第14讲 多边形与圆的初步认识（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第14讲 多边形和圆的初步认识 （新教材北师大版） 知识点一 、多边形 2 知识点二、圆的初步认识 3 【题型1 多边形的概念与分类】 4 【题型2 正多边形概念辨析】 6 【题型3 多边形截角后的边数问题】 9 【题型4 多边形周长】 10 【题型5 网格中多边形面积比较】 12 【题型6 多边形对角线条数问题】 14 【题型7 对角线分成的三角形个数问题】 16 【题型8 圆的基本概念辨析】 18 【题型9 圆的周长和面积问题】 20 【题型10 圆心角概念辨析及简单运算】 23 【探究式学习】 25 【课后检测】 27 【复盘笔记】 40 知识点一 、多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 （1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； （2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； （3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】（1）正n边形有n条对称轴． （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 4. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 知识点二、圆的初步认识 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型1 多边形的概念与分类】 【例1】下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．作3厘米长的直线 C．两条射线组成的图形叫做角 D．三角形不是多边形 【答案】A 【分析】本题考查了认识平面图形．熟记相关概念是解题的关键．根据直线的性质，角的定义，三角形的定义，逐一判断即可． 【详解】A、根据直线的性质可知：两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意； B、直线不能得到具体的长度，故本选项错误，不符合题意； C、两条射线若能组成角，则必须有公共端点，故本选项错误，不符合题意； D、三角形有条边组成，所以三角形是多边形，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】下列语句中： ①两点确定一条直线； ②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧； ③两点之间直线最短； ④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，分别进行分析，即可得出结论． 【详解】解：①根据直线公理：过两点有且只有一条直线，故该项正确； ②根据圆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故该项正确； ③根据线段公理：两点之间，线段最短，故该项错误； ④根据多边形的定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，故三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，故该项正确． 综上可得：①、②、④正确． 故选：C 【点睛】本题考查了直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的公理和定义． 【题型2 正多边形概念辨析】 【例2】以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查圆的认识，正多边形的定义，度、分、秒的换算，中点和线段的定义等，根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，说法正确，符合题意； ②各边都相等，各角都相等的多边形叫正多边形，原说法错误，不符合题意； ③顶点在圆上的角叫做圆周角，原说法错误，不符合题意； ④，，所以用度、分、秒表示为，说法正确，符合题意； ⑤当点C在线段上，且时，点C是线段的中点，原说法错误，不符合题意； ⑥两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 故选：A． 【变式2-1】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 【变式2-2】下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线段中点定义判断①；根据线段最短判断②；根据正多边形的定义判断③；根据三棱柱的定义可判断④；根据有理数加法法则可判断⑤；根据多形式的定义可判断⑥． 【详解】解：①当点三点在同一直线上时，如果，那么点是线段的中点，故原说法错误； ②两点之间线段最短，故原说法错误； ③各条边都相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，故原说法错误； ④三棱柱有六个顶点，九条棱，该说法正确； ⑤两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，如，故原说法错误； ⑥多项式是三次三项式，该说法正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段、线段中点、正多边形、三棱柱，有理数的加法，多项式的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2-3】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 【变式3-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 【变式3-2】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【变式3-3】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【题型4 多边形周长】 【例4】如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 【变式4-1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【变式4-2】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 【变式4-3】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 【题型5 网格中多边形面积比较】 【例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【变式5-1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【变式5-2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【变式5-3】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【题型6 多边形对角线条数问题】 【例6】下列说法：①用了两个钉子就可以把木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间，线段最短”；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用的数学原理是“两点确定一条直线”；③过五边形的一个顶点可以画2条对角线；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线性质、线段性质、多边形对角线计算、角度换算知识点．根据直线性质、线段性质、多边形对角线计算、角度换算等计算，统计正确个数后选择对应选项． 【详解】解：①∵用两个钉子固定木条的数学原理是两点确定一条直线，而非两点之间，线段最短，∴①说法错误． ②∵把弯曲公路改直缩短路程的原理是两点之间，线段最短，而非两点确定一条直线，∴②说法错误． ③∵过n边形一个顶点可画条对角线，五边形，，∴③说法正确． ④∵，，∴④正确． 综上，正确的说法有2个， 故选：B． 【变式6-1】下列叙述正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3次； B．在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大； C．从八边形的一个顶点出发，最多可以画六条对角线； D．六棱柱有8个面，24条棱； 【答案】A 【分析】本题考查单项式，有理数与数轴，多边形的对角线，棱柱，根据单项式的系数和次数定义、数轴上距离的含义、多边形对角线的计算以及棱柱的面和棱数量进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3次，正确，符合题意； B、在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大；原说法错误，不符合题意； C、从八边形的一个顶点出发，最多可以画条对角线，原说法错误，不符合题意； D、六棱柱有 个底面和 个侧面， 共 个面， 但棱数为 条，原说法错误，不符合题意； 故选A． 【变式6-2】下列说法不正确的是（    ） A．多项式是四次三项式 B．钟表上7点45分，时针与分针的夹角是 C．从十五边形一个顶点出发可以作12条对角线，这些对角线把十五边形分成了13个三角形 D．若，则点C是线段的中点． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的相关定义、钟表角度计算、多边形的对角线、线段中点的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据多项式的相关定义、钟表角度计算、多边形的对角线、线段中点的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．多项式的最高次项的次数为4，且有三项，故是四次三项式，故该选项正确，不符合题意； B．7点45分时，分针在，时针在，夹角为，故该选项正确，不符合题意； C．十五边形从一个顶点出发的对角线数为条，这些对角线将多边形分成个三角形，故该选项正确，不符合题意； D．当时，点C不一定在线段上（如等腰三角形中），故C不一定是的中点，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式6-3】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 【题型7 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 【变式7-1】从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 【变式7-2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 【变式7-3】下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 【答案】A 【分析】本题考查有理数的绝对值、单项式的次数、多边形的对角线以及几何公理等概念，需逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、有理数的绝对值非负，且0的绝对值最小，为0，故A正确； B、单项式的次数是变量指数的和，中变量的指数为2，为常数，故B错误； C、过边形一个顶点的对角线将图形分成个三角形，六边形，应分成4个三角形，故C错误； D、用两个钉子固定木条的原理是“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”，故D错误； 故选：A． 【题型8 圆的基本概念辨析】 【例8】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式8-1】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、直径、等圆和等弧的定义． 根据圆的基本概念逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，说法（1）正确； 弧不一定是半圆，也可能是优弧或劣弧，说法（2）错误； 圆内一点只有是圆心时才能作无数条直径，否则只能作一条直径，说法（3）错误； 半径相等的两个圆是全等的，因此是等圆，说法（4）正确； 能够重合的弧是等弧，仅长度相等不一定能重合，说法（5）错误； ∴错误的说法的个数是3个． 故选：C． 【变式8-2】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可． 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 【变式8-3】下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误 【详解】解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定长度，故A错误； 选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为，故B正确； 选项C：优弧是大于半圆（）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如弧大于劣弧，但仍是劣弧），故C错误； 选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误； 故选B 【题型9 圆的周长和面积问题】 【例9】小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 【变式9-1】在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 【变式9-2】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 【变式9-3】如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的比例，圆的面积公式，得到各圆半径是解题的关键． 设，则，，再根据圆的面积公式的计算求解即可． 【详解】解：设， ， ，， 则，，， ． 故选：C． 【题型10 圆心角概念辨析及简单运算】 【例10】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【变式10-1】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【变式10-2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-3】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【探究式学习】 1．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 2．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 【课后检测】 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】∵正多边形的一个内角为， ∴该正多边形的一个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为． 3．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 4．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 5．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 【答案】B 【分析】圆规两脚间的距离是所画圆的半径，根据圆的周长公式计算半径即可得到答案，π取3.14． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离等于 厘米． 6．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 7．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到a，b，c的值，即可解答． 【详解】解：如图1，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为4个三角形， 如图2，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为5个三角形； 如图3，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为6个三角形， ∴，，， ∴． 故选：B． 8．下列说法错误的是（   ） A．9时30分时钟表的时针和分针的夹角是 B．与是同类项，那么 C．若，则点B是线段的中点 D．从n边形的一个顶点引出的对角线有条 【答案】C 【分析】本题考查钟面角、线段的中点、同类项、多边形的对角线，掌握相关的概念是解决本题的关键． 根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、∵9时30分时，钟表的时针指向9和10中间，分针指向6， ∴时针和分针的夹角，选项说法正确，不符合题意； B、∵同类项要求相同字母指数相同， ∴， 解得，选项说法正确，不符合题意； C、∵时，点B不一定在线段上（如等腰三角形顶点）， ∴B不一定是的中点，选项说法错误，符合题意； D、∵从n边形一个顶点引出对角线时，排除自身及相邻两个顶点， ∴有条对角线，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 9．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 10．下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误； B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误； C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确； D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误； 故选：C． 11．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 12．周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 13．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 14．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 15．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 16．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形有多少条边？ 【答案】15 【分析】根据正多边形的外角和为，且每个外角都相等，即可求解． 【详解】解：， 这个多边形有15条边． 17．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】 如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】略 18．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 19．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 20．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 【答案】（1）（2） （3）， 【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键； （1）根据图形规律完成表格； （2）根据规律求得多边形边数； （3）根据所给公式计算得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵时， 其中规定：， ∴， ∴， ∵， ∴. 21．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1) 解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； (2) 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）略 （2）略 22．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【答案】(1)， (2) 小华的设计方案符合要求，理由如下： 休闲场所面积为：， 绿地面积：， ∵， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， 即：符合要求； (3) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小； （1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可； （2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论； （3）把代入绿地面积的代数式即可． 【详解】（1）解：游泳区：， 休息区：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：当时，， 故答案为：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第14讲 多边形和圆的初步认识 （新教材北师大版） 知识点一 、多边形 2 知识点二、圆的初步认识 3 【题型1 多边形的概念与分类】 4 【题型2 正多边形概念辨析】 5 【题型3 多边形截角后的边数问题】 6 【题型4 多边形周长】 6 【题型5 网格中多边形面积比较】 6 【题型6 多边形对角线条数问题】 7 【题型7 对角线分成的三角形个数问题】 8 【题型8 圆的基本概念辨析】 9 【题型9 圆的周长和面积问题】 9 【题型10 圆心角概念辨析及简单运算】 10 【探究式学习】 11 【课后检测】 13 【复盘笔记】 18 知识点一 、多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 （1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； （2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； （3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】（1）正n边形有n条对称轴． （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 4. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 易错易混 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形． 知识点二、圆的初步认识 定 义 示例剖析 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 表示为“” 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 表示：劣弧 优弧或 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型1 多边形的概念与分类】 【例1】下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．两点确定一条直线 B．作3厘米长的直线 C．两条射线组成的图形叫做角 D．三角形不是多边形 【变式1-3】下列语句中： ①两点确定一条直线； ②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧； ③两点之间直线最短； ④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 正多边形概念辨析】 【例2】以下说法正确的有（    ） ①圆上任意两点间的部分叫做圆弧； ②各边都相等的多边形是正多边形； ③顶点在圆上的角叫做圆心角； ④用度、分、秒表示为； ⑤线段，则点C是线段的中点； ⑥两点之间的线段叫做两点之间的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【变式2-2】下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱；⑤两个有理数相加，和一定大于每一个加数；⑥多项式是三次三项式． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【题型3 多边形截角后的边数问题】 【例3】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【变式3-1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-3】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【题型4 多边形周长】 【例4】如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【变式4-2】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【变式4-3】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【题型5 网格中多边形面积比较】 【例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【变式5-1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【变式5-2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【变式5-3】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【题型6 多边形对角线条数问题】 【例6】下列说法：①用了两个钉子就可以把木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间，线段最短”；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用的数学原理是“两点确定一条直线”；③过五边形的一个顶点可以画2条对角线；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】下列叙述正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3次； B．在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大； C．从八边形的一个顶点出发，最多可以画六条对角线； D．六棱柱有8个面，24条棱； 【变式6-2】下列说法不正确的是（    ） A．多项式是四次三项式 B．钟表上7点45分，时针与分针的夹角是 C．从十五边形一个顶点出发可以作12条对角线，这些对角线把十五边形分成了13个三角形 D．若，则点C是线段的中点． 【变式6-3】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【题型7 对角线分成的三角形个数问题】 【例7】如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式7-1】从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【变式7-2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【变式7-3】下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 【题型8 圆的基本概念辨析】 【例8】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式8-1】下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】下列说法正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧 C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧 【题型9 圆的周长和面积问题】 【例9】小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【变式9-1】在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【变式9-3】如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【题型10 圆心角概念辨析及简单运算】 【例10】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【探究式学习】 1．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 2．如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【课后检测】 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 5．用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离约是（   ） A．3厘米 B．1.5厘米 C．4.71厘米 D．9.42厘米 6．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 7．已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 8．下列说法错误的是（   ） A．9时30分时钟表的时针和分针的夹角是 B．与是同类项，那么 C．若，则点B是线段的中点 D．从n边形的一个顶点引出的对角线有条 9．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 11．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 12．周长为的圆，面积为_______．（取）． 13．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 14．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 15．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 16．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形有多少条边？ 17．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 18．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 19．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 20．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 21．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 22．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $