重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学练习(12.31)

重庆南开中学高2028届高一数学练习（12.31) 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第 I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上， 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.cor=是x-号的（) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.若a>2,则a+。2+1的最小值为( ) A.2 B.4 C.5 D.7 3如图，己知点C,D是以AB为直径的半圆O的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为( A.6 3 B. C. 24 D. π，5 12 4 的部分图象大致为() 5.已知0∈(-元，0)，sin0+cos0=三，则下列结论不正确的是（ A.0e B.w0=号 C.tane=-3 D.sine-cos0= 6.已知l-cs2a=2,则sina(sna+cosa)=() sin2a A.2 B. c D.g 7.设a=log23,b=log,4,c=log45,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.axc>b C.c>b>a D.c>a>b 试卷第1页，共4页 8.设定义在正实数集上的函数/()满足：@对于任意少0，+四)，都有f月-八功：②当x>1 时，f()<0.若存在x4,使得/og:1o年ks0成立，则k的取值范围是（) A.（-o0,2] B.（-∞， c.（-∞，2) D.（-o,1) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知角a和B的终边关于x轴对称，则（) A.tana=tanB B.sina=-sinβ cm经*aw D.cos(π+a)=cosp 10.函数f(x)是定义在R.上.的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2x,则下列说法正确的有（) A.f(0)=-1 B.当x≤0时，f(x)=-x2-2x C.函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-1]和[1，+∞) D.方程f(x)=k有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是(-1，) 11.对f:D→R,g:D→R,若k>0,使得%，x2∈D,都有f(x)-f(x5≤g()-8(,则称f(x) 在D上相对于g(x)满足“k-利普希兹条件，下列说法正确的是（) A.若f(x)=log2x,g(x)=x,则f(x)在(0，+∞)上相对于g(x)满足“2-利普希兹条件 B.若f(=丘，g()=x,f()在L4上相对于g)满足“k-利普希兹条件，则k的最小值为 C.若f(=x,g(个-子f()在2，上相对丁g()满足4利普希兹"条件，则a的最大值为号 D.若f(x)=xg()=log(4+),f八习在非空数集D上相对于g(x)满足“1-利普希兹"条件，则 Ds(-∞，0] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知tanu=2,则sin2a-3 sina cosa= 试卷第2页，共4页 .若s如(+月子则mn(g-+s如{g-+cas2x+）- 14. 已知函数了因)三4224若函数=因)-m有四个不阿零点从小到大依次为，名， x4且不等式cx,+x+x号≥k+11恒成立，则实数k的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知角α的终边经过点，M(3,-4) (I)求sina,cosa,tana的值： (2) m(k-ea侵x-am爱的值 cos(r-a)sin(π-a） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2W3 sinx.cosx a球（写f铝的值： 回若0<a<号fa)-25,求m2a的值 17.（本小题满分15分) 已知锐角△ABC中，S如+到=子，s(4-)=号 (I)求证：tanA=2tanB; (2)设AB=3,求AB边上的高. 18.(本小题满分17分) 已知a,b∈R,a≠0，函数f(x)=-V2(sinx+cosx)+b,g(x)=asinx:cosx+g+l +—+2 2 a (1)若xe(0,,=25+b,求sinx-cosx的值： 5 (2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围. 19.