精品解析：安徽省亳州市第一中学2025-2026学年高一上学期元月月考数学试卷

亳州一中2025——2026学年上学期高一元月月考 数学 分值：150 时间：120 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 7. 已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 10. 在中，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上为减函数 C. 方程的所有根之和为0 D. 若函数在上有且仅有5个零点，则 三、填空题：本题共3小题.每小题5分．共15分. 12. 已知函数的部分图象如图，，是该函数图象上的两点，则的值为______. 13. 已知函数，若，则______． 14. 已知，若存在，满足,则称△A1B1C1是△ABC的 一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是__：（请写出符合要求的条件的序号） ① ； ②；③. (ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的值域． 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． （1）若，，求扇形的弧长l； （2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 17. 已知函数在区间上单调，其中，，且． （1）求的图象的一个对称中心的坐标； （2）若点在函数的图象上，求函数的表达式． 18. 设函数． （1）若，求的值． （2）求函数在R上的最小值； 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州一中2025——2026学年上学期高一元月月考 数学 分值：150 时间：120 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和点在以2为半径的圆上，建立方程组，解方程组可得答案. 【详解】因为，所以，即； 又因为在以2为半径的圆上， 所以，，； 当时，，此时； 当时，，此时； 故选：A. 2. 已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，进而得，再求解函数单调区间即可. 【详解】解：直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为， ，即， 令，解得， 的单调递增区间是. 故选：B. 3. 半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可. 【详解】扇形的弧长， 则扇形的面积. 故选：D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项. 【详解】，， 而，则，即，所以. 故选：B 5. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期公式求出，即可得到函数解析式，再检验是否满足在上单调递减，最后求出函数的零点. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 解得或， 当时，由，可得， 显然在上单调递增，则在上单调递增，不符合题意， 当时，由，可得， 显然在上单调递减，则在上单调递减，符合题意， 所以， 令，解得， 即的零点为，当时为. 故选：D 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解. 【详解】由，可得， 又由 . 故选：A. 7. 已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解. 【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则，故B错误； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称， 所以，故C正确； 对于D，当时，， 令，得，所以，， 又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：C． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法， （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可. 【详解】由题设，故，整理得， 所以或. 故选：BC 10. 在中，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角形的内角和定理逐项判断可得结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 11. 关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上为减函数 C. 方程的所有根之和为0 D. 若函数在上有且仅有5个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】易得函数为偶函数，作出函数的图象，根据函数图象即可判断AB；当时，则方程的根即为函数交点的横坐标，再根据两个函数的对称性即可判断C；根据函数的图象，结合整体思想即可判断D. 【详解】因为， 所以函数为偶函数， 当时，， 如图，作出函数的图象， 由图可知，函数不是周期函数，故A错误； 函数在上为减函数，故B正确； 对于C，显然是方程， 当时，则方程的根即为函数交点的横坐标， 因为函数是偶函数，函数是奇函数， 所以两个函数的交点不具有对称性， 所以方程的所有根之和显然不为，故C错误； 对于D，当时，， 因为函数在上有且仅有5个零点， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：得出函数为偶函数，当时，将函数写出分段的形式，作出函数的图象，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题.每小题5分．共15分. 12. 已知函数的部分图象如图，，是该函数图象上的两点，则的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式，进而求出函数值. 【详解】依题意，函数的最小正周期，则，解得， ，而分别在函数的递减区间和递增区间内， 则，而，则， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，判断函数的奇偶性求解即可. 【详解】设， 的定义域为， ， 是奇函数， ，， ， . 故答案为：. 14. 已知，若存在，满足,则称△A1B1C1是△ABC的 一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是__：（请写出符合要求的条件的序号） ① ； ②；③. (ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___. 【答案】 ①. ② ②. 【解析】 【详解】（i）对①：因为所以①不存在“友好”三角形； 对②：若，则存在 故②存在“友好”三角形； 对③：若满足，则或 都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形． （ii）若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C= 或，分析知． 所以即 故C=．即顶角的度数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的值域． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 令，，得，， 所以的单调递增区间为． 令，，得，， 所以的单调递减区间为， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 故在上的最大值为，最小值为， 在上的最大值为，最小值为． 所以在上的最大值为2，最小值为－2， 即在上的值域为． 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． （1）若，，求扇形的弧长l； （2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】（1） （2）扇形周长的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以扇形的弧长； 【小问2详解】 由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 17. 已知函数在区间上单调，其中，，且． （1）求的图象的一个对称中心的坐标； （2）若点在函数的图象上，求函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案. （2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果. 【小问1详解】 由函数在区间上单调， 且，可知， 故的图象的一个对称中心的坐标为 【小问2详解】 由点在函数的图象上， 有，又由， ， 可知函数在区间上单调递减， 由函数的图象和性质， 有， 又，有， 将上面两式相加，有， 有， 又由，可得， 则， 又由函数在区间上单调， 有，可得，可得， 故． 18. 设函数． （1）若，求的值． （2）求函数在R上的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，再代值即可求解； （2）令，，则，再结合二次函数的图象讨论对称轴的位置即可求解 【小问1详解】 因为， 所以即． 此时， 所以． 【小问2详解】 ， 令，，则，对称轴为 ①，即，． ②，即，． ③，即，． 综上可知， 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】（1）具有性质 （2）存在，， （3）证明如下： 由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【小问1详解】 因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． 【小问2详解】 若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $