安徽省九师联盟2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试卷

高三数学参考答案、提示及评分细则 1A-+部部-10结=号十甘放在复平面内，复数：对应的点为导·号)，位于第一象限成送A (4+3i)(4一3i) x<3,所以A={-2,-1,0,1,2}:由x2-x-2>0,得x< {x|-1≤x≤2}，所以A∩(CB)={-1,0,1,2}.故选C. 3.D因为a与b共线，所以m(m十3)-(-2)×1=0，即m2十31+2=0，解得m=-1,或m=-2.故选D. 4A由题意得F(号，0)，C的准线方程为x=一专，放F关于准线的对称点为（一碧，0），所以-碧=一6，所以p=4, 所以2=8，所以8=16，所以=2，所以EF=号+x=4.故选A 5.C由a=-2,易得4∥l2,故“a=-2”是“L1∥l2”的充分条件；由l1∥l2,得a(a-1)-2×3=0,且-2a-3(1一a)≠0， 所以a=一2，故“a=-2”是“l∥2”的必要条件，故“a=-2”是“l∥l2”的充要条件.故选C. 6.B由题意知C为半圆，E为正方形，画出曲线C和曲线E(如图所示)，易知当a=2√2时， 22 曲线E与C有两个公共点，当a=2时，曲线E与C有三个公共点，当2<a<22时，曲线 E与C有4个公共点，当a∈(0,2)U(2/2,+∞)时，曲线E与C无公共点.故选B. 7.D不妨设|PF|>|PF2|,记|PF|=1,IPF2|=,|FF2|=2c,由|PF| 22 |PF|=2a,得m2+n2-2m=4a2.在△PFF3中，由余弦定理，得m2+2-mn=4c2.两 式相减，得m=4(2-d2),因为0为FE的中点，所以Pi=号(P+P时)，所以P心 -(PF+P呢)2=(m++2mcos吾)又OP=56,所以26=m++mn,所以m+f=16(d-d). 又m+r-m=4e,所以15(e-a2)-4e-G)=4c,解得c=a,所以e。 .故选D 8.C由g(x)=f(f(x))一1恰有5个零点，则关于x的方程f(f(x))=t恰有5个相异实根，令f(x)=m,问题转化 为满足fx)=m, 的x恰有5个不同的解.作出函数f(x)的图象，如图所示，由图易得：当t<2时，关于m的方程 f(m)=t, f(m)=t仅有一个实根o,且<0，此时f(x)=仅有1个实根，不合题意；当1=2时，f(m)=1仅有两个相异实 根一√2,1，而f(x)=一√2，f(x)=1各仅有1个实根，不合题意；当2<1≤4时，f(m)=t仅有3个实根m,2,,且 m1≤0<<1<3≤e,f(x)=m:(i=1,2)各仅有1个实根，且两实根均小于一√3，则f(x)=有三个实根，必有 2<s≤4，所以n2+2=f(2)<t≤f(4)=2ln2+2.又2<t≤4，所以ln2+2<t≤2ln2+2,此时的5个实根互不相等， 即gx)怡有5个零点：当>4时，f(m)=1仅有2个相异实根m,m,且0<m<是，m%>心，此时f(x)=m仅有 1个实根，f(x)=5有2个实根，不合题意.所以实数t的取值范围为(ln2+2,2n2+2].故选C. 【高三12月质量检测·数学参考答案第1页（共6页）】 9.AC用一x换方程中的x,化简后方程不变，故C关于y轴对称，同理可得C关于x轴对称，故AB均正确；由一+y =1,得=1-号≥0，-2≤x≤2，同理-1≤y≤1，故C正确：0P=㎡+7=厂n++4= 一(2一)+需，当”=士号时，OP引取得最大值屉>2，放D错误.放选ABC. 10.BCD f()=2sin ox( +号，由题意知八x)的图象关于直线x=一吾对称，也关于直线x登对称，且了(x)在[意：】]上单调递缩，所 以f(x)的半个周期3-登-(-吾)=受，所以T=,所以w=1,即f(x)-sm(2x一晋)+气，符合题意.当z∈ [子，吾]时，2-哥∈[-经，-]，此时sin(2x吾)[-，]，所以fx)在[-受，吾]上的值域为 [0,51g)=m[2()-吾]+9=-6s2x+当x∈[音，-吾]时，2z∈[-，]，此时g0e [,2生]，所以g)>1,放方程g()=1在[-吾，吾]内无解： 曲线)=g()(∈[-受，受])与直线y=2生5所围成的图形的面积等于 2 y=一c0s2x在一受，受上的图象与直线)y=1所围成的图形的面积，由y= 一cOs2x图象的对称性知所求面积等于图中阴影部分的面积，该面积为π×1=π，故D正确.故A错误，BCD正确.故 选BCD. 1D将E的坐标代入C的方程，得是十亦=1，因为。一厚，所以√吾-，二者结合可解得心=4,6=1，故C a2 2 的方程为+=1.设B为C的上顶点，则|BF=BF,=2,所以cos∠F,B0=号(0为原点)，又∠F,BO∈ (0,),所以∠FB0-吾，所以∠FBF:=,即∠FPR的最大值为经，由椭圆的对称性知使得∠FPF=牙的点 仅有2个，放A错误：由椭圆的定义得PR,+IPF=4,所以十P=子(PT十PT） 2 2 8 P+P)=(1o++)≥10+2)=号当且仅当=，即 |P吓，=2P明=号时等号成立，放B正确：设P(w),M(,y),则=2，%=y,所以2+y=1,即 4 父+y了=1，放C正确：由题意知点E在圆x2+y少=1外，且点E到圆x2+=1的圆心的距离为√(2)+（号） 零所以1EM1m=受-1=-3,1BM=+1=+2,放1M的取值范图为D-2, 2 2 2 2 2 ⑥+2]，故D正确.故选BCD 2 12.2x一y=0,或x一y十1=0法1：若l在x轴上的截距为0，则1过点(0,0)，l的方程为2x-y=0;若l在x轴上的截 距不为0，设为a,则在y轴上的截距为-a,则1的方程为名+兰。=1，将点(1,2)代人，得+二。=1，解得a=-1, -a 1的方程为x一y+1=0.故直线l的方程为2x一y=0,或x-y十1=0. 【高三12月质量检测·数学参考答案第2页（共6页）】 法2：显然1的斜率存在且不为0，设为，则1的方程为y一2=6(x一1)，则1在x轴轴上的截距分别为一号+1， 2-,所以2一-会+1=0，解得k=1,或k=2,放直线1的方程为y-2=x-1,或y-2=2(x-1,即2x一y=0,或 x-y+1=0. 1.389设AB=,在△ABC巾，an0-元所以BC-停.同理在△ABD中，BD=无在△BCD巾，由余弦定理，得 DC=BD2+Bc0-2BD.Bc0s30=r+3x2-t=32,即225=号2，所以x=255≈389.25≈389. 14.2设x=30=5,由题意得x+y=2+y(>0),即(x-号）+(y)广=号(x>0>0),在平面直角坐 标系中表示半圆，令x十y=t,画出图形如下： 0 当直线x+y=1经过圆心时，1=弓十名=1：当直线x十y=1与半圆相切时，圆心（分，号）到直线x十y=1的距离 +- √I+I ,解得=2,1=0（舍去），故x十y∈(1,2].而x2+y=x十y=1,所以xy=+y)2（2+y2 2 子，所以27+12*=x+y=(+yw-x+)=P-3x号×1=-+号0，令1)=-P+2, 则f)=-是+31=-号11-2)，易知当(1,2]时，()≥0，所以fD)在(1,2]上单满递增，所以f1) =f(2)=2.综上所述，27十125的最大值为2. 15.解：(1)由题意知所求抛物线的焦点在x轴的负半轴上，设其方程为y=一2px(p>0), 与x=9联立，得y2=18p,…2分 因为所得线段长为9，所以2V8p=9,解得p=8, 9 故所求抛物线的方程为y=一9 4, …4分 (②)由题意知可设双曲线的方程为片系-1(。>0，b0), 由双曲线的定义得2a=/(-2-0)2+[5-（-6)卫-√/(-2-0)2+(5-6)z, 即2a=45,所以a=2√5.… …6分 形=62一(25)2=16，故所求双曲线的方程为6=1.中 …8分 (3)设所求双曲线的方程为号-2-X(x≠0)， …9分 将点（厄，2）代人方程，得4-2=X… 10分 解得X=-1,放兰-2=-1， 12分 【高三12月质量检测·数学参考答案第3页（共6页）】 故所求双曲线的方程为父-兰-1 13分 16.(1)证明：取棱PB的中点G,连接FG,CG, …1分 因为FG为△PAB的中位线，所以FG∥AB,且FG=AB,… …2分 因为四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，所以EC∥AB,且EC=号AB, …3分 所以FG∥EC,FG=EC,所以四边形CEFG为平行四边形， …4分 所以EF∥CG. 又EF丈平面PBC,CGC平面PBC, 所以EF∥平面PBC.… 6分 (2)解：分别取棱AD,BC的中点O,M,连接OP,OM,则OM⊥AD. 因为PA=PD,O为AD的中点，所以PO⊥AD,…7分 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,因为OMC平面ABCD,所以PO⊥OM,…8分 所以直线PO,OD,OM两两垂直，以O为原点，直线OM,OD,OP分别为x轴，y轴， D 之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,一1,0)，C(2,1,0),E(1,1,0), A0,-1,0),P0,0,2,所以F(0,-21,成=(1，-2,0)，萨=(-1，-号1）， BC=(0,2,0),PB=(2,-1,-2). …9分 EF·m=0, 设平面BEF的一个法向量m=(x,y,之)，则 即 -x-十=0 E3·m=0, 令y=1,解得x=2=子， (x-2y=0, 所以m=(21,名). …11分 PB·n=0,2a-b-2c=0, 设平面PBC的一个法向量n=(a,b,c),则 即〈 令c=1,解得b=0,a=1, BC.n=0, 2b=0, 所以n=(1,0,1).