(本小题满分17分) 若函数f(x)与区间D同时满足：①区间D为f(x)的定义域的子集，②对任意x∈D,存在常数M≥0， 使得/(xsM成立，则称f(x)是区间D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的一个上界. 2x ①判断函数(=9-2,3，(=7-2x+3是否是R.上的有界函数： 已加致g小-生(as风)为商质最，求适数间在区同个[侣上的所有上异从狗城合 对实数m进行讨论，探究函数f②)十m在区间0上是否存在上界M?若存在，求出M的取值 范围；若不存在，请说明理由，压庆南开中学高2028届高一数学练习（12.31) 参考答案 一、单项选抒旺：木大题共8小愿.每个题5分，共40分. 题号 2 8 答案 B D D B 二、多项选择：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 BC ABD BC 三、填空愿：本题共3小题，每小想5分，共15分。 33 13. 161 42-号 7选A由。-6=1s,3-g,4≤您-4g2-色452 1g2 Ig3 1g21g3 Ig21g3 e-e,0则>b: 1g21g3 1g2g3 由6-c=log,4-1og,5-g4g5您4-lg5g3, - 1g3 1g4 1g31g4 lg31g4 传 (g4-g >0'则b>c, 1g3g4 1g31g4 所以a>b>c. 8.选B.令x=y,有0)=f(x)-∫()=0. 任取，x∈(0，+0)，不妨设x>x,由题可知，f(x)f八x)=f白)， :x>5>0,4>1,又因为当x>1时，(x)<0, 故fx)-f(3)=点)<0，即fx)<fx), 答案第1页，共7页 义因为x>x·故f(x)在(0+o)上的调递减.义因为f)=0.故 当xe(0.1)时.f(x)>0:当x=1时，f(x)=0:当x∈(1，+o)时，f(x)<0. 因此，存在4.使得fgo音s0成立。 等价于y=og,5le,音在xe肌.上的最大值大于等于1 设e6io3,log,子长=0og,r-W0os,-2y-kxe。 令=1ogx,te[0.21,则g(x)可共化为关于1的二次函数h)='-31+2-k,1∈[0,2) 由下0的图象开口朝上，且对称轴为1=放其在区间Q,2刘上的最大值在1=0处取得。 最大值h(0)=2-k21,解得ks1 11.选BC,对于A,:∫(x)=log,x的定义域为(0，+∞)， 令x西则/)得=1.又2引日 /(飞)-f(名>2g名gs》,即f(x)在(0，+∞)上相对于g(x)不满足2利普希兹“条件， 故A错误： 对于B,由题知x,x,∈[山，4小，均有/(x)-(x≤()-(x成立， 当5=时显然成立，不纺设x>为，则k之店二店。1 名-xV名+V名3 x54464.15店<收52后<4道号 故B正确： 对于C,由题知x,×∈[2,3]，均有/(x)-∫（名s4g名广8成立， 耶-s传 ,当x=x时显然成立， 当路，则时名恒成立，又4e外名传 内号即号手所以：的县大植为号 4 枚C正确： 答案第2页，共7页 对于D.出麽可得在非空数集D上/(x)-(xsg()-gx相成立. 当x=删显然成立.不奶设x>当，则名x≤1og,(4“+1og,4+1, .1og,(4:+-≤0g,4+1x成立 令F(x)=log,(4'+1x,则函数在非空数华D上单调递增， P问=gg+-o-le2+》 当xe(o.0时，2'e(0.小.y=2单调邀啦y=2'+单调递减。 又y=og:x单调递啦，所以F(x在(-∞.0]上单调递减， 故D错误 14.函数f(x)= Inx.0<x s2 f(4-x)2<x<4 的图象如图所示： n2 当方程f(x)=m有四个不等实根为，x,<为<名<x)时， y=m Inx1=|血x2,即xx2=1x+x>2x=2, j血(4-为)=血(4-x,即(4-x)(4-x)=1,且x++x+x=8, 若不等式红x+x+号2k+11恒成立，则k 、1-公+过恒成立 为x-1 .-对 当且仅当x+为2=4-V3时等号成立，故k≥2- 5,放实数k的最小值为2-5 四、解倍题：本题共5小题，共77分. 15.(1)由题知10M=V32+(4=5, 所以sina=4.-4 = 5 33 (2) 2 -tana(-cosa)(sina) cos(n+a)sin(n-a) -cosasina tanccosasina=-tana= 4 cosasina 3 答案第3页，共7页 16架：)由图金可知：儿闭-cw2+sz-29a2:m2r小上2anu-引 2图为fo创-n}25.m-引-号 义0<a昏则-名n-君经可得ca2a-》-ra哥29 -25x55x12M5-5 5 25210 7.解：（1)由sm4+8)号sm-)=写 3 5 sin A cos B+cos AsinB=3 即 5 sin Acos B=2 SinA6osB-c0 ssin=亏 9 两式相除得an4=2,所以tanA=2tamB. tan B 2)在锐角△4BC中，子4B<,sm+=号 则以：到官=手m+=子即有8子 1-tan dtan B=4 将anA=2tanB代入上式并整理得2tan'B-4tanB-l=0, 而amB>0,解得anB=2+6, tan A=2+6 2 设AB边上的商为CD,则AB=D+DB=CD+CD.3CD tan A tan B 2+' 由AB=3,得CD=2+√6，所以AB边上的高等于2+V6, 答案第4页，共7页 ISi.1r广cin·cnsr- n 5 cini+toy47chrt“5, cinrexr - 1-2sinxcoer=sin'z*cos'y-2simrcoxr-(cr-cosr) r 3 25ic-亏c0. 0.约昏小 rinz.coco (2)即不驾式bs asin,cox+V反(six+co)+g+1+2对任意r∈R恒成立. 20 即b≤ mawe4m小f 下求面数)y=asinx:co3x+2(6inx+cos)+号++2的最小值， 2 a waa期-i}[i同且mw片 令n0-nr@小经2 a号2w 2 1当-5<一5，抑0<a<1时，m付)在区间[2，]上单调递增。 (m).=m2)=a+ a 2道is-96,a时0am92 3当0c,5s反pa≤-1时m0in=m(-月=a+月 4当-正，2，即-1<a<0时，m)min=m-2)-a+月 2a21 ..you 0+- a<l,a￥0' a 所以当a2]时，b≤2：当a<0或0<a<1时，bsa+ a 答案第5页，共7页 10.解：(1)(x)-9-23的定义域为R.且(x)-9-23=(3-1'-121. 当且仅当x=0时，等号成立，故(x的值域为[0，+∞). 故不存在#数M≥0，使幻(x≤M成立，故(x)不是R上的有界函数， 2州一的定义域为R, (x=x-2为+3 当x=0时.5o=0.当x≠0时，方(= 2 3 2 p=时日定义装为0U0o.且P+-内月. 故2)为高系数，当0时，到x+是且小-5：方=2。 国出P)户树+宁的图象如右， 由图象可发以同≥25，当且仅当5时等号皮之立 故5(x川= 一s5+1 2 22 3 综上，存在M=5+1,使得5(SM,故万问是R上的有界函数 3 2 2》e=ee)为奇备黄 1+2ax+l0 故g(←列+g()-18:x-1 1-4d文=0， 812a=1o8g1-2 ix-1 所以上4o女=1，所以4g=1,解得：a=±号】 1-x2 当g时，片-1<0不合要来，当=，a-兰e[侣 x-1 -周由告0得：1或- 1+ x-1 单调递减。 故y-e,版-3e4小.ge%e小， 故存在所有上界M∈[4，+∞)，满足要求。 答案第6页，共7页 ?11-m” 1 -14 1m7 1防7 m=0附./（✉）-2，|/（✉-2.t时M约片5刀8[2.+x) 当m>0时，f)小1】 在0,1]上是下格中闪递注函数 11m3 2+3m2+m 和作拔为/(： 的+m1m 「2+3浙2+m 1+3m14m r的克e以：一时 当m<0时，1+m3c3m+1m+1].若(x)在[0.上是有界函数.。 则区间[0.为f(x)的定义城的子集，所以[3m+1,m+恒不为0. 也则[3m+l.m+柄正或恒负.所以3m+1>0或m+1<0,解得：m<-1或-<m<0, 「m+23m+2 1+,】,在0，上是严格单调递增函数，此时/儿)的值域为m+3m+ 1+m3 03m+2头m+ 3m+1 m+ .cont.V 3 此时M的取值范团是 3m+2,） 3m+t0 ② 3m+2m+2 3m+1m+1 即35<m<-时.s图-品 3 m+1m+1 m+2, 此时M的取值范围是 m+to. 综上：当m20时，存在上界M,M∈ 当mS小-5或-<m<0时，存在上界MM 3m+2 3 3m+io c时，在上界以 3 当-1≤m≤-时，此时不存在上界M 答案第7页，共7页数学答题卡 注意事项 正确填涂 准考证号 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证 班级 号、考场号、座位号填写清楚。 涂 2选择题使用B铅笔填涂，非选择题使用 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 例 ☑X 0四00000000四0 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要手破。 ©刺 00田和卫和和和00 ■ 姓名 222四2]2122222 33]33]331333]3 444四44红4I4四I四 ■ 考场号 55555555515 贴条形码区 ]66]6 6圆 ■ (正面朝上，请贴在虚线框内) 刀刀刀刀刀刀刀刀☑ ☑ 座位号 8888888I88J8 ■ 9四999四99I9999 缺考 标记 1AIBI网D 6 A][B]CD] 11AIBC网D ■ 2四BMD 7A四B☒D回 ■ 3AIB四D) 8 [A][BC]D] 4 LA][B][CD] 9 [A]B [CD] 5 LA [B [C]D 10 [A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效