期末重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 4章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）某班名学生身高测量结果如下表： 身高 人数 该班学生身高的众数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）某农户计划在一个长16m，宽9m的矩形菜地ABCD上，修建若干条同样宽的小径，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽为xm，若x满足方程，则修建的示意图可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）小明用，计算一组数据的方差，那么 ． 11．（2025九年级上·江苏南京·模拟预测）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试、微型课、教学反思得分分别为90分、92分、88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为 分． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留） 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为 按照这个增长率，预计月平均日产量为 个 15．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为 ． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标不数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两个数字的和． (1)用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜：若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，分别求出两人获胜的概率． 20．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． (1)求冰箱贴的原价． (2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 22．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 23．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． (1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心； (2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 24．（2025·江苏徐州·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 25．（2025·江苏苏州·一模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 26．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 4章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种． ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）某班名学生身高测量结果如下表： 身高 人数 该班学生身高的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中出现次，次数最多， ∴众数是， 故选：． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）某农户计划在一个长16m，宽9m的矩形菜地ABCD上，修建若干条同样宽的小径，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽为xm，若x满足方程，则修建的示意图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分别求出各选项中种植草坪部分的总面积是解题的关键 利用因式分解法解一元二次方程求出符合题意的x的值为1，再分别求出各选项中种植草坪部分的总面积，将其与比较后即可得出结论． 【详解】解：，即， ，不符合题意，舍去， ， A.种植草坪部分的总面积， ， 选项A不符合题意； B.种植草坪部分的总面积， ， 选项B不符合题意； C.种植草坪部分的总面积， ， 选项C符合题意； D.种植草坪部分的总面积， ， 选项D不符合题意； 故选：C． 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别求出各边长，进而得出内切圆半径长的规律，再列方程求解进而得出答案． 【详解】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图， 则四边形为正方形， 又， ， ， 同样，在中，四边形为正方形， 又， ， 同理，， ， 则， ， ， 经检验，是增根，是原方程的根， ∴的值是24， 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及求三角形内切圆半径，解题的关键是得到三角形内切圆半径长的规律：． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 故答案为 0． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）小明用，计算一组数据的方差，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据的平均数为，那么它的方差为，据此可得这组数据的平均数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 11．（2025九年级上·江苏南京·模拟预测）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试、微型课、教学反思得分分别为90分、92分、88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为 分． 【答案】91 【分析】本题主要考查加权平均数；根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：， ∴李老师的综合成绩为91； 故答案为：91． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形内接于，连接、，若的半径为3，，则的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角都定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴的长， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个． （1）口罩日产量的月平均增长率为 按照这个增长率，预计月平均日产量为 个 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量增长后的量，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据月及月的日产量，即可列出方程求解． （2）利用月份平均日产量月份平均日产量（增长率）即可得出答案． 【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为， 依据题意可得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． （2）解：依据题意可得：（个）， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为 ． 【答案】24 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 设与分别相切于点E、F，则，因为与相切于点D，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与分别相切于点E、F，则， 与相切于点D， ，， ， ， ， 剪下的的周长为24， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为 故答案为：5． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平法解答即可； （2）利用因式分解法解得即可； （3）利用因式分解法解得即可； （4）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， （2）解：， ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， 即， 解得：，； （4）解：， ， ∴， 即， ∴， 解得：，． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，的两弦，交于点，且． (1)如图1，求证： (2)如图2，若点为的中点，连接交于点，，的半径为，求的长度． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由 得弧相等，推导弧 弧 ，证 ； （2）连接 ，用垂径定理得垂直平分，勾股定理求 ，进而得 ． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，即， ∴． （2）如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴，且（垂径定理）． 在中，由勾股定理得： ， 又，故． 【点睛】本题考查圆的弦、弧的关系及垂径定理的应用，涉及知识点：等弦对等弧、圆周角定理、垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理．解题方法是利用等弦推等弧证线段相等；通过弧的中点得垂直关系，结合垂径定理和勾股定理计算线段长．解题关键是关联弦、弧的对应关系，构造直角三角形，易错点是垂径定理的条件应用不充分． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标不数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两个数字的和． (1)用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜：若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，分别求出两人获胜的概率． 【答案】(1)见解析 (2)小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是 【分析】（1）利用树状图列出所有可能出现的结果即可； （2）根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：用树状图表示出所有可能出现的结果如下： （2）共有9种可能出现的结果，其中两次之和是3的倍数的有3种，是7的倍数的有3种， 所以两次之和是3的倍数的概率为，两次之和是7的倍数的概率为， 答：小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有可能出现的结果是正确解答的前提． 20．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． (1)求冰箱贴的原价． (2)一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 【答案】(1)冰箱贴的原价为10元 (2)降价的百分率为10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设冰箱贴的原价为x元，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可； （2）设降价的百分率为m，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设冰箱贴的原价为x元， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：冰箱贴的原价为10元． （2）解：设降价的百分率为m， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：降价的百分率为10%． 21．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 22．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点． (1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心； (2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用图2解答）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三角形； （1）连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即可求解； （2）连接，过圆心作，得，设，那么，根据在与中，，可知，即可求解. 【详解】（1）解：如图：连接，分别作与的垂直平分线，交于一点，即是圆心， 下图即为所求： （2）解：连接，过圆心作， ∵， ∴， 设，那么， ∵，， ∴在与中，， ∴， 解得：； ∴ ， ∴纸杯的直径为. 24．（2025·江苏徐州·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． （1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解； （2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解． 【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图： ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴点和点在上， 当在一条直线上时，即为直径时，最长， ∵正方形边长为4， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 理由如下： 作，交半圆于点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即且， ∴当点在上运动时，点在上运动， 连接，当三点不共线时， ， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值， 即∶如图中，点在位置时，， ∵，， ∴，， ∴， 即最大值为． 25．（2025·江苏苏州·一模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线， 得到，由及即可得到答案． 【详解】（1）设正方形边长为a，则半径为． 过O作于H， ∵O为正方形对角线交点， ∴ ∴O到的距离等于边长的一半，即，等于半径， ∴与相切． （2）连接． ∵在正方形中，， ∴． ∵分别与相切于点N，M，E， ∴． ∵ ∴， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点在的垂直平分线是上， ∴三点在同一条直线， ∴ ∵ ∴ ∴的半径为． 26．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)当时，；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【分析】（1）①找到圆外点到圆上的点的最长和最短距离即可求出在点P视角下，⊙O的“宽度”；求出，即可求在点P视角下，线段的“宽度”；②分类讨论当点在点右侧和当点在点左侧时的情况即可求解； （2）由⊙C的“宽度”为2可得，分类讨论、的两种情况即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： 由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为：; ∵ ∴在点P视角下，线段的“宽度”为： 故答案为：； ②点关于点的对称点坐标为 当点在点右侧时， 若，则，不符合题意； 若，则，不符合题意； 若，则，符合题意； ∴ 当点在点左侧时， 则： ∴ 解得：（舍去） ∴ 综上所述：或 （2）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点D，E． ∴令，可得；令，可得 即： ∴ ∵⊙C的“宽度”为2 ∴ 当时，则点出现在⊙C内部，其轨迹是以点为圆心，半径为的圆 ∵点在线段上 ∴点的轨迹圆需要与线段有交点 （i）当点在点左侧时，点的轨迹圆与相切于点时，如图：    ∵ （ii）当点在点右侧时，点的轨迹圆经过点时，如图：    ∵点的轨迹圆半径为 即：当时， 当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【点睛】本题以圆作为几何背景，考查了新定义题型．关键是读懂材料内容，掌握数形结合及分类讨论的数学思想． 学科网（北京）股份有限公司 $