… …13分 记平面BEF与平面PBC的夹角为0，则cos0-|cos(m,m|=Tm÷m m·n 2 11√138 138 N4 即平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值为山38 138 …15分 17.解：(1)因为(n-1)a+1=am+1, 1 2分 6所y出之2时，a十=0—=…=2=2， 2-1 …4分 所以an=21-3(n≥2).… 6分 当n=1时，a1=一1，符合上式，所以an=21一3.… …7分 2由1得6，=(-1Da-0m+D=《-1D(2+3)》 An 9分 当n为偶数时， 【高三12月质量检测·数学参考答案第4页（共6页）】 5.=-(1+3)+(3+号）-（号+7）++(2+223)-(23十2)+(2十2） =-1+2m+ 1 12分 当n为奇数时， 5=S1-61=-1+2wD币(-1)(2h十2十） 1 1 =-1+2m+32m+2n+3=-1-2m+1' 一1 21十1n为奇数， 所以Sn= 15分 1 -1+2十n为偶数. 18.解：(1)由题意知QP|=|QF|,|PC=4,点F在圆C内部， 1分 所以|QC+|QF|=|QC|+|QP|=|PC|=4>|CF|=2,由椭圆的定义知，点Q的轨迹是以C,F为焦点，长轴长 为4的椭圆. 设其方程为后十芳=1(。>6>0).则2a=4,V后一-万=1，…3分 所以d=4,G=3,放E号+苦-1. …4分 B T (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),当k1=1时，直线1的方程为y=x-1,代入E的方程并化 简，得7x2-8.x一8=0，…5分 设M(y),N(n),则a十=号a= 7 /64+32_12/2 所以1y-y|=|一1=√(1+2)=4红1=√49+7 …7分 所以四边形AMBN的面积S=AB1M-=之×4×12，平_24平 7 …9分 (3)设l的方程为x=my+1(m≠0)，代入E的方程并化简，得(3m2+4)y2+6my一9=0， 显然判别式△>0，设M(x1,y),N(x2,2),则D(一x1,一y), 6m 9 十边=一3m7+4019=一3m㎡+43… 11分 所以直线AD的方程为y一产2x十2)， 直线BN的方程为y=业2x2),… 12分 y 2(x+2), x=一4myy+2(y+边) 2一y1 由 解得 14分 y= 2-2(x2), y=- 4y1y2 2-y1 4y12 -4X3+4 -9 y2一y1 所以k,=-4my边+2(y于2】 3 -mX是+2X平 -9 16分 y2-yi 【高三12月质量检测·数学参考答案第5页（共6页）】 3 又=，所以= k11 2气号，即经为定值，且定值为号……… 21 多 19.解：(1)由f(x)=1n(x+1)-2g=h(x+1)-2+20 xfa xta 1 2a 得f(x）=币(… …2分 当a=3时f0)=1-号-子0)=0， 所以曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线方程为y一0=弓(x一0)，即)=子.…4分 (2)因为f(x)在[0，十∞)上单调递增，所以Hx∈[0，+∞)，f'(x)≥0. … …5分 由(1)知(x)=1 2a x2+a2-2a =x中（十a)=(x+)(x+a)≥0， …6分 因为x+1>0,(x+a)2>0,所以x2+a2-2a≥0，即a2-2a≥-x2在[0，+o∞)上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a≥2， 即a的取值范围为[2，十∞).…8分 (3)①当a≥2时，f(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)不存在极值，不合题意；………9分 x2-1 x一1 @当a=1时(x)=++D-干所以当-1<<1时f(x)<0:当>1时，f（)>0,所以 f(x)在（一1,1）上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)无极大值，不合题意；… ……10分 ③当1<a<2时，f(x)的定义域为(-1，+∞)，2a-a2∈(0,1)， 令f(x)=0,得x=-√/2a-a,x2=2a-,当x∈(-l,m)U(2,十o∞)时，f(x)>0,当x∈(x1,2)时， ∫(x)<0,所以∫(x)在（一1，x1),(x2,+∞）上单调递增，在(G1,x2)上单调递减， 所以∫(x)的极大值为f(x),极小值为∫(2)，且∫(x1)>f(2),不合题意；…11分 ④当0<a<1时，f(x)的定义域为(-1，一a)U(-a,+o∞)，2a-a2∈(0,1)，且√2a-a>a,…12分 令f(x)=0,得x=-√/2a-a,x2=√2a-a,且-1<x1<-a, 当x∈(-1，)时，f(x)>0:当x∈(x,一a)时，f(x)<0:当x∈(-a,m)时，f(x)<0: 当x∈（2，十∞)时，f(x)>0,… …13分 所以f(x)在（一1，x1)上单调递增，在(1，一a)上单调递减，在（一a,2)上单调递减，在(x2,+o∞）上单调递增， 所以fx)的极大值为f),极小值为f),且a)=n+1D-2计2。 f(m)=ln(m+1)-2+、2a 15分 0%y……… f(a)-f()=h(a+1D-1h(+1)+2a-2a=h+2a(-) x1+a x2+a x2+1T(x1+a)(x2+a) 2a(x2-x) 因为<一a<所以n0十o4十<0，所以f(a)-f八a)<0, 即f(x1)<f(2),符合题意， 综上所述，a的取值范围为(0,1).… …17分 【高三12月质量检测·数学参考答案第6页（共6页）】 高三数学 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围:直线与圆,圆锥曲线。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。 1. 在复平面内,复数 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 3. 已知向量 ，若 与 共线，则实数 A. -1 B. 2 C. -1 或 2 D. -1 或 -2 4. 已知抛物线 的焦点 关于 的准线的对称点为 ,则 上的点 到点 的距离为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知直线 ，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若曲线 与曲线 仅有 4 个公共点,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为 上一点,若 , ( 为坐标原点),则 的离心率为 A. B. 2 C. D. 8. 已知函数 若函数 恰有 5 个零点,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知曲线 为 上一点, 为坐标原点,则 A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为 2 10. 已知函数 在 上单调递增,直线 和直线 是 的图象的两条对称轴,将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则 A. B. 在 上的值域为 C. 方程 在 内无解 D. 曲线 与直线 所围成图形的面积为 11. 已知 为椭圆 的左、右焦点， 为 上一点， 的离心率为 ， 为 上的一个动点, 轴,垂足为 ,线段 的中点为 ,则 A. 使得 的点 有 4 个 B. 的最小值为 C. 点 所在的轨迹方程为 D. 的取值范围为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 过点 且在 轴与 轴上的截距互为相反数的直线 的方程为_____. 13. 紫峰大厦为南京最高的大楼,某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量: 在水平的地面上选择三个点 ,点 作为测量基点,设大厦主体的最高点为 ( 与水平面垂直),在点 和点 处测得点 处的仰角分别为 和 ,测得 米,测角仪的高度不计,则紫峰大厦主体的高度约为_____米(精确到整数位)( ). 14. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) (1)求顶点在原点，对称轴为 轴，且与直线 相交所得线段长为 9 的抛物线的方程； (2)求焦点为 ， ，且过点 的双曲线的标准方程； (3)求与双曲线 有相同的渐近线，且过点 的双曲线的标准方程. 16. (本小题满分 15 分) 如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为棱 和 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 17. (本小题满分 15 分) 在数列 中, . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求 的前 项和 . 18. (本小题满分 17 分) 已知圆 ,点 为圆 上的动点,线段 的中垂线交线段 于点 , 当点 在圆 上运动时,点 的轨迹为曲线 . 设 与 轴交于点 (点 在 轴的负半轴上), 过点 且斜率为 的直线 交 于点 . (1)求 的方程； (2)当 时,求四边形 的面积; (3)若点 关于原点 的对称点为 ，直线 ， 交于点 ，记直线 的斜率为 ，判断 是否为定值？若是定值, 求出该定值; 若不是定值, 请说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 在 上单调递增，求 的取值范围； (3)若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：直线与圆，圆锥曲线。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.在复平面内，复数= 丰对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A= ∈Z>0,B=r-x-2>0,则An(CB)= A.[-1,2 B.(-∞，-2]U(3,+∞) C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2 3.已知向量a=(-2,m十3)，b=(m,1),若a与b共线，则实数m A.-1 B.2 C.-1或2 D.-1或-2 4.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点F关于C的准线的对称点为（一6,0），则C上的点E(xo,4)到 点F的距离为 A.4 B.6 C.8 D.10 5.已知直线l:ax+2y-a十1=0，l2:3x+(a-1)y-2=0,则“a=-2”是“l1∥l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.若曲线C:y=√4-x2与曲线E:|x|+|y|=a(a>0)仅有4个公共点，则实数a的取值范围为 A.[2,22) B.(2,2√2) C.(2,2) D.[2,22] 7.已知双曲线E:若-芳-1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为，F,P为E上一点，若∠FPF,= y 3 OP|=√5b(O为坐标原点)，则E的离心率为 A.5 B.2 c 【高三12月质量检测·数学第1页（共4页）】 4-x2,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(f(x))一t恰有5个零点，则实数t的取值范 1lnx+2,x>0, 围为 A.(2,e2] B.(n2+2,4] C.(ln2+2,2ln2+2] D.(2,4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线C千+y=1,Pm,0为C上一点，0为坐标原点，则 A.C关于x轴对称 B.C关于y轴对称 C.m,n的取值范围分别为[-2,2]，[-1,1] D.|OP|的最大值为2 10.已知函数fx）)=2 sin(ox一晋）(。>0)在[一是·]上单调递增，直线x=一竞和直线x-段 是f(x)的图象的两条对称轴，将f(x)的图象向右平移变个单位长度得到函数g(x)的图象，则 A.w=2 B.f(x)在[-受，否]上的值域为[0] C方程gx)=1在[一受，-晋]内无解 D.曲线y一g(x)(∈[一受，乏])与直线y一2生所围成图形的面积为x 1.已知五，F为椭圆C:三+芳-1(a>b>0)的左，右焦点，E(反，号)为C上一点，C的离心率为号。 P为C上的一个动点，PQ⊥y轴，垂足为Q,线段PQ的中点为M,则 A使得∠F,PF:=的点P有4个 &TP十TP的最小值为 2 8 C.点M所在的轨迹方程为x2+y2=1 D.|EM的取值范围为10-2，o+2 2 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点(1,2)且在x轴与y轴上的截距互为相反数的直线l的方程为 13.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水 平的地面上选择三个点B,C,D,点B作为测量基点，设大厦主体的最高点为A (AB与水平面垂直)，在点C和点D处测得点A处的仰角分别为60°和45°，测得 ∠DBC=30°，CD=225米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）(3≈1.73) 14.已知实数a,b满足3a+5=9+25,则27十125的最大值为 【高三12月质量检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)求顶点在原点，对称轴为x轴，且与直线x一一9相交所得线段长为9的抛物线的方程； (2)求焦点为(0，一6)，(0,6)，且过点（一2,5）的双曲线的标准方程； (3)求与双曲线Y一=1有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别为棱CD 和PA的中点. (1)证明：EF∥平面PBC: (2)若AD=2,PA=PD=√5，求平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值. D 、、E 17.(本小题满分15分) 在数列{an}中，a2=1,(n-1)au+1=1am十1. (1)求{an}的通项公式： (2)若，=(-1)4，求{bn}的前n项和S: antlan+2 【高三12月质量检测·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)》 已知圆C:(x十1)2+y2=16,F(1,0),点P为圆C上的动点，线段FP的中垂线交线段CP于点Q, 当点P在圆C上运动时，点Q的轨迹为曲线E.设E与x轴交于点A,B(点A在x轴的负半轴上)， 过点F且斜率为k1(k≠0)的直线l交E于点M,N. (1)求E的方程： (2)当k,=1时，求四边形AMBN的面积； (③)若点M关于原点O的对称点为D,直线AD,BV交于点G,记直线0G的斜率为：，判断鲁是否 为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 19.(本小题满分17分) 已知函数f)=ln(+1D平aa>0》. (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在[0，十o∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)若f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求α的取值范围. 【高三12月质量检测·数学第4页（共4页）】 高三数学参考答案、提示及评分细则 1. ,故在复平面内,复数 对应的点为 ,位于第一象限. 故选 A. 2. 由 ,得 ,所以 ; 由 ,得 ,或 ,所以 ,所以 . 故选 C. 3.D 因为 与 共线,所以 ,即 ,解得 ,或 . 故选 D. 4. 由题意得 的准线方程为 ,故 关于准线的对称点为 ,所以 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选 A. 5. 由 ，易得 ，故 “ ” 是 “ ” 的充分条件；由 ，得 ，且 ， 所以 ，故 “ ” 是 “ ” 的必要条件，故 “ ” 是 “ ” 的充要条件. 故选 C. 6. 由题意知 为半圆， 为正方形，画出曲线 和曲线 (如图所示)，易知当 时，曲线曲线 与 有两个公共点,当 时,曲线 与 有三个公共点,当 时,曲线 与 有 4 个公共点,当 时,曲线 与 无公共点. 故选 B. 7. 不妨设 ,记 ,由 ,得 . 在 中,由余弦定理,得 . 两式相减,得 ,因为 为 的中点,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 . 又 ,所以 ,解得 ,所以 . 故选 D. 8. 由 恰有 5 个零点,则关于 的方程 恰有 5 个相异实根,令 ,问题转化为满足 的 恰有 5 个不同的解. 作出函数 的图象,如图所示,由图易得: 当 时,关于 的方程 仅有一个实根 ,且 ,此时 仅有 1 个实根,不合题意; 当 时, 仅有两个相异实根一 ,而 各仅有 1 个实根,不合题意; 当 时, 仅有 3 个实根 ,且 各仅有 1 个实根,且两实根均小于 ,则 有三个实根,必有 ，所以 . 又 ，所以 ，此时的 5 个实根互不相等， 即 恰有 5 个零点; 当 时, 仅有 2 个相异实根 ,且 ,此时 仅有 1 个实根, 有 2 个实根,不合题意. 所以实数 的取值范围为 . 故选 C. 9. 用 换方程中的 ,化简后方程不变,故 关于 轴对称,同理可得 关于 轴对称,故 均正确; 由 ,得 ,同理 ,故 正确; ,当 时, 取得最大值 ,故 D 错误. 故选 ABC. 10. BCD ,由题意知 的图象关于直线 对称,也关于直线 对称,且 在 上单调递增,所以 的半个周期 ,所以 ,所以 ,即 ,符合题意. 当 时, ,此时 ,所以 在 上的值域为 ,当 时, ,此时 ,所以 ,故方程 在 内无解; 曲线 与直线 所围成的图形的面积等于 在 上的图象与直线 所围成的图形的面积,由 图象的对称性知所求面积等于图中阴影部分的面积,该面积为 ，故 D 正确. 故 A 错误，BCD 正确. 故选 BCD. 11. BCD 将 的坐标代入 的方程,得 ,因为 ,所以 ,二者结合可解得 ,故 的方程为 . 设 为 的上顶点,则 ,所以 ,又 ，所以 ，所以 ，即 的最大值为 ，由椭圆的对称性知使得 的点仅有 2 个,故 错误; 由椭圆的定义得 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 正确; 设 ,则 ,所以 ,即 ,故 正确; 由题意知点 在圆 外,且点 到圆 的圆心的距离为 ，所以 ， ，故 的取值范围为 ,故 正确. 故选 BCD. 12. ,或 法 1:若 在 轴上的截距为 0,则 过点 的方程为 ; 若 在 轴上的截距不为 0,设为 ,则在 轴上的截距为 ,则 的方程为 ,将点 代入,得 ,解得 , 的方程为 . 故直线 的方程为 ,或 . 法 2: 显然 的斜率存在且不为 0,设为 ,则 的方程为 ,则 在 轴、 轴上的截距分别为 , ,所以 ,解得 ,或 ,故直线 的方程为 ,或 ,即 ,或 13. 389 设 ，在 中， ，所以 ，同理在 中， . 在 中，由余弦定理，得 ，即 ，所以 14.2 设 ,由题意得 ,即 ,在平面直角坐标系中表示半圆,令 ,画出图形如下: 当直线 经过圆心时, ; 当直线 与半圆相切时,圆心 到直线 的距离 ,解得 (舍去),故 . 而 ,所以 ,所以 ,令 , 则 ,易知当 时, ,所以 在 上单调递增,所以 . 综上所述， 的最大值为 2 . 15. 解:(1)由题意知所求抛物线的焦点在 轴的负半轴上,设其方程为 ， 与 联立,得 , 2 分 因为所得线段长为 9,所以 ,解得 , 故所求抛物线的方程为 . 4 分 (2)由题意知可设双曲线的方程为 , 由双曲线的定义得 , 即 ,所以 . 6 分 ,故所求双曲线的方程为 . 8 分 (3)设所求双曲线的方程为 ， 9 分 将点 代入方程，得 ， 10 分 解得 ，故 ， 12 分 故所求双曲线的方程为 . 13 分 16.(1)证明:取棱 的中点 ,连接 , 1 分 因为 为 的中位线,所以 ,且 , 2 分 因为四边形 为正方形, 为 的中点,所以 ,且 , 3 分 所以 ，所以四边形 CEFG 为平行四边形， 4 分 所以 . 又 平面 平面 , 所以 平面 . 6 分 (2)解:分别取棱 的中点 ，连接 ，则 . 因为 , 为 的中点,所以 , 7 分又平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 ,因为 平面 ,所以 , 8 分 所以直线 两两垂直,以 为原点,直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,所以 , . 9 分 设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 , 所以 . 11 分 设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 , 所以 . 13 分 记平面 与平面 的夹角为 ,则 , 即平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 15 分 17. 解: (1) 因为 , 所以当 时, ,即 . 2 分 所以当 时, , 4 分 所以 . 6 分 当 时, ,符合上式,所以 . 7 分 (2)由(1)得 . 9 分当 为偶数时, 12 分 当 为奇数时, , 所以 15 分 18. 解: (1) 由题意知 ,点 在圆 内部, 1 分 所以 ,由椭圆的定义知,点 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 设其方程为 ,则 , 3 分 所以 ,故 . 4 分 (2)由(1)得 ， ，当 时，直线 的方程为 ，代入 的方程并化简，得 ， 5 分 设 ,则 , 所以 , 7 分 所以四边形 的面积 . 9 分 (3)设 的方程为 ，代入 的方程并化简，得 ， 显然判别式 ,设 ,则 , 11 分 所以直线 的方程为 , 直线 的方程为 , 12 分 由 解得 14 分 所以 , 16 分 又 ，所以 ，即 为定值，且定值为 . 17 分 19. 解: (1) 由 , 得 , 2 分 当 时， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 4 分 (2)因为 在 上单调递增，所以 . 5 分 由 (1) 知 , 6 分 因为 ,所以 ,即 在 上恒成立, 所以 ,又 ,所以 , 即 的取值范围为 . 8 分 (3)①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 所以 不存在极值,不合题意; 9 分 ② 当 时， ，所以当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 无极大值,不合题意; 10 分 ③ 当 时， 的定义域为 ， ， 令 ,得 ,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 的极大值为 ,极小值为 ,且 ,不合题意; 11 分 ④当 时， 的定义域为 ， ，且 ， 12 分 令 ,得 ,且 , 当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, , 13 分 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 的极大值为 ,极小值为 ,且 , 15 分 , 因为 ,所以 ,所以 , 即 ,符合题意. 综上所述， 的取值范围为 . 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $