精品解析：江苏省无锡市周庄中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级数学12月阶段性检测 （总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列函数中，一定是二次函数是（　　） A. y=ax2+bx+c B. y=x（﹣x+1） C. y=（x﹣1）2﹣x2 D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、当a=0时，二次项系数等于0，不是二次函数，故选项错误； B、是二次函数，故选项正确； C、是一次函数，故选项错误； D、不是整式，不是二次函数，故选项错误； 故选B． 【点睛】考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2. 若的半径为6，圆心到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离小于半径，得到直线与的位置关系是相交，即可得解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【详解】解：的半径为6，圆心到直线的距离为4， ，即， 直线与的位置关系是相交， 故选：B． 3. 已知，且的周长为10，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 根据“相似三角形周长比等于相似比”列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴相似比为， ∴，即，解得：． 故选C． 4. 某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，根据坡度的定义可知，的比值和的长度，即可求的值，即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意知∶，， 设，则， 则， 解得∶ ，(舍去)， ∴他的高度上升了， 故选：D． 5. 抛物线，，共有的性质是(　　) A. 开口向上 B. 顶点坐标都是 C. 对称轴是y轴 D. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可． 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． 6. 已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ） A. B. ± C. ﹣ D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则二次项系数大于0，即2－a＞0，且a2－3＝2，从而得到答案． 【详解】根据题意，得， 解得：a＝－， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质，解本题的要点在于不可忘记考虑二次项系数的范围． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 圆内接四边形的对角互补； B. 相等的圆周角所对的弧相等； C. 平分弦的直径垂直于这条弦； D. 垂直于半径的直线是圆的切线． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、切线的定义等知识点，理解相关定义和性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，切线的定义，圆周角定理，垂径定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意； B、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意； D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意． 故选A． 8. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A. B. π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 9. 如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键；延长交于点，连接，构造直角三角形， 然后根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，交于点F，连接， ， 为的中点， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， 在中，由勾股定理可得：， ． 故选：B． 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可证明，即可判断①；根据是等腰直角三角形，可得，所以，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得分别平分，得点E是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段，，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴分别平分， ∵， ∴平分， ∴点E是角平分线的交点， ∴E为的内心，故③错误； 如图，连接交于点O， ∵， ∴当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段， ∵，且点F与点E的运动时间相同， ∴， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：A． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，点的运动轨迹，解决本题的关键是确定点E的运动轨迹． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据比例的基本性质得到，，，代入原式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：4． 12. 若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=_____________________． 【答案】-2． 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 试题解析：∵x1、x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根. ∴x1+x2=-3． 考点：根与系数的关系. 13. 在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米。附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是__________米． 【答案】24 【解析】 【分析】先设建筑物的高为x米，根据同一时刻物高与影长成正比，即可求出答案. 【详解】解：设这栋大楼高为x米 得到 6:4.5=x：18 解得x=24 故答案为：24 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟记同一时刻物高与影长成正比是解题的关键. 14. 如图，在中，点在上，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，则（负值舍去）． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 15. 若圆锥的母线长为6，底面半径为5，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，直接利用公式求解即可． 【详解】圆锥的侧面积． 故答案为：． 16. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴铁塔的高度为 故答案为： 17. 如图，、是的直径，点C在上，，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转（），当____________时，直径在中截得的三角形与相似． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，旋转的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．分或或三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴，即， 当时， 由，，可知直径在中截得的三角形与相似． 连接， ， ， ∴， ， ， 当时， 由，，可知， 连接， ， ， ∴， ∵，， ， ， 当时， 由，得，可知直径在中截得的三角形与相似． ∵， ， ∴， ； 综上所述：当或或时，直径在中截得的三角形与相似； 故答案为：或或． 18. 如图，是的外接圆，，点P是外一点，，，则线段的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线是本题的关键．如图，连接，，由圆周角定理可得，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，由旋转的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作， ∴，，， ，且， ， ， 在中，， ， 的最大值为， 故答案为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. （1）计算：； （2）求锐角α的度数： ， 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，求特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值求角的度数： （1）先计算零指数幂、负整数指数幂和特殊角三角函数值，最后计算加减法即可； （2）求出，则，进一步计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 即 ∴或， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值． 【答案】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求， 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 【详解】（1）略 （2）由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2）， 故AD=2，CD=6，， ∴， 即． 【点睛】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键． 22. 中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读过几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题： （1）请补全条形分布直方图，本次调查一共抽取了________名学生； （2）扇形统计图中“1部”对应扇形的圆心角为________度． （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1） 补图如下： 40名； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据读4部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取的学生数为， “读2部”的人数为 【小问2详解】 解：“1部”对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示， 树状图如下图所示： 一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， 故他们恰好选中同一名著的概率是． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据，可证得； （2）根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 本题主要考查了平行四边形，相似三角形．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 24. 如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，，连接，过点E作，交的延长线于点M． （1）求的半径； （2）求证：是的切线； （3）若弦与直径相交于点P，当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知：，， ∴，即与的度数为， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． （1）首先连接，由弦垂直平分半径，根据垂径定理可求得与的关系，求得的长，然后根据勾股定理可求得的半径； （2）由垂径定理，可得，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，即可求得的度数，又由，可求得的度数，继而求得，即可得证； （3）由，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得的度数，然后根据，即可求得答案． 【小问1详解】 解：连接． ∵垂直平分半径， ，， ，， ， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ， 即的半径为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接． ∵，， ， ， ∴． 25. 国庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话： 根据他们的对话，解决下面所给问题： 老李透露：他每天租金、损耗等要开支240元；若超市每天还要获得3400元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？ 【答案】每千克29元 【解析】 【分析】设降价元，根据题意列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设每千克降x元． 由题意得：， 整理得：， 解得：或； ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴； ∴售价为：（元/千克）． 答：这种水果的售价应定为每千克元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 26. 如图，是的直径，点A在上． （1）请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过A作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母） （2）在（1）中所作的图形中，若，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据要求用尺规作图即可； （2）如图：过A点作于H点，先利用垂径定理可判断经过圆心O，再根据圆周角定理得到，则利用勾股定理计算出，接着证明，利用相似比计算出，所以，然后证明得到，最后证明，利用相似比求出，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过A点作于H点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴经过圆心O， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴， ∵, ∴, ∴，即，解得：， ∴． 故答案为10． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 27. 如图，已知四边形为矩形，，，点E在上， ，点F为平面内一点，且，连接． （1）求的长； （2）若，求此时的值． 【答案】（1）5 （2）或 【解析】 【分析】（1）设为，，在中，勾股定理构造的方程，求解即可求出的长． （2）分情况讨论，当F在左侧、F在右侧两种情况，构造三角形相似的“K型图”利用对应线段成比例即可求解． 【小问1详解】 解：设，则，在Rt中， 有， 解得，； 故的长为5． 【小问2详解】 解：过点F作于点， 设，则， ∴． 当点F在左侧时，过点F构造“K形图”，得 ， ， ∴（舍去）或， ∴， 当点F在BC右侧时， 过点F构造“K形图”，得 即：， ， ∴(舍去)或， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数及相似三角形的性质，熟练掌握这些性质特点是解题的关键． 28. 如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（），是的外接圆． （1）当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； （2）在点P从点A向点B运动过程中，①圆心M运动路径长的取值范围是 ；②当与直线相切时，求t的值． （3）连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 【答案】（1）；相离 （2）①0到之间（取不了等号）；② （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，交于，由题意易得，，，然后可得的半径为，进而问题可求解； （2）①连接，交于一点O，由题意易得，则有，然后可得，进而可得圆心M的轨迹为线段，则问题可求解； ②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，则，然后表示出，再根据，列出方程进而问题可求解； （3）过作，交的延长线于点，连接，先证得，得到，，然后利用勾股定理，列出方程进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，， ∵，， ， ， ∴的半径为， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ， 是的中位线， ， ， ， ∴与直线的位置关系是相离； 故答案为：；相离． 【小问2详解】 解：①如图，连接，交于点O， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，所以圆心M的轨迹为线段， ∴， 由勾股定理，可得：， ， ∵， ∴圆心运动路径长的取值范围是0到之间（取不了等号）； 故答案为：0到之间（取不了等号）； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于，则，， 则， ∴， ∴， 同理可得：是的中位线， ∴， ， ∴， 解得， 的值为； 【小问3详解】 解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ， ， ， ， 解得（舍去），， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，考查了矩形的性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月阶段性检测 （总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列函数中，一定是二次函数是（　　） A. y=ax2+bx+c B. y=x（﹣x+1） C. y=（x﹣1）2﹣x2 D. y= 2. 若的半径为6，圆心到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定 3. 已知，且的周长为10，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 4. 某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线，，共有的性质是(　　) A. 开口向上 B. 顶点坐标都是 C. 对称轴是y轴 D. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 6. 已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ） A. B. ± C. ﹣ D. 0 7. 下列说法正确的是（ ） A. 圆内接四边形的对角互补； B. 相等的圆周角所对的弧相等； C. 平分弦的直径垂直于这条弦； D. 垂直于半径的直线是圆的切线． 8. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点D，E．若，，则的长为 （　　） A. B. π C. D. 9. 如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A. B. C. 6 D. 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的外心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若，则__________． 12. 若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=_____________________． 13. 在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米。附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是__________米． 14. 如图，在中，点在上，，则的长为______． 15. 若圆锥的母线长为6，底面半径为5，则圆锥的侧面积为________． 16. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）． 17. 如图，、是的直径，点C在上，，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转（），当____________时，直径在中截得的三角形与相似． 18. 如图，是的外接圆，，点P是外一点，，，则线段的最大值为_________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. （1）计算：； （2）求锐角α的度数： ， 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值． 22. 中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读过几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题： （1）请补全条形分布直方图，本次调查一共抽取了________名学生； （2）扇形统计图中“1部”对应扇形的圆心角为________度． （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率． 23. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 24. 如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，，连接，过点E作，交的延长线于点M． （1）求的半径； （2）求证：是的切线； （3）若弦与直径相交于点P，当时，求图中阴影部分的面积． 25. 国庆期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，图中反映的是调查员小王与超市老李的对话： 根据他们的对话，解决下面所给问题： 老李透露：他每天租金、损耗等要开支240元；若超市每天还要获得3400元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的售价应定为多少元？ 26. 如图，是的直径，点A在上． （1）请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过A作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母） （2）在（1）中所作的图形中，若，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 27. 如图，已知四边形为矩形，，，点E在上， ，点F为平面内一点，且，连接． （1）求的长； （2）若，求此时的值． 28. 如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（），是的外接圆． （1）当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； （2）在点P从点A向点B运动过程中，①圆心M运动路径长的取值范围是 ；②当与直线相切时，求t的值． （3）连接，交于点N，如图2，当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $