精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高一上学期数学周测：单元测试五

泉州五中2028届高一上数学单元测试五 一、单选题 1. 已知角的终边过点，则 的值是 A. －1 B. 1 C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果为（ ） A. 89 B. C. 45 D. 5. 已知，且，求的值为（ ） A. B. C. 0 D. 6. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下面说法正确的是（ ） A. 角与角终边相同 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 若角α的终边在直线上，则cosα的取值为 D. 化成弧度是 10. 已知函数，满足，则关于函数f(x)的说法正确的有（   ） A. =1 B. 的对称中心是 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数在上的最小值为 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ） A. 函数 不是周期函数； B. 函数 的值域是 C. 函数 的图象关于 对称： D. 方程 只有一个实数根； 三、填空题 12. 在上，使不等式成立的的集合为______. 13. 已知，则________． 14. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知关于x的方程的两个不等实根分别是和 （1）求m的值； （2）求的值． 16. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 17. 已知函数. （1）求函数的减区间； （2）解不等式； （3）当时，求的值域. 18. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为、，求. 19. 若已知函数的定义域为，且，若存在常数，使得中的任意、，都有，则称是“函数”． （1）判断函数，在上是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围． （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2028届高一上数学单元测试五 一、单选题 1. 已知角的终边过点，则 的值是 A. －1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】角的终边过点， 利用三角函数的定义，求得， 所以 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 3. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可. 【详解】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解. 4. 化简的结果为（ ） A. 89 B. C. 45 D. 【答案】B 【解析】 【分析】若 ，则 ，可将式子中每一项转化为对应的余弦值，两式相加利用 可解. 【详解】，对应转化为 ，两式相加可得结果为89， 故. 故选：B 5. 已知，且，求的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为， 所以，且，所以， 则. 故选：B. 6. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意化简，即可计算得到结果. 【详解】， ， ， ∵， ∴， 故选：A. 7. 已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出的大致图象，数形结合求解不等式即可. 【详解】由得， 故当时，，从而， 同理，当时，， 当时，. 作出函数图象如图所示，令， 解得或，结合图象可知. 故选：B 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9. （多选）下面说法正确的是（ ） A. 角与角终边相同 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 若角α的终边在直线上，则cosα的取值为 D. 化成弧度是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角的差是否是的倍数，判断A的真假；根据终边在过原点的直线上的角的表示方法判断B的真假；根据角的终边所在的位置求的值，确定C的真假；利用角度与弧度的互化判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以角与角终边相同，故A正确； 对B：终边在直线上的角α的取值集合可表示为，故B错误； 对C：若角α的终边在直线上，设（）为角终边上一点， 当时，；当，，故C错误； 对D：因为，故D正确． 故选：AD 10. 已知函数，满足，则关于函数f(x)的说法正确的有（   ） A. =1 B. 的对称中心是 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得函数的的对称轴，进而求得判断A；利用整体法求得对称中心判断B；利用整体法求得单调递减区间判断C；求得在给定区间上的最大值判断D. 【详解】对于A，由题意知，故关于直线对称， 所以=，，又，，故A正确 对于B，令=，解得，，的对称中心为，，故B错误； 对于C：令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 对于D：当时，，故D正确. 故选：ACD. 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ） A. 函数 不是周期函数； B. 函数 的值域是 C. 函数 的图象关于 对称： D. 方程 只有一个实数根； 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数性质，只需要研究部分，再利用数形结合，就可以对各选项判断. 【详解】函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 为偶函数， 当 时，， 则 当时，， 当时，， 所以函数 的图象如图所示 由 可知，在 内，， 当 时，， 当 ，且 时，， 当或，时，， 因为 ，所以 为偶函数， 则函数 的图象如图所示： 由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 正确； 所以函数 的值域是 ，故选项 正确； 由 ， 所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确； 对于方程 ，当 时，方程有一个实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 所以方程 只有一个实数根，故 正确. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：就是利用对函数的的图象研究，可得到的图象，然后通过数形结合来对各选项判断. 三、填空题 12. 在上，使不等式成立的的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 13. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合同角三角函数的关系式，根据齐次式法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以. 故答案为：1. 14. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示， 因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知关于x的方程的两个不等实根分别是和 （1）求m的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到，计算得到答案. 【小问1详解】 ，即，，， ，从而，则； 【小问2详解】 . 16. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于轴的对称点为． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由三角函数在单位圆中的定义，结合诱导公式化简求值即可； （2）解法一：根据题意化简可得，平方得到，再根据齐次化得，即，再解方程即可；解法二：根据题意化简可得，再结合三角恒等式，解方程组得或，再由求解即可． 【小问1详解】 由三角函数定义得，． 为锐角，， ， ，； 【小问2详解】 解法一：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，即， ，故， ，即， 解得或 解法二：由题意得，， ， 为锐角，，即， ，解得或， 或． 17. 已知函数. （1）求函数的减区间； （2）解不等式； （3）当时，求的值域. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的递减区间整体代换并解不等式即可得答案； （2）根据题意得，再根据正弦函数图象解不等式即可得答案； （3）由题知，进而根据正弦函数的图象性质整体换元即可得答案. 【详解】解：（1）因为在区间上单调递减 所以，解得：， 所以函数的单调递减区间为：. （2），即， 因为的解集为：， 所以，解得：， 所以不等式的解集为：. （3）因为，所以， 所以，即， 所以. 所以当时，的值域为. 【点睛】本题考查三角函数的单调区间，三角不等式，值域的求解，考查运算求解能力，解题的关键是应用整体换元的思想，借助正弦函数图象求解，是基础题. 18. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为、，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得的值，利用正弦型函数的对称性结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）解法一：由可得，问题等价于与的在内的图象有两个不同的交点，数形结合可得出实数的取值范围； 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由正弦型函数的对称性可得出，且，利用诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以， 所以，，则， 因为函数的一个对称中心为， 则，则， 因为，所以，，故. 【小问2详解】 解法一：当时，， 所以，当时，方程有两个不等的实根， 等价于当时，方程有两个不等的实根， 即与的在内的图象有两个不同的交点， 如图可知，解得，即实数的取值范围为. 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点， 作与的图象， 如图，可知，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，则，由可得， 由图知，点与点关于直线对称，所以，， 且， 所以， . 19. 若已知函数的定义域为，且，若存在常数，使得中的任意、，都有，则称是“函数”． （1）判断函数，在上是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围． （注：） 【答案】（1）在上是；在上不是，理由为： 由题知，若函数是“函数”， 则对定义域的某个区间内的任意、，都有， 对于函数，若其为“函数”， 则，所以函数在上是“函数”； · 对于函数，若其为“函数”，则， 因为，不妨设，则， 则，，则， 所以函数在上不是“函数”. · （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可得出结论； （2）任取、且，根据“函数”的定义得出成立，结合参变量分离法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据函数为“函数”结合定义求出，再由题意得出即在上有两个不相等实根，令，转化为在上有两个不相等实根，令，，则直线与函数的图象在上有两个不同的交点，数形结合可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数是“函数”， 则对于定义域上任意两个、，均有成立， 因为 ， 所以恒成立， 因为，不妨设，则，所以，则， 所以，所以，所以，所以的最小值为. 【小问3详解】 因为函数是“函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，由，得· 因为， 即， 整理得， 所以关于的方程在上有两个不相等实根， 即在上有两个不相等实根， 令， 由得， 所以函数在上单调递增，故， 且， 则关于的方程在上有两个不相等实根， 即，令，， 所以直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图： 则，所以， 又，所以存在使得以上不等式成立， 则，， 所以，解得，所以的取值范围为· 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $