精品解析：广东省江门市新会区正雅学校2025－2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

江门市新会区正雅学校2025-2026学年第一学期12月月考 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 函数的自变量的取值范围是（） A. B. C. D. 且 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而减小 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 6. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在理想状态下，某电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的电量y（）与行驶里程x（）之间的关系如图．当电池剩余电量小于时，电动车将自动报警．根据图像，下列结论正确的个数（　　） ①电池电量最多可充 ②电动车每行驶消耗电量 ③电动车充满电后，行驶超过将自动报警 ④一次性充满电后，电动车最多行驶 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（ ） A. -0.4 B. -0.04 C. 0.4 D. 0.04 10. 如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 13. 已知正比例函数（m为常数），若y随x的增大而减小，则________． 14. 如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为______． 15. 如图，四边形与均为矩形，如图放置，使得G，D，C共线，B，C，E共线，取中点M，连接，交于点H，若，，则______． 三、解答题（每题7分，共21分） 16. 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误． （2）任务二：请你写出正确的计算过程． （3）任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 17. 图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． （1）在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． （2）在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 18. 海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求的长． 20. 学校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小广在活动一中速度是活动二中速度的1.4倍，设小广在活动二中的速度为x米/秒． （1）若小广在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小广在活动一中的速度； （2）活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． 若这条路线的总路程为36米，小广和小雅依次完成活动三后，小广说：“咱俩共用时42秒”，小雅说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”，求这两名同学各跑了多少秒？ 21. 已知：正方形，点P是对角线所在直线上的动点，点E在边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，总成立． （1）如图1，当点P在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并加以证明； （2）如图2，当点P运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P运动到的反向延长线上时，判断此时与有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点E，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 23. 综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，．同学们通过对矩形进行折叠开展了探究活动．如图1，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与，分别交于点，，点的对应点分别为点． ①如图2，若点恰好落在线段上，连接．求证：； ②若点恰好落在边上，连接与相交于点，连接，点为的中点，连接．若．请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市新会区正雅学校2025-2026学年第一学期12月月考 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 函数的自变量的取值范围是（） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分数有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．函数分母为平方根，需满足被开方数非负且分母不为零，可以求出的范围． 【详解】解：分母要求且， ，即， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式乘多项式、整式的除法和合并同类项等知识．需要根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选B． 3. 如图，在中，，，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，再运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的外角， ∴． 故选：A． 4. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质， 根据正比例函数中，则图象经过第二、四象限，判断B；再将代入关系式判断 A；然后根据，函数值 y 随 x 的增大而减小，判断C、D即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误； 当时，， ∴图象经过点，故A错误； ∵， ∴ y 随 x 的增大而减小， 故C错误，D正确． 故选：D． 5. 下列命题中，正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，故本选项不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故本选项不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，原说法错误，故本选项不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，则说法正确，故本选项符合题意， 故选：D． 6. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 7. 如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用勾股定理求出米，可知米，从而可知米． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米， 米， 在中，米， 米， 米． 故选：A． 8. 在理想状态下，某电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的电量y（）与行驶里程x（）之间的关系如图．当电池剩余电量小于时，电动车将自动报警．根据图像，下列结论正确的个数（　　） ①电池电量最多可充 ②电动车每行驶消耗电量 ③电动车充满电后，行驶超过将自动报警 ④一次性充满电后，电动车最多行驶 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，根据当时，可判断①；求出每千米消耗的电量，再乘以10即可判断②；求出消耗电量时，行驶的路程可判断③；根据当时，可判断④． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故①正确； ， ∴电动车每行驶消耗电量，故②错误； ， ∴电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故③正确； 由函数图像可知，当时，， 一次性充满电后，电动车最多行驶，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 9. 定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（ ） A. -0.4 B. -0.04 C. 0.4 D. 0.04 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的运算和幂的相关运算，求出关于m，n的式子再进行求解. 【详解】∵，， ∴5m=0.4,5n=4 ∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04 故选D. 【点睛】此题主要考查实数新定义的运算，解题的关键是根据题意求出相关式子，再根据幂的运算法则进行求解. 10. 如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 13. 已知正比例函数（m为常数），若y随x的增大而减小，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据正比例函数的定义，求出m的可能值，再根据函数的增减性，得到比例系数需小于0，从而确定m的值． 【详解】解：∵函数为正比例函数， ∴，即， 解得：， 又∵随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴．先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点A表示，可得点C表示的实数． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点A表示的数为，点C在点A的右侧， 点C表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，四边形与均为矩形，如图放置，使得G，D，C共线，B，C，E共线，取中点M，连接，交于点H，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．延长交于点，先证四边形为矩形得，，然后在中由勾股定理求出，再证和全等得，进而可求出的值． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 四边形和四边形都是矩形，，， ，，， ，， 四边形为矩形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ，， ∴， ， 又是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（每题7分，共21分） 16. 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误． （2）任务二：请你写出正确的计算过程． （3）任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）二 （2） 解：， ， ， ； （3）；6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题； （3）注意分式无意义的条件，将代入化简后的式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：……第一步， ……第二步， 小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：且， 解得且， 当时， 上式． 17. 图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． （1）在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． （2）在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 【答案】（1） 如图①中，点即为所求， （2） 如图②中，点Q即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识． （1）取上的格点，得到，利用等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可确定一点P，使点P到边的距离相等； （2）根据三角形的中线平分的面积，利用矩形的性质确定边的中点Q即可． 【小问1详解】 ∵， ∴由图可得平分， ∴点P到，的距离相等． 【小问2详解】 由图可得点Q是的中点， ∴是的中线， ∴． 18. 海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）若，，求的长． 【答案】（1） 是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2） 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴平分． （3）5 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质解答即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质证明平分即可． （3）根据等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故． 20. 学校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小广在活动一中速度是活动二中速度的1.4倍，设小广在活动二中的速度为x米/秒． （1）若小广在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小广在活动一中的速度； （2）活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． 若这条路线的总路程为36米，小广和小雅依次完成活动三后，小广说：“咱俩共用时42秒”，小雅说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”，求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）4米/秒 （2）小广同学跑了15秒，小雅同学跑了27秒 【解析】 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，读懂题意，准确列出分式方程是解决问题的关键． （1）根据“进行两项活动共用时28秒”列出分式方程，求解即可； （2）设小广跑了秒，则小雅跑了秒，则小雅的速度为米/秒，根据小雅的速度乘时间等于这条路线的总路程列出分式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广在活动一中的速度4米/秒； 【小问2详解】 解：设小广跑了秒，则小雅跑了秒，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广同学跑了15秒，小雅同学跑了27秒． 21. 已知：正方形，点P是对角线所在直线上的动点，点E在边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，总成立． （1）如图1，当点P在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并加以证明； （2）如图2，当点P运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P运动到的反向延长线上时，判断此时与有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）． 【答案】（1） 解：猜想：， 证明：如图1中， ∵四边形是正方形，为对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 解：（1）中的结论成立． 证明：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），． 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）证明，即可解决问题． （2）证明，即可解决问题． （3）结论，．利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示：结论：①，②． 理由：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则 ． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点E，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】【类比探究】；（1）217；（2）12；【拓展】60 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 类比探究：由图①所得到的等式，进行变形即可； （1）由，代入即可求出答案； （2）设，由题意得，由代入计算即可； 拓展：设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：类比探究：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为， 故答案为：； （1）∵，， ∴， 故答案为：217； （2）设，则，， 所以 ； 拓展：设，由题意得，，，即， ， 即种草区域的面积和为60． 23. 综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，．同学们通过对矩形进行折叠开展了探究活动．如图1，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与，分别交于点，，点的对应点分别为点． ①如图2，若点恰好落在线段上，连接．求证：； ②若点恰好落在边上，连接与相交于点，连接，点为的中点，连接．若．请直接写出线段的长度． 【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质得：，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2）①证明：如图，设与折痕交于点，过点作于点． ∴， 由（1）已得：四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据正方形的判定即可得； （2）①设与折痕交于点，过点作于点，先得出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； ②分两种情况：当点在上时，连接；当点在上时，连接；先利用勾股定理求出的长，再求出与的长，利用勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵在矩形纸片中，，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 如图，当点在上时，连接， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵在中，点为斜边的中点， ∴； 如图，当点在上时，连接， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：垂直平分，， ∴，，， ∴在中，， ∴此时，即点与点重合， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∵在中，点为斜边的中点， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、正方形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $