第四章 等可能条件下的概率重难点检测卷 -2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第四章 等可能条件下的概率重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）气象台预报“本市明天降水概率是90%”对此信息，下列说法正确的是（    ） A．本市明天将有90%的时间降水 B．本市明天降水的可能性比较大 C．本市明天肯定下雨 D．本市明天将有90%的地区降水 【答案】B 【分析】根据概率的意义判断即可． 【详解】解：气象台预报“本市明天降水概率是90%”，对此信息，意味着本市明天降水的可能性比较大， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 2．（2025·江苏盐城·一模）某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，则甲、乙两校排到前两个出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出树状图，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可知：共有6种等可能的结果，其中甲、乙两校排到前两个出场的有2种结果， ∴甲、乙两校排到前两个出场的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法；概率的公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）小丽在白纸上任意画了一个锐角，她画的角的度数在到之间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】锐角的取值范围在到之间，她画的角的度数在到之间，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵锐角的取值范围在到之间， ∴她画的角的度数在到之间的概率是， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．（2025·江苏宿迁·二模）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求随机事件的概率和一元二次方程有实数解的判定． 首先根据关于x的一元二次方程有实数根，可知，得出，再通过列表即可求得所有等可能的结果，共有12种等可能的结果，其中满足共有2种结果，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴而且， ∴而且， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 8 3 3 6 12 4 4 8 12 共有6种等可能的结果，其中满足共有2种结果， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 【答案】D 【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果. 【详解】假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4； 假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2； 假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0； 假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2； 假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4； 第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数. 故选D. 【点睛】本题为推理论证题，需要有严谨的逻辑思维及较强的推理分析能力. 6．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，转盘中点A，B，C在圆上，，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理求出∠AOB，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：连接OA，OB， ∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°， ∴∠AOB=2∠ACB=160°， ∴当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是， 故选C． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）从一副扑克牌（去掉大、小王）共张中要抽出 张来，才能保证一定有一张黑桃． 【答案】 【分析】此题主要考查抽屉原理解决实际问题，灵活应用定理是解决问题的关键．把这四种花色看作四个抽屉，考虑最差情况计算即可． 【详解】解：去掉大小王后，还剩下张牌，每种花色都有张牌，把这四种花色看作四个抽屉，考虑最差情况：红桃、方片、梅花都全部抽出，则再任意抽出一张，必定是黑桃， ∴张． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小． 【答案】 红 白 【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：球的总数：5+4+3=12（个） 摸到红球的可能性： 摸到黄球的可能性： 摸到白球的可能性： 所以摸到红球的可能性大，摸到白球的可能性小． 故答案为：红，白． 【点睛】本题主要考查可能性的求法，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）从口号“我爱学习,学习使我妈快乐,我妈快乐,全家快乐”中随机抽取一个字,抽到“乐”字的概率是 . 【答案】 【分析】直接利用概率公式求解可得． 【详解】由于一共有19个字，其中“乐”字有3个， 则抽到“乐”字的概率为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12．（2025九年级上·江苏无锡·模拟预测）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 13．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】用阴影部分的小三角形的个数除以正方形的小三角形的个数即可得． 【详解】∵正方形中所有的小三角形都全等， ∴阴影部分的小三角形的个数为12个，正方形的小三角形的个数为32个， ∴它停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率．解题的关键是熟练掌握几概率的公式．用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 14．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，最终停在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】∵由图可知，黑色方砖5块，共有25块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴它停在黑色区域的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 16．（2025·江苏淮安·一模）如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】分别求得⊙的面积和扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接BC， ∵，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， 设⊙的半径为r，如图， 连接OA，过点O作OD⊥AB，则OA=r，AB=2AD， ∠OAD=， ∴，解得， ∴， ∴圆的面积为，扇形的面积为， ∴飞镖恰好落在扇形内的概率为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25九年级·江苏南京·期中）拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示的数小于500的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，通过画树状图即可求解． 【详解】解：拨上珠时，若在百位，则表示数大于500； 拨上珠时，若在十位或个位，则表示的数小于500， 共9种等可能的结果，其中表示的数小于500的结果有6个， ∴表示的数小于500的概率． 18．（2024·江苏南京·三模）盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料，但不清楚4种饮料的摆放顺序． (1)小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为 ． (2)求小明猜对所有位置上饮料的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求等可能事件的概率：利用公式来进行计算即可． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）先算出雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料按顺序排放方式有多少种，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料， ∴小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为：； （2）∵雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料按顺序排放方式有：种， ∴小明猜对所有位置上饮料的概率为： 19．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）最近几年苏州文旅产业不断创新．小明计划假期来无锡游玩，他打算从3个人文景点（A、拙政园；B．周庄古镇；C．苏州博物馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．灵岩山；E．天平山）中随机选取一个． (1)小明从人文景点中选苏州博物馆的概率是 ； (2)用树状图或列表的方法求小明同时选周庄古镇和天平山两个景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：∵人文景点一共有3个，且每个景点被选取的概率相同， ∴小明从人文景点中选灵山大佛的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的结果数有1种， ∴小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的概率为． 20．（2025·江苏苏州·二模）青少年园林模型创意实践活动包括．“A．古建守护创新活动”、“B．四大园林团体场景创意活动”、“C．园林智能模型创意活动”3个项目．小聪和小明拟从上述3个项目中随机选一个项目参加活动． (1)小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是______； (2)小聪和小明恰好选中同一个项目的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法和概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是， 故答案为： （2）由题意，列表如下： A B C A B C 共9种等可能的结果，其中小聪和小明恰好选中同一个项目的结果有3种， ∴小聪和小明恰好选中同一个项目的概率． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：（个）， 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 22．（24-25九年级上·江苏徐州·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）． 【分析】（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可； （3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）抽取的总数为：（件）， ∴XXL的百分比：， XL的百分比：； ∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%． （2）根据题意， S号的数量：（件）， L号的数量：（件）， XL号数量：（件）， 补全条形图如图所示． （3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则， 根据概率的意义，有， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．     (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月的概率是，抽到三顾茅庐的概率是； 故答案为：，； （2）解：所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有，两种， 甲、乙两人都抽取到神话故事的概率：． 26．（2024·江苏无锡·模拟预测）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 27．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 合计 (1) ， ； (2)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）用光学的频数除以它的频率可求出的值，进而可求出的值； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了频数与频率，用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：，； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 等可能条件下的概率重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）气象台预报“本市明天降水概率是90%”对此信息，下列说法正确的是（    ） A．本市明天将有90%的时间降水 B．本市明天降水的可能性比较大 C．本市明天肯定下雨 D．本市明天将有90%的地区降水 2．（2025·江苏盐城·一模）某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，则甲、乙两校排到前两个出场的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）小丽在白纸上任意画了一个锐角，她画的角的度数在到之间的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·二模）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（     ） A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能 6．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，转盘中点A，B，C在圆上，，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）从一副扑克牌（去掉大、小王）共张中要抽出 张来，才能保证一定有一张黑桃． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）从口号“我爱学习,学习使我妈快乐,我妈快乐,全家快乐”中随机抽取一个字,抽到“乐”字的概率是 . 12．（2025九年级上·江苏无锡·模拟预测）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 13．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．    14．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，最终停在阴影区域的概率为 ． 16．（2025·江苏淮安·一模）如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为 ． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25九年级·江苏南京·期中）拨算珠，若拨十位一颗上珠，一颗下珠，拨个位一颗上珠为65，求在百、十、个位上任先拨一颗下珠，再拨一颗上珠，表示的数小于500的概率． 18．（2024·江苏南京·三模）盲猜饮料挑战：小明知道不透明的箱子中装有雪碧、芬达、可口可乐和健力宝这4种饮料，但不清楚4种饮料的摆放顺序． (1)小明猜对摆放在位置①的饮料的概率为 ． (2)求小明猜对所有位置上饮料的概率． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）最近几年苏州文旅产业不断创新．小明计划假期来无锡游玩，他打算从3个人文景点（A、拙政园；B．周庄古镇；C．苏州博物馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．灵岩山；E．天平山）中随机选取一个． (1)小明从人文景点中选苏州博物馆的概率是 ； (2)用树状图或列表的方法求小明同时选周庄古镇和天平山两个景点的概率． 20．（2025·江苏苏州·二模）青少年园林模型创意实践活动包括．“A．古建守护创新活动”、“B．四大园林团体场景创意活动”、“C．园林智能模型创意活动”3个项目．小聪和小明拟从上述3个项目中随机选一个项目参加活动． (1)小聪选中“A．古建守护创新活动”的概率是______； (2)小聪和小明恰好选中同一个项目的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 600 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60 (1)上表中的______；______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 22．（24-25九年级上·江苏徐州·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 24．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．     (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到嫦娥奔月日的概率是 ，抽到三顾茅庐的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 26．（2024·江苏无锡·模拟预测）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 27．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 光学 电学 合计 (1) ， ； (2)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答． 学科网（北京）股份有限公司 $