精品解析：2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市数学模拟试卷（一）

2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市模拟试卷（一） 数学 命题：沈阳市法库县高级中学 杜诗雯 辽宁省康平县高级中学 李冬敏 主审：沈阳市教育研究院 王孝宇 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分100分，考试时间90分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答案一律写在答题卡上，写在本试题卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 4. （ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 9. 已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（ ） A. B. C. D. 10. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程．） 13. 设函数，则______． 14. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 15. 若正数满足，则的最小值是__________. 16. 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积______． 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知向量，． （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． （1）求证：直线∥平面； （2）求证：直线平面． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）当时，求函数的值域． 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率. 21. 已知三角形中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市模拟试卷（一） 数学 命题：沈阳市法库县高级中学 杜诗雯 辽宁省康平县高级中学 李冬敏 主审：沈阳市教育研究院 王孝宇 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分100分，考试时间90分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答案一律写在答题卡上，写在本试题卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简所求复数. 【详解】因为，则. 故选：C 3. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】. 故选：B 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数有意义，须使，求解可得的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使，解得， 所以的定义域为． 故选：C． 6. 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性进行判断. 【详解】对A：因为函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故A不满足题意； 对B：因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故B满足题意； 对C：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故C不满足题意； 对D：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故D不满足题意. 故选：B 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】移项得，即，所以， 该不等式等价于且，所以解集为或， 故选：C． 8. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】按照分层随机抽样，在智界汽车车主中共抽取人． 故选：B 9. 已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 10. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 11. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，母线为，则圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的表面积公式直接计算即可. 【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线为， 则由题意有：， 所以圆台的表面积为： ， 故选：B. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程．） 13. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 14. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有25种，在同一楼层离开的有5种，从而求得在不同楼层离开的概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有5种， 则两人在不同楼层离开电梯的概率为. 故答案为：. 15. 若正数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是， 故答案为： 16. 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知向量，． （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标公式求解； （2）利用数量积求解. 【小问1详解】 因为，，所以． 所以． 【小问2详解】 因为， ， ， 所以． 18. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． （1）求证：直线∥平面； （2）求证：直线平面． 【答案】（1）证明： 连接，因为，分别是棱、的中点， 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，故直线∥平面． （2）证明： 直棱柱中，，则. 因为是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以. ，，平面，故直线平面． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据线面垂直的判定定理可证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得最小正周期； （2）以为整体，结合正弦函数的单调性运算求解； （3）以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解. 【小问1详解】 由题意可得： 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为． 【小问3详解】 因为时，则， 可得，则， 所以函数的值域为. 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率. 【答案】（1） （2）84 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1列式求解即可； （2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的计算公式求解即可； （3）根据分层抽样的概念和古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1， 所以， 解得. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为, 落在内的频率为, 设第75百分位数为，由，解得， 故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知成绩在与的频率比为， 根据分层抽样在内选取2人,记为, 在内选取4人,记为， 从这6人中选取2人的所有选取方法: ,共15种， 其中2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法: 共8种. 所以从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率为. 21. 已知三角形中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求三角形的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及向量数量积的坐标表示有，根据正弦定理边角关系、三角形内角性质可得，进而求的大小； （2）由余弦定理得，再利用三角形面积公式求三角形的面积．. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理有，即， 又，可得，又，则． （2）由余弦定理有，即， 所以，可得，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $