精品解析：山东省东营市利津县高级中学2025-2026学年高二上学期1月检测数学试题

利津县高级中学2024级高二1月份检测题 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考生号、座号填写在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B 3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】A 【解析】 【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可. 【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种. 故选：A 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 6. 点满足关系式，则点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】表示点与点和的距离之和，结合图形，可得答案. 【详解】表示点与点和的距离之和. 又点和的距离之和6,即, 所以. 所以点在线段上, 则点M的轨迹是线段. 故选：D 【点睛】本题考查两点间的距离的公式和椭圆的定义中的条件，属于中档题. 7. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 8. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】A. 从中任选1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为，一个法向量为 B. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 C. 若直线的法向量为，则能作为该直线的一个方向向量 D. 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量和法向量的定义，依次判断每个选项，其中B选项没有考虑的情况而错误，C选项计算，得到答案. 【详解】若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为，一个法向量为，A正确； 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，当时不成立，B错误； 若直线的法向量为，，即和垂直，则能作为该直线的一个方向向量，C正确； 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的，D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 13. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答） 【答案】260 【解析】 【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和. 【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， 当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， 所以不同的种植方案共有种， 故答案为：260 【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题. 14. 已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标；设，根据中点坐标公式可得，根据点M在抛物线上可求得，再根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，可得焦点在轴上，且焦点坐标为. 设，则. 因为点M在抛物线上，所以,解得. 所以. 故答案为:;. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． （1）从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （3）从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）29 （2）2310 （3）305 【解析】 【分析】（1）根据分类加法原理即可求得答案； （2）根据分步计数原理即可求得答案； （3）根据分类加法原理即可求得答案； 【小问1详解】 由题意得任选名学生去献血，有种不同的选法； 【小问2详解】 从四种血型的学生中各选名学生去献血，有种不同的选法； 【小问3详解】 任选名具有不同血型的学生去献血， 有种不同的选法. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）证明：由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长. （3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2， 则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即 ，解得 综上所述：切线的方程为和. 18. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， 求双曲线的渐近线方程； 当时，的面积为，求此双曲线的方程． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果. 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是. （2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得． 根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是. 19. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点M轨迹W的方程； （2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线PQ过定点． 【解析】 【分析】（1）设M，由已知得，进行化简即可. （2）设直线的方程为、，分别与W的方程联立得P的坐标为及Q的坐标为，再求出直线PQ的方程，利用，即可求出直线PQ过定点. 【小问1详解】 设点M的坐标为，由题意可知，， 化简整理得，W的方程为． 【小问2详解】 由题意知，设直线AB的方程为，与W的方程联立可得， ， 设，，由韦达定理得，， 则， 所以，点P的坐标为． 同理可得，Q的坐标为． 所以，直线PQ的斜率为， 所以，直线PQ的方程为， 即， 又，则， 所以直线PQ的方程即为， 所以，直线PQ过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利津县高级中学2024级高二1月份检测题 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考生号、座号填写在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 点满足关系式，则点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 线段 7. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为，一个法向量为 B. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 C. 若直线的法向量为，则能作为该直线的一个方向向量 D. 任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 11. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦长为______. 13. 如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答） 14. 已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是___________，___________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，型血有人，A型血有人，型血有人，型血有人． （1）从中任选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选名学生去献血，有多少种不同的选法？ （3）从中任选名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？ 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 17. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 18. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， 求双曲线的渐近线方程； 当时，的面积为，求此双曲线的方程． 19. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点M轨迹W的方程； （2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $