精品解析：安徽省合肥市包河区2025－2026学年九年级上学期期末教学质量检测数学模拟试题卷

安徽省合肥市包河区2025~2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学模拟试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦，根据正弦函数的定义，在直角三角形中， 等于的对边与斜边的比值． 【详解】解：如下图所示， 在中，，斜边为，的对边为， ． 故选：C． 3. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 4. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形（），点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】要解决该问题，需结合黄金矩形的定义（宽与长的比值为黄金分割数）与正方形的性质（四边相等）．通过设的长度为未知数，利用矩形边长关系和黄金矩形的比例建立方程，求解后对应选项得出答案． 【详解】解：设． 因为四边形为正方形， ． 又，且， ． 矩形为黄金矩形（），由黄金矩形的定义可知， 宽与长的比值为， 即． 将，代入上述比例式，可得： 交叉相乘去分母，得： 展开右边并化简： 移项合并同类项：得： 整理得： 解得，即． 故选：C． 【点睛】本题解题核心是黄金矩形的定义（宽与长的比为）和正方形的边长相等性质，通过设未知数建立方程求解，体现了几何问题中方程思想的应用．解题时需注意比例关系的方向（，故为宽、为长），确保比例式的正确性． 5. 某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案； 【详解】解：设利润为w，由题意可得， ， ∵，， ∴当时w最大， 故选B； 【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解． 6. 已知在与中，点分别在边、上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果，如果从下列条件中增添一个条件，一定可以判定与相似的是（ ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与 的高； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，通过分析三个条件，结合已知比例关系，利用相似三角形的判定定理进行推导，条件①和②可以推出三角形相似，而条件③不一定成立，存在反例． 【详解】解：如下图， ∵， ∴， ∴， ①分别是与的角平分线， ∴， ∴， ， ， ∴； ②分别是与的中线； ∴， ∴， ∴， ， ， ∴； ③分别是与 的高； 虽有，但与不一定成比例，反例： 设中， 则； 中， 则； 满足比例但，故不一定相似， ∴一定相似的条件是①②， 故选：A． 7. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 8. 如图，点A在反比例函数y＝的图像上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一点，则△APM的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以S△APM＝S△AOM＝|k|＝4． 【详解】解：连接OA ∵点A在反比例函数y＝的图像上， ∴S△AOM=|k|=×8=4 ∵S△AOM＝S△AMP， ∴S△APM＝4， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是|k|．本知识点是中考的重要考点,应重点掌握． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的性质，根据比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 12. 抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线在对称轴右侧下降，表明抛物线开口向下，因此二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线的二次项系数为， 由题意，抛物线开口向下， 故， 解得， 故答案为：． 13. 如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 14. 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值计算，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在四边形中，对角线与交于点，，过作对角线的垂线交边于点，垂足为点，已知． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，由锐角三角函数比得出，即，然后利用等量代换得出，最后利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论； （2）证明，得出，假设，，则，证明，，得出对应边成比例，表示出相关线段的长度，然后求出等式左右两边的值进行比较即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 假设，，则， 由勾股定理得， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 18. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】（1）图1的正方形面积较大 （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【答案】（1）； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ② 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． （1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度； ②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①略 ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； （3）将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点代入求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案； （3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； 【小问3详解】 解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）30 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ． （1）如图， 如果 ， 求证： ； （2）如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围 （3）联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长． 【答案】（1）证明过程详见解答； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，再证明，从而命题得证； （2）在上截取，先证明是正三角形，再证明，进一步求得结果； （3）当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，证明，，可推出，再证明，可推出，从而求得，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，先根据求得，进而求得，根据，，和，从而求得，根据三角形三边关系否定，从而确定的结果． 【小问1详解】 解：证明：四边形是菱形，， 菱形是正方形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1， 在上截取， 四边形是菱形， ，， 是正三角形， ，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， 当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于， ，，，， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， ， 如图3， 当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于， 作于， ， ， 由得， ， ， ， 由第一种情形知：，， ，， ①，②， 由①②得， ， ， ， ， 即， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市包河区2025~2026学年第一学期期末教学质量检测九年级数学模拟试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形（），点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 已知在与中，点分别在边、上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果，如果从下列条件中增添一个条件，一定可以判定与相似的是（ ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与 的高； A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 7. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数y＝的图像上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一点，则△APM的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，那么______． 12. 抛物线在对称轴的右侧下降，那么的取值范围是___________． 13. 如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______． 14. 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则______（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在四边形中，对角线与交于点，，过作对角线的垂线交边于点，垂足为点，已知． （1）求证：； （2）如果，求证：． 18. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； （3）将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 八、（本题满分14分） 23. 已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ． （1）如图， 如果 ， 求证： ； （2）如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围 （3）联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $