七年级期末模拟试卷（提升卷）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 七年级期末数学模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列交通安全标志牌图片是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可得答案． 【详解】A．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项正确，符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或整式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个整式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解是解题的关键． 详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式约分的性质，确定分子分母的公因式，按照分式的基本性质，约去公因式即可. 【详解】A. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是最简分式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了最简分式的概念，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键. 5. 如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 故选：A． 6. 现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 单项式系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 8. 将整式 按字母x降幂排列，结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】按字母x降幂排列即按照字母x次数从高到低进行排序，据此求解即可． 【详解】将整式按字母x降幂排列为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式的降幂排序，解题的关键是熟知降幂排序的定义． 9. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】用整式的每一项除以单项式即可求解． 【详解】 【点睛】本题考查整式除以单项式，解题的关键是掌握整式除以单项式的运算法则． 10. 若4x2+kx+1是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】±4 【解析】 【分析】首位两项是2x和1的平方，根据完全平方式的形式可知，中间项为加上或减去2x和1的积的2倍，据此可得答案. 【详解】∵是完全平方式， ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键. 11. 已知：，那么_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的基本法则是解题的关键．转化成以2为底的幂的乘法，根据指数相等建立等式计算． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法直接因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算：______．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，先根据乘法的分配律计算，然后根据负整数指数幂的意义化简即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 14. 已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 15. 当时，代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式的变形得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，异分母分式加法，正确得到是解题的关键． 16. 因式分解，其中、、都为整数，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按整式乘以整式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可． 【详解】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx-6 ∴p+q=m，pq=-6， ∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6， ∴m=-5或5或1或-1， ∴m的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用． 17. 如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图： 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， ∵， ∴发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 18. 如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为_______________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，然后合并同类项即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． 21. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，重新组合为是解答的关键．先将原式重新组合为，再利用平方差公式和提公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法与完全平方公式法分解因式；先用十字相乘法分解因式，再对每个因式分别用十字相乘法与完全平方公式进行因式分解即可． 详解】解：原式 ． 23. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意：解分式方程一定要检验．先去分母，把分式方程化成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 去分母得， 整理得， 解得， 检验：时，， ∴为原分式方程的解． 24. 先化简：，然后从中选一个合适整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定整数x的值，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式； 当时，原式． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25.从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【答案】汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式：汽车所用的时间自行车所用的时间分钟是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为米/分钟， 汽车与自行车的平均车速之比为3：1， 汽车的速度为()米/分钟， ， 解得： ， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， (米/分钟)， 答：松江博物馆至佘山森林公园的汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟． 26.作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)三角形和三角形关于直线成轴对称 【分析】本题考查了作图—旋转变换：中心对称和轴对称，找到对应点，顺次连接得出旋转和轴对称后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和轴对称的性质、中心对称的性质画图； （3）根据轴对称的性质得到答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：三角形和三角形关于直线成轴对称． 27．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 28．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 【答案】(1)①；② (2)，成立，理由见详解 (3)当时，射线旋转的时间t的值为或 【分析】本题主要考查角的变换计算与角的和差运算，角平分线的性质，解一元一次方程的综合，掌握角平分线的性质与角的和差运算，射线运动与角度数量关系是解题的关键． （1）根据题意，，①根据图示得，由此即可求解；②根据图示得，由此即可求解； （2）解析方法与②的类似； （3）根据题意，分类讨论，①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线；②如图所示，射线追上射线；运用角平分线的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵直角三角尺， ∴， ∵平分， ∴， ①若， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②根据上述的证明可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，成立，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止， ∴旋转一周的时间为：（秒）， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转， ∴当停止时，射线旋转的度数为：， 根据题意，设运动时间为，射线的运动速度比的速度快， ①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线， ∴，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； ②如图所示，射线追上射线， 根据①中证明，当时，，即当时，射线与射线重合， ∴当时，， 根据题意，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； 综上所示，当时，射线旋转的时间t的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 七年级期末数学模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列交通安全标志牌图片是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 单项式系数是______． 8. 将整式 按字母x降幂排列，结果是_______． 9. 计算：_______． 10. 若4x2+kx+1是一个完全平方式，则的值是___________． 11. 已知：，那么_______． 12. 因式分解：______． 13. 计算：______．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 14. 已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是_________． 15. 当时，代数式的值为________． 16. 因式分解，其中、、都为整数，则的最大值是______． 17. 如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是______． 18. 如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为_______________． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算：． 20. 计算： 21. 因式分解： 22. 因式分解：． 23. 解方程： 24. 先化简：，然后从中选一个合适整数作为x的值代入求值． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25.从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 26.作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 27．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 28．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $