面积是15π则这个圆锥的半径是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应的数值代入求解即可． 【详解】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR， ∴侧面积=， ∴R=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 10. 一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数是解答本题的关键．先画列表展示所有 种等可能的结果数，再找出两次均摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红1 红2 白1 白2 红1 红2，红1 白1，红1 白2，红1 红2 红1，红2 白1，红2 白2，红2 白1 红1，白1 红2，白1 白2，白1 白2 红1，白2 红2，白2 白1，白2 摸球的结果共有 12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有 2 种结果， 所以两次摸出的球都是红球的概率是． 故答案为：． 11. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 【答案】7或17 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 13. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为______________． 【答案】10米## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故答案为：米． 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 15. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求余弦，连接，，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出，则，再证明四边形是平行四边形，则，根据性质可得，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠图形轴对称的性质，设折叠后的圆心G，然后构造，证明，推出，易证是的中位线，从而求出关于的数量关系，进而根据轴对称的性质求出的长度，再由勾股定理求出，即可由垂径定理求出的长度，最后根据的取值范围得出的取值范围． 【详解】解：如图，折叠后与相切于点F，设点G为的圆心，点E为中点，连接，延长交于点P，交于点M， 设， 根据题意，得点G与点O关于对称，， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵折叠后与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点G与点O关于对称， ∴，， ∴点M是中点， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的折叠，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识点，求出关于长度的数量关系是解答本题的难点． 三、解答题（共12小题） 17. 计算： （1）． （2）求中锐角的值． 【答案】（1） 0 （2） α的值为 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）先计算零指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，再计算加减即可； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）直接开平方即可求解； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 19. 十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． （1）小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图； （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》共有中结果， 他选中《志愿军》的概率为， 故答案：； 【小问2详解】 解：表示如下：：《志愿军》、：《毒液》、：《浴火之路》 列表如下： 共有种等可能结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的结果有种， ， 答：小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为． 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据根的判别式即可求证； （）先把代入得，然后整体代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴． 21. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是________，众数是________； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有________人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为________度． 【答案】（1）162，162 （2）175，108 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，中位数及众数的定义，读懂统计图，并掌握中位数与众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）先求出全校男生总人数，进而求得B项目男生的选择人数即可，再先求出D项目所占的百分比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， ∴该组数据的中位数是， 该组数据中出现次数最多的为162， ∴该组数据的众数为162， 故答案为：162，162． 【小问2详解】 解：由A项目所占百分比可知，全校的男生人数为：（人）， ∴选择B项目的男生共有：（人）， 扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为：， 故答案为：175，108． 22. 某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，又继续航行5海里后到达处，在处测得小岛的方位是北偏东，求： （1）此时轮船与小岛的距离是多少海里？ （2）小岛点方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）5海里 （2） 解：有危险，理由如下： 如图：过P作的垂线，则， ∴， ∴有危险． 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、三角形外角的性质、等角对等边、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由方向角求出和，再根据外角的性质求出，可证明是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质求解即可； （2）如图：过P作的垂线，在直角中可以求出的度数是，从而根据角的性质求出的长，再把的长与3海里比较大小． 【小问1详解】 解：如图：由题意可得：，海里， ∴， ∴， ∴（海里）． 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、割补法求面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）将、点的坐标代入解析式即可； （2）过点作轴交轴于点，利用面积转化即可求解． 【小问1详解】 将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点． 【小问2详解】 如图，过点作轴交轴于点，则， ． ∴的面积为． 24. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 25. 国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？ 【答案】（1）游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）售价应调整为8.5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，利用该景区假期第三天游客人数=该景区假期第一天游客人数游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个，利用总利润=每个纪念章的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%； 【小问2详解】 解：设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应调整为8.5元． 26. 【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 （1）如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 （2）如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【答案】（1） 证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ， 平分 为的内心 （2） ①如图： ② 【解析】 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心 ， ，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求， ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值 当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接 是的内心 是的直径 ， 的半径长为5， ，， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”． （1）抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____； （2）如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值． 【答案】（1） （2） 四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由，解得或， ∴，， ∵点关于原点对称，点关于原点对称， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（）根据“旋转抛物线”的定义解答即可； （）分别求出点的坐标，根据四边形的对角线互相平分即可求解； （）利用中心对称轴图形可得，设，过点作轴于，过点作于，由相似三角形的判定和性质得，即得，进而得到，解得，即得，，连接，作于，根据三角形的面积可得，最后根据正弦的定义计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点作轴于，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， 连接，作于， ∵，， ∴，，，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的新定义，二次函数的性质，二次函数的几何应用，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，两点间距离公式，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $