4.3 多边形和圆的初步认识（10题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第四章 基本平面图形 4.3 多边形和圆的初步认识 命题1：多边形的概念与分类……………………………………………………01 命题2：正多边形的概念与辨析…………………………………………………03 命题3：多边形截角后的边数问题………………………………………………05 命题4：多边形的周长……………………………………………………………07 命题5：多边形对角线的条数问题………………………………………………08 命题6：网格中多边形的面积问题………………………………………………10 命题7：对角线分三角形数量问题………………………………………………11 命题8：圆的基本概念辨析………………………………………………………13 命题9：圆的周长和面积问题……………………………………………………15 命题10：圆心角概念辨析及简单运算…………………………………………18 针对训练…………………………………………………………………………20 命题1： 多边形的概念与分类 1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 2．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 4．在四边形中，边的对边是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的定义，属于基础题，比较简单． 根据多边形的定义判断即可． 【详解】解：在四边形中，边的对边是， 故答案为：． 5．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ． 【答案】对角线 【分析】本题考查多边形对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，据此解答即可 【详解】解：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线， 故答案为：对角线． 6．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线． 【答案】 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点 【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可． 【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形． 组成多边形的线段叫做多边形的边， 相邻两边的公共端点叫多边形的顶点． 如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形． 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角， 多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角． 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点． 【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键． 命题2： 正多边形的概念与辨析 7．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 【详解】解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 8．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 9．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 10．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 命题3： 多边形截角后的边数问题 11．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 12．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 13．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 14．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 15．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 命题4： 多边形的周长 16．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 17．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 18．正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 19．若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 【答案】cm/厘米 【分析】根据正边形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：正边形的边长相等，且边长为2cm， 其周长为cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键． 20．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形的性质．由正六边形的周长和性质即可得出结果． 【详解】解：∵一个正六边形的周长是， ∴正六边形的边长； 故答案为：5． 命题5： 多边形对角线的条数问题 21．一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线．n（)边形从一个顶点可以做条对角线． 将代入计算即得． 【详解】解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条． 故选：D． 22．若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系，即可求解． 【详解】解：∵一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线， ∴， 解得：． 故选：B 23．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A ． 24．一个六边形共有 条对角线． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线条数的计算方法是解题的关键．从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条，那么总共可以做条，即可得解． 【详解】解：从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条， 一个六边形总共可以做条， 故答案为：． 25．过边形的一个顶点最多可以画出条对角线，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 命题6： 网格中多边形的面积问题 26．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 27．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 命题7： 对角线分三角形数量问题 28．自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解． 直接画出图形求解． 【详解】解：如图， 自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形， 故选：B． 29．过七边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键．多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．据此解答即可． 【详解】解：∵从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是． ∴过七边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（个）， 故选：B． 30．从五边形的一个顶点出发，可以画出（   ）条对角线，它们将五边形分成（   ）个三角形． A．2，2 B．3，3 C．2，3 D．3，2 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分割成个三角形，进行判断即可． 【详解】解：， ∴从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线，它们将五边形分成3个三角形； 故选C． 31．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线：n边形过一个顶点有条对角线，它们把n边形分割成了个三角形．据此列式计算即可求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则，， 故多边形是八边形． 故选：C． 32．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的剖分，对于凸n边形，三角剖分后能得到个三角形，据此即可求解． 【详解】解：将一个八边形进行三角剖分，能剖分出个三角形． 故答案为：6． 33．如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成 个三角形（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的概念，掌握过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形成为解题的关键． 根据从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形．故过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形． 【详解】解：过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形， 故答案为． 命题8： 圆的基本概念辨析 34．现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可． 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 35．井盖平面轮廓之所以设计成圆形，是因为（    ） A．圆是曲线 B．同圆的直径都相等 C．美观 D．实用 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，明确圆的特征，是解答此题的关键． 井盖设计成圆形主要基于圆的数学性质，即同一个圆内所有直径都相等，这确保了井盖不会掉入井中． 【详解】解：∵ 在同一个圆中，所有直径都相等， ∴ 圆形井盖无论怎样放置，其直径都等于井口的直径，从而不会掉入井中． 因此，井盖平面轮廓设计成圆形是因为同圆的直径都相等． 故选：B． 36．已知的半径为3，则中最长的弦长为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．圆中最长的弦是直径，直径等于半径的两倍，据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为3， ∴直径为，即最长的弦长为6． 故选：A 37．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，熟练掌握“圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可”是解题的关键．根据确定圆的要素，分析各选项是否同时具备圆心和半径即可． 【详解】∵圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， ∴选项只有圆心，无法确定圆的大小； 选项只有半径，无法确定圆的位置； 选项只有圆上一点，无法确定圆心和半径； 选项同时有圆心和半径，能唯一确定一个圆． 故选：． 38．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解： 是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 39．如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 40．线段，在以为直径的圆上，到点的距离为的点有 个． 【答案】2 【分析】此题考查了圆的认识．以为圆心，长为半径作圆，与以为直径的圆交于2点，依此即可求解． 【详解】解：如图所示：到点的距离为的点有2个． 故答案为：2． 41．若是半径为的上两个不同的点，则弦的最大值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了直径与弦的关系，理解直径是圆中长度最大的弦，求得圆的直径即得解． 【详解】解：上的直径是； 弦的最大值是 故答案为． 命题9： 圆的周长和面积问题 42．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 43．圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【答案】D 【分析】根据圆面积公式作答即可． 【详解】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的 4 倍，即，根据圆面积公式，那么，所以则半径扩大为2倍； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆面积公式，正确掌握圆面积公式是解题的关键． 44．已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的周长是易得圆的半径是2，再用圆的面积公式可得该圆的面积是． 【详解】解：根据题意：圆的半径是 ∴圆的面积是 故选B． 45．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等． 【详解】解：设小明走的半圆的半径是． 则小明所走的路程是． 设小红所走的两个半圆的半径分别是与， 则， 小红所走的路程是， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径． 46．一个圆的周长是31.4cm，它的半径是 cm，面积是 cm2． 【答案】 5 78.5 【分析】设圆的半径为．先利用圆的周长公式求出，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意得：， 解得， 则圆的面积为， 故答案为：5，78.5． 【点睛】本题考查了圆的周长、面积等知识，解题的关键是记住圆的周长公式和面积公式． 47．把一个直径是10厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 厘米． 【答案】10 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，从而可知，这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，据此即可求解． 【详解】解：因为将圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径， 所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，即多出了一个直径的长度，也就是10厘米． 故答案为：10． 【点睛】本题考查认识平面图形，理解图形周长的意义和拼图前后之间的关系是解决问题的关键． 命题10： 圆心角概念辨析及简单运算 48．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 49．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 50．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 51．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 52．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”） 【答案】错误 【分析】顶点在圆心的角是圆心角，根据圆心角的定义即可求解. 【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角， ∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误， 故答案为：错误. 针对训练： 1．过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误； B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误； C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确； D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误； 故选：C． 3．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 4．与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分，根据给定的递推公式 和初始值 ，逐步计算、和，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 6．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【详解】解：，即， 故答案为：6； 7．如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 8．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 9．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 10．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 4.3 多边形和圆的初步认识 命题1：多边形的概念与分类………………………………………………………01 命题2：正多边形的概念与辨析……………………………………………………02 命题3：多边形截角后的边数问题…………………………………………………02 命题4：多边形的周长………………………………………………………………03 命题5：多边形对角线的条数问题…………………………………………………03 命题6：网格中多边形的面积问题…………………………………………………03 命题7：对角线分三角形数量问题…………………………………………………04 命题8：圆的基本概念辨析…………………………………………………………04 命题9：圆的周长和面积问题………………………………………………………05 命题10：圆心角概念辨析及简单运算……………………………………………06 针对训练……………………………………………………………………………07 命题1： 多边形的概念与分类 1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 4．在四边形中，边的对边是 ． 5．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ． 6．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线． 命题2： 正多边形的概念与辨析 7．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 8．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 9．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 10．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 命题3： 多边形截角后的边数问题 11．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 12．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 13．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 14．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 15．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 命题4： 多边形的周长 16．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 17．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 18．正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ． 19．若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 20．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 命题5： 多边形对角线的条数问题 21．一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 22．若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 23．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形的一个顶点的对角线条数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 24．一个六边形共有 条对角线． 25．过边形的一个顶点最多可以画出条对角线，则的值是 ． 命题6： 网格中多边形的面积问题 26．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 27．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 命题7： 对角线分三角形数量问题 28．自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 29．过七边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 30．从五边形的一个顶点出发，可以画出（   ）条对角线，它们将五边形分成（   ）个三角形． A．2，2 B．3，3 C．2，3 D．3，2 31．一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 32．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 33．如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成 个三角形（用含n的代数式表示）． 命题8： 圆的基本概念辨析 34．现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 35．井盖平面轮廓之所以设计成圆形，是因为（    ） A．圆是曲线 B．同圆的直径都相等 C．美观 D．实用 36．已知的半径为3，则中最长的弦长为（    ） A．6 B．9 C． D． 37．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 38．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 39．如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 40．线段，在以为直径的圆上，到点的距离为的点有 个． 41．若是半径为的上两个不同的点，则弦的最大值是 ． 命题9： 圆的周长和面积问题 42．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 43．圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 44．已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 45．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 46．一个圆的周长是31.4cm，它的半径是 cm，面积是 cm2． 47．把一个直径是10厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加 厘米． 命题10： 圆心角概念辨析及简单运算 48．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 49．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 50．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 51．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 52．“顶点在圆内的角叫做圆心角”是 的．（选填“正确”或“错误”） 针对训练： 1．过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 2．下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 3．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4．与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（   ） A． B． C． D． 5．如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 6．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 7．如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜 平方米． 8．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 9．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 10．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $