精品解析：广东省遂溪一中外国语实验学校2025-2026学年高三上学期数学周练21

2026届遂溪一中高三数学周练（21） 命题人：庞静群 一、单选题（本题共8道题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正余弦二倍角公式，，结合即可求解． 【详解】因为， 则， 所以． 故选：A． 3. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 4. 已知为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 5. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用点差法运算求解即可. 【详解】因为，可知点在椭圆内， 则过点的直线与椭圆必相交，设交点为，， 则点，即， 可知直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可得，两式作差可得， 整理可得，即，解得， 所以以点为中点的弦所在直线的斜率为. 故选：B. 6. 若复数z满足，那么的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 7. 某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A. 2：3：5 B. 10：12：5 C. 5：12：10 D. 5：4：1 【答案】B 【解析】 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原方程等价于，令，利用导数求出其最大值为零后可得的值，从而可得正确的选项. 【详解】由题意，得， 令，则有， 又，故， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 又，故，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部份分，有错的得0分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 【答案】BD 【解析】 【分析】运用二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当（） D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过图像变换得到的解析式，再分别分析其周期、对称轴、不等式解集及方程根的分布情况. 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A；取中点O，由，易知，线段经过点，因为的面积为定值，且平面ACO，可求三棱锥A-EFC的体积，判断B；易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D. 【详解】对于A，因为∥，所以.因为，所以，A正确； 对于B，如图取中点O，连接，因为，所以，即，且； 同理可得，，且；所以是等腰三角形. 记，则为和的中点，所以， 所以. 因为平面，所以平面ACO. 因为，所以过点. 所以，为定值，所以B正确； 对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等， 所以过点A的体对角线及过分别平行于的直线均满足要求，所以C错误； 对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上， 所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线. 因为平面，所以平面，所以到平面的距离为. 所以球心到平面的距离为，且球心在平面的投影为的中点. 设平面截球所得截面圆的半径为r，则. 所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确. 故选:ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案. 【详解】由于和都符合， 所以曲线的图象关于原点对称，当时，函数单调递增， 由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图， 可知，， 所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据. 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是抛物线的焦点，为上一点，. （1）求的方程； （2）过的直线与和圆依次交于点（如图所示），求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据，，利用抛物线的定义，由求解. （2）可设的方程为，与抛物线方程联立，再利用抛物线的定义得到，求解. 【小问1详解】 由，且及抛物线的定义，得， 所以，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，由题意知的斜率不为0， 故可设的方程为， 由消去并整理得， 则，且， 又， 同理， 所以 . 16. 新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. （1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】（1）种 （2）①4093人；②不可信 【解析】 【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可； （2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的原则判断即可. 【小问1详解】 甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法； 【小问2详解】 ①设此次网络测试的成绩记为，则， 由题知，，， 则，所以， 所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人； ②不可信.， 则， 5000名学生中成绩大于430分的约有人， 这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． （1）求异面直线PC与AB间的距离； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以． 在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离． 在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为． 方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则． 所以异面直线AB与PC间的距离． 【小问2详解】 因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则， 设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则． 设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则． 设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知数列中，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和； （3）令，求数列的最大项. 【答案】（1） 因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 化简得； 【小问3详解】 由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明： 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【解析】 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届遂溪一中高三数学周练（21） 命题人：庞静群 一、单选题（本题共8道题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数z满足，那么的最大值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A. 2：3：5 B. 10：12：5 C. 5：12：10 D. 5：4：1 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部份分，有错的得0分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 当且仅当（） D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 13. 已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和交于M、N两点，和交于P、Q两点，若三角形的面积为，则的面积为____________． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是抛物线的焦点，为上一点，. （1）求的方程； （2）过的直线与和圆依次交于点（如图所示），求. 16. 新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. （1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． （1）求异面直线PC与AB间的距离； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知数列中，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和； （3）令，求数列的最大项. